jueves, 23 de junio de 2016
miércoles, 15 de junio de 2016
Cálculos con intervalos de confianza
ENUNCIADO. La masa por unidad, en gramos, de la gamba roja de Palamòs, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica ( estándar ) $\sigma=5$ gramos.
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $25$ gambas y la media de sus masas ha sido $\bar{x}=70$ gramos. Calcúlese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$
b) Sabiendo que $\mu=70$ gramos, y considerando las masas de las $12$ gambas de una caja como muestra aleatoria simple, calcúlese la probabilidad de que la masa total de esas $12$ gambas sea mayor o igual que $855$ gramos.
ENUNCIADO.
a)
Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,5)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=70$ gramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0{,}95$, $\alpha=0{,}05$ y por tanto $\alpha/2=0{,}025$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0{,}025=0{,}975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=1{,}96$. Así, $E=1{,}96 \cdot \dfrac{5}{\sqrt{25}}=1{,}96$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(70-1{,}96\,,\,70+1{,}96)$ esto es $(80{,}04\,,\,71{,}96)$ que podemos aproximar a $(80\,,\,72)$ gramos.
b)
Por el teorema Central del Límite, la variable $\bar{X}=\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ sigue una distribución $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual la variable aleatoria $Y:=X_1+\ldots+X_n$ sigue una distribución $N(n\cdot \mu\,,\,\sigma\cdot \sqrt{n}$. En el caso que nos ocupa, $n=12$, y deseamos calcular $P\{Y \ge 855\}$. Tipificando la variable $Y$ mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-12\cdot 70}{5\,\sqrt{12}}$, donde $Z:N(0,1)$. Así,
$P\{Y \ge 855\}=P\{Z \ge \dfrac{855-840}{5\,\sqrt{12}}\}=P\{Z \ge 0{,}8660\}=$
$=1-P\{Z\le 0{,}8660\} \quad \quad (1)$
En las tablas de la distribución de probabilidad de $Z:N(0,1)$ encontramos que $F(0,86)=0,0951$ y $F(0,87)=0,8078$; no leemos exactamente $F(0,8660)$, por lo que procedemos a interpolar linealmente en el intervalo $(0,86\,,\,0,87)$ para calcular el valor aproximado de $F(0,8660)$; así, $$F(0,8660) \approx (0,8078-0,8051)\cdot \dfrac{0,8660-0,87}{0,87-0,86}+0,8078=0,8067$$
por consiguiente, el resultado de (1), aproximado con cuatro dígitos significativos, es $1-0,8067=0,1933 \approx 19\,\%$
$\square$
a) Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $25$ gambas y la media de sus masas ha sido $\bar{x}=70$ gramos. Calcúlese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$
b) Sabiendo que $\mu=70$ gramos, y considerando las masas de las $12$ gambas de una caja como muestra aleatoria simple, calcúlese la probabilidad de que la masa total de esas $12$ gambas sea mayor o igual que $855$ gramos.
ENUNCIADO.
a)
Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,5)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=70$ gramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0{,}95$, $\alpha=0{,}05$ y por tanto $\alpha/2=0{,}025$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0{,}025=0{,}975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=1{,}96$. Así, $E=1{,}96 \cdot \dfrac{5}{\sqrt{25}}=1{,}96$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(70-1{,}96\,,\,70+1{,}96)$ esto es $(80{,}04\,,\,71{,}96)$ que podemos aproximar a $(80\,,\,72)$ gramos.
b)
Por el teorema Central del Límite, la variable $\bar{X}=\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ sigue una distribución $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual la variable aleatoria $Y:=X_1+\ldots+X_n$ sigue una distribución $N(n\cdot \mu\,,\,\sigma\cdot \sqrt{n}$. En el caso que nos ocupa, $n=12$, y deseamos calcular $P\{Y \ge 855\}$. Tipificando la variable $Y$ mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-12\cdot 70}{5\,\sqrt{12}}$, donde $Z:N(0,1)$. Así,
$P\{Y \ge 855\}=P\{Z \ge \dfrac{855-840}{5\,\sqrt{12}}\}=P\{Z \ge 0{,}8660\}=$
$=1-P\{Z\le 0{,}8660\} \quad \quad (1)$
En las tablas de la distribución de probabilidad de $Z:N(0,1)$ encontramos que $F(0,86)=0,0951$ y $F(0,87)=0,8078$; no leemos exactamente $F(0,8660)$, por lo que procedemos a interpolar linealmente en el intervalo $(0,86\,,\,0,87)$ para calcular el valor aproximado de $F(0,8660)$; así, $$F(0,8660) \approx (0,8078-0,8051)\cdot \dfrac{0,8660-0,87}{0,87-0,86}+0,8078=0,8067$$
por consiguiente, el resultado de (1), aproximado con cuatro dígitos significativos, es $1-0,8067=0,1933 \approx 19\,\%$
$\square$
Trasladando una bola de una urna a otra ...
ENUNCIADO. Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene $5$ bolas: $3$ son rojas y $2$ son blancas. La urna B contiene $6$ bolas: $2$ rojas y $4$ blancas. Se extrae una bola al azar de la urna A y se deposita en la urna B. Seguidamente, se extrae una bola al azar de la urna B. Calcúlese la probabilidad de que:
a) La segunda bola extraída sea roja
b) Las dos bolas extraídas sean blancas
ENUNCIADO.
Denotaremos los sucesos de la siguiente manera:
$B_r$: extraer bola roja de la urna B
$B_b$: extraer bola blanca de la urna B
$A_r$: extraer bola roja de la urna A
$A_b$: extraer bola blanca de la urna A
a)
Teniendo en cuenta que $B_r=(B_r \cap A_b ) \cup ( B_r \cap A_r )$, la probabilidad de $B_r$ es $$P(B_r)=P( (B_r \cap A_b ) \cup ( B_r \cap A_r )$$ y como $(B_r \cap A_b )$ y $( B_r \cap A_r )$ son disjuntos, lo anterior queda $$P(B_r)=P(B_r \cap A_b ) +P( B_r \cap A_r )$$ y por la definición de probabilidad condicionada $$P(B_r)=P(B_r | A_b ) \cdot P(A_b) +P( B_r | A_r ) \cdot P( A_r)$$
poniendo ahora los datos del problema ( aplicamos la regla de Laplace ),
$$P(B_r)=\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{5}$$ y haciendo las operaciones $$P(B_r)=\dfrac{13}{35} \approx 37\,\%$$
b)
Por la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir la probabilidad pedida de la forma
$$P(B_b \cap A_b)=P(B_b | A_b)\cdot P(A_b)$$
y teniendo en cuenta que $P(B_b|A_b)=1-P(\bar{B_b}|A_b)=1-P(B_r|A_b)$ lo anterior se escribe de la forma
$$P(B_b \cap A_b)=(1-P(B_r|A_b))\cdot P(A_b)$$ y poniendo los datos $$P(B_b \cap A_b)=(1-\dfrac{2}{7})\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{7}\approx 29\,\%$$
$\square$
a) La segunda bola extraída sea roja
b) Las dos bolas extraídas sean blancas
ENUNCIADO.
Denotaremos los sucesos de la siguiente manera:
$B_r$: extraer bola roja de la urna B
$B_b$: extraer bola blanca de la urna B
$A_r$: extraer bola roja de la urna A
$A_b$: extraer bola blanca de la urna A
a)
Teniendo en cuenta que $B_r=(B_r \cap A_b ) \cup ( B_r \cap A_r )$, la probabilidad de $B_r$ es $$P(B_r)=P( (B_r \cap A_b ) \cup ( B_r \cap A_r )$$ y como $(B_r \cap A_b )$ y $( B_r \cap A_r )$ son disjuntos, lo anterior queda $$P(B_r)=P(B_r \cap A_b ) +P( B_r \cap A_r )$$ y por la definición de probabilidad condicionada $$P(B_r)=P(B_r | A_b ) \cdot P(A_b) +P( B_r | A_r ) \cdot P( A_r)$$
poniendo ahora los datos del problema ( aplicamos la regla de Laplace ),
$$P(B_r)=\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{5}$$ y haciendo las operaciones $$P(B_r)=\dfrac{13}{35} \approx 37\,\%$$
b)
Por la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir la probabilidad pedida de la forma
$$P(B_b \cap A_b)=P(B_b | A_b)\cdot P(A_b)$$
y teniendo en cuenta que $P(B_b|A_b)=1-P(\bar{B_b}|A_b)=1-P(B_r|A_b)$ lo anterior se escribe de la forma
$$P(B_b \cap A_b)=(1-P(B_r|A_b))\cdot P(A_b)$$ y poniendo los datos $$P(B_b \cap A_b)=(1-\dfrac{2}{7})\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{7}\approx 29\,\%$$
$\square$
Integrar y derivar ...
ENUNCIADO. Conocida la derivada de una función real de variable real es $$f'(x)=6\,x^2+4\,x-2$$ se pide:
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(0)=5$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$ así como sus máximos y mínimos locales, si los tuviese.
SOLUCIÓN.
a)
La función $f(x)$, en las condiciones del enunciado, viene dada por una primitiva de la función $f'(x)$. Calculando pues la integral indefinida de $f'(x)$, $$\displaystyle \int\,(6\,x^2+4x-2)\,dx=2\,x^3+2\,x^2-2\,x+C$$ Imponiendo ahora que $f(0)=5$, determinaremos el valor de la constante de integración $$5=2\cdot 0^3+2\cdot 0^2-2\cdot 0+C \Leftrightarrow C=5$$ por consiguiente la función pedida es $$f(x)=2\,x^3+2\,x^2-2\,x+5$$
b)
Veamos cuáles son los extremos relativos. La condición necesaria de existencia de los mismos es $f')0)=0$, por tanto $6\,x^2+4\,x-2=0$, esto es $$3\,x^2+2\,x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot 3}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{3} \\ \\ -1\end{matrix}\right.$$
Para averiguar qué tipo de extremos relativos son, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada $f''(x)=12\,x+4$. Como $f''(-1)=-8 \prec 0$, $x_{1}^{*}=-1$ corresponde a la abscisa de un máximo local; y, al ser $f''(1/3)=8 \succ 0$, $x_{2}^{*}=\dfrac{1}{3}$ es la abscisa de un mínimo local. El valor de función para $x_{1}^{*}=-1$ es $f(-1)=7$, luego las coordenadas del máximo local son $Máx(-1\,,\,7)$; y, el valor de función para $x_{2}^{*}=1/3$ es $f(1/3)=\dfrac{125}{27}$, luego las coordenadas del mínimo local son $Mín(1/3\,,\,125/27)$
A partir de las abscisas del mínimo y del máximo local, deducimos que hay dos intervalos de crecimiento: $(-\infty\,,\,-1)$ y $(1/3\,,\,+\infty)$, y un sólo intervalo de decrecimiento: $(-1\,,\,1/3)$
$\square$
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(0)=5$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$ así como sus máximos y mínimos locales, si los tuviese.
SOLUCIÓN.
a)
La función $f(x)$, en las condiciones del enunciado, viene dada por una primitiva de la función $f'(x)$. Calculando pues la integral indefinida de $f'(x)$, $$\displaystyle \int\,(6\,x^2+4x-2)\,dx=2\,x^3+2\,x^2-2\,x+C$$ Imponiendo ahora que $f(0)=5$, determinaremos el valor de la constante de integración $$5=2\cdot 0^3+2\cdot 0^2-2\cdot 0+C \Leftrightarrow C=5$$ por consiguiente la función pedida es $$f(x)=2\,x^3+2\,x^2-2\,x+5$$
b)
Veamos cuáles son los extremos relativos. La condición necesaria de existencia de los mismos es $f')0)=0$, por tanto $6\,x^2+4\,x-2=0$, esto es $$3\,x^2+2\,x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot 3}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{3} \\ \\ -1\end{matrix}\right.$$
Para averiguar qué tipo de extremos relativos son, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada $f''(x)=12\,x+4$. Como $f''(-1)=-8 \prec 0$, $x_{1}^{*}=-1$ corresponde a la abscisa de un máximo local; y, al ser $f''(1/3)=8 \succ 0$, $x_{2}^{*}=\dfrac{1}{3}$ es la abscisa de un mínimo local. El valor de función para $x_{1}^{*}=-1$ es $f(-1)=7$, luego las coordenadas del máximo local son $Máx(-1\,,\,7)$; y, el valor de función para $x_{2}^{*}=1/3$ es $f(1/3)=\dfrac{125}{27}$, luego las coordenadas del mínimo local son $Mín(1/3\,,\,125/27)$
A partir de las abscisas del mínimo y del máximo local, deducimos que hay dos intervalos de crecimiento: $(-\infty\,,\,-1)$ y $(1/3\,,\,+\infty)$, y un sólo intervalo de decrecimiento: $(-1\,,\,1/3)$
$\square$
Analizar la función ...
ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-x+b}{x-2}&\text{si}& x\le -1 \\ \\ \dfrac{x^2+6x+5}{x^2+4x+3}&\text{si}& x \succ -1 \end{matrix}\right.$$
a) Determínese para qué valores del parámetro $b$ la función $f(x)$ es continua en $x=-1$
b) Calcúlense las asíntotas de $f(x)$
SOLUCIÓN.
a)
Para que la función sea continua en $x=-1$ debe existir el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)$ y, para ello, han de existir los límites laterales y tener el mismo valor. Veamos cuáles son los límites laterales:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x)=\dfrac{1+b}{3}$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x)\overset{\text{ind.}}{=}\dfrac{0}{0}\overset{\text{factorizando}}{=}\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,\dfrac{(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+3)}=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,\dfrac{x+5}{x+3}=2$$ Imponiendo la igualdad de dichos límites laterales $$\dfrac{1+n}{3}=2 \Leftrightarrow b=5$$ Así, para $b=5$, $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x) = f(-1)=2$$ y la función es continua en $x=-1$
b)
En el conjunto de valores de $x$ que toman imágenes de acuerdo con el primer tramo de función no hay ninguna asíntota vertical, ya que el denominador se anula para $x=2 \succ -1$; tampoco hay asíntontas verticales para el conjunto de valores de $x$ que toman imágenes con el segundo tramo, pues el denominador se anula para $x=-3 \prec -1$. Por consiguiente, la función $f(x)$ no tiene asíntotas verticales.
Veamos ahora si tiene asíntotas oblicuas ( incluyendo las horizontales ): $y=m\,x+k$. Para el primer tramo, $$m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x\,(x-2)}=0$$ luego al tener pendiente nula, sólo tiene una asíntota horizontal; calculemos ahora el valor de la ordenada en el origen $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x-2}-0\cdot x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x-2}=1$$ por consiguiente encontramos la siguiente asíntota horizontal: $\text{a.h.}:y=1$. Si procedemos de la misma forma con el segundo tramo de la función, encontramos el mismo resultado. $\square$
a) Determínese para qué valores del parámetro $b$ la función $f(x)$ es continua en $x=-1$
b) Calcúlense las asíntotas de $f(x)$
SOLUCIÓN.
a)
Para que la función sea continua en $x=-1$ debe existir el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)$ y, para ello, han de existir los límites laterales y tener el mismo valor. Veamos cuáles son los límites laterales:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x)=\dfrac{1+b}{3}$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x)\overset{\text{ind.}}{=}\dfrac{0}{0}\overset{\text{factorizando}}{=}\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,\dfrac{(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+3)}=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,\dfrac{x+5}{x+3}=2$$ Imponiendo la igualdad de dichos límites laterales $$\dfrac{1+n}{3}=2 \Leftrightarrow b=5$$ Así, para $b=5$, $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x) = f(-1)=2$$ y la función es continua en $x=-1$
b)
En el conjunto de valores de $x$ que toman imágenes de acuerdo con el primer tramo de función no hay ninguna asíntota vertical, ya que el denominador se anula para $x=2 \succ -1$; tampoco hay asíntontas verticales para el conjunto de valores de $x$ que toman imágenes con el segundo tramo, pues el denominador se anula para $x=-3 \prec -1$. Por consiguiente, la función $f(x)$ no tiene asíntotas verticales.
Veamos ahora si tiene asíntotas oblicuas ( incluyendo las horizontales ): $y=m\,x+k$. Para el primer tramo, $$m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x\,(x-2)}=0$$ luego al tener pendiente nula, sólo tiene una asíntota horizontal; calculemos ahora el valor de la ordenada en el origen $$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x-2}-0\cdot x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{x-5}{x-2}=1$$ por consiguiente encontramos la siguiente asíntota horizontal: $\text{a.h.}:y=1$. Si procedemos de la misma forma con el segundo tramo de la función, encontramos el mismo resultado. $\square$
Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales
ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ x&+&2\,y&+&3\,z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&2\,z&=&0 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$
b) Resuélvase para $a=0$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $(A|b) =\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 0\\
1 & a & 2 & 0\\
\end{array}\right)$. Para realizar el estudio de rangos ( y aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius ), procedemos a reducir la matriz por Gauss, puesto que las matrices que así se van obteniendo son equivalentes en rango a la original ( Nota: además, el proceso nos proporciona sistemas de ecuaciones equivalentes en solución al original, lo cual facilitará la resolución del segundo apartado ).
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 0\\
1 & a & 2 & 0\\
\end{array}\right) \overset{(-1)\cdot f_1+f_2 \rightarrow f_2; (-1)\cdot f_1+f_3 \rightarrow f_3}{ \sim} \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -1\\
0 & a-2 & 1 & -1\\
\end{array}\right) \sim$
$\overset{\text{intercambiando} f_2 y f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & a-2 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2 & -1\\
\end{array}\right)$ y el sistema equivalente es $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ &&(a-2)\,y&+&z&=&-1 \\ &&&&2\,z&=&-1 \end{matrix}\right.$$
Observemos que:
I) Si $a-2=0 \Leftrightarrow a=2$, entonces las dos últimas ecuaciones son incompatibles, luego el sistema es incompatible.
II) Para cualquier otro valor de $a$ ( distinto de $2$ ), se tiene que $\text{rango}(A|b)=\text{rango}(A)=3$, luego el sistema es compatible; y, además, determinado, pues el valor de los rangos coincide con el del número de incógnitas.
b)
Si $a=0 \neq 2$ estamos en el segundo caso, con lo cual existe una única solución ( sistema compatible determinado ), que representa un punto en el espacio $\mathbb{R}^3$. Procedemos a resolver el sistema para dicho valor del parámetro $a$:
El sistema equivalente es $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ &&-2\,y&+&z&=&-1 \\ &&&&2\,z&=&-1 \end{matrix}\right.$$
Iniciamos el proceso de sustitución retrógrada:
i) De la tercera ecuación, obtenemos $z=-1/2$
ii) Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, podemos escribir $-2y-\dfrac{1}{2}=-1$, y, despejando $y$, se obtiene $y=1/4$
iii) Finalmente, sustituyendo los valores encontrados para $z$ y para $y$ en la primera ecuación, encontramos $x+2\cdot \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=1$, de donde, despejando $x$, se obtiene $x=1$
Así, pues, la solución viene dada por el punto $(1\,,\,1/4\,,\,-1/2)$
$\square$
a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$
b) Resuélvase para $a=0$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $(A|b) =\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 0\\
1 & a & 2 & 0\\
\end{array}\right)$. Para realizar el estudio de rangos ( y aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius ), procedemos a reducir la matriz por Gauss, puesto que las matrices que así se van obteniendo son equivalentes en rango a la original ( Nota: además, el proceso nos proporciona sistemas de ecuaciones equivalentes en solución al original, lo cual facilitará la resolución del segundo apartado ).
$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 0\\
1 & a & 2 & 0\\
\end{array}\right) \overset{(-1)\cdot f_1+f_2 \rightarrow f_2; (-1)\cdot f_1+f_3 \rightarrow f_3}{ \sim} \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -1\\
0 & a-2 & 1 & -1\\
\end{array}\right) \sim$
$\overset{\text{intercambiando} f_2 y f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & a-2 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2 & -1\\
\end{array}\right)$ y el sistema equivalente es $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ &&(a-2)\,y&+&z&=&-1 \\ &&&&2\,z&=&-1 \end{matrix}\right.$$
Observemos que:
I) Si $a-2=0 \Leftrightarrow a=2$, entonces las dos últimas ecuaciones son incompatibles, luego el sistema es incompatible.
II) Para cualquier otro valor de $a$ ( distinto de $2$ ), se tiene que $\text{rango}(A|b)=\text{rango}(A)=3$, luego el sistema es compatible; y, además, determinado, pues el valor de los rangos coincide con el del número de incógnitas.
b)
Si $a=0 \neq 2$ estamos en el segundo caso, con lo cual existe una única solución ( sistema compatible determinado ), que representa un punto en el espacio $\mathbb{R}^3$. Procedemos a resolver el sistema para dicho valor del parámetro $a$:
El sistema equivalente es $$\left\{\begin{matrix}x&+&2\,y&+&z&=&1 \\ &&-2\,y&+&z&=&-1 \\ &&&&2\,z&=&-1 \end{matrix}\right.$$
Iniciamos el proceso de sustitución retrógrada:
i) De la tercera ecuación, obtenemos $z=-1/2$
ii) Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, podemos escribir $-2y-\dfrac{1}{2}=-1$, y, despejando $y$, se obtiene $y=1/4$
iii) Finalmente, sustituyendo los valores encontrados para $z$ y para $y$ en la primera ecuación, encontramos $x+2\cdot \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=1$, de donde, despejando $x$, se obtiene $x=1$
Así, pues, la solución viene dada por el punto $(1\,,\,1/4\,,\,-1/2)$
$\square$
martes, 14 de junio de 2016
Intervalos de confianza
ENUNCIADO. La producción diaria de leche, medida en litros, de una cierta granja de ganado vacuno se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación estándar $\sigma=50$ litros.
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el intervalo de confianza par $\mu$ al $95\,\%$ tenga una amplitud a lo sumo de $10$ litros
b) Se toman datos de producción de $25$ días, escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $940$ litros si sabemos que $\mu=950$ litros.
SOLUCIÓN.
a)
Sea $X \sim N(\mu,50)$. La amplitud del intervalo de confianza es el máximo error que se comete en la estimación de $\mu$ y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Entonces, según la información del enunciado, $E \ge 10$, por tanto $$z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \ge 10$$
Teniendo en cuenta que el nivel de confianza de la estimación es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$, luego $\alpha/2=0,025$; y como $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0.025=0,975$, consultando en las tablas de la función de distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos que la abscisa $z_{\alpha/2}$ es igual a $1,96$. Así, $$1,96\cdot \dfrac{50}{\sqrt{n}} \ge 10$$ con lo cual $$n \ge \left(\dfrac{1,96 \cdot 50}{10}\right)^2$$ y simplificando encontramos que $$n \ge 96,04 \approx 97 \; \; \text{(aproximando por exceso)}$$
b)
A partir de los datos $\mu=950$ gramos, $\sigma=50$ gramos y $n=25$, debemos calcular $$P\{\bar{X} \le 940\}$$ Por el teorema Central del Límite, sabemos que $\bar{X}$ sigue una distribución $N(950,\dfrac{50}{\sqrt{25}})$, luego tipificando la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{\bar{X}-\mu}}{\sigma/\sqrt{n}}$ podemos escribir
$P\{\bar{X} \le 940\}=P\{Z \le \dfrac{940-950}{50/\sqrt{25}}==P\{Z \le -1\}=$
$=P\{Z \ge 1\}$, por la simetría de la función de densidad con respecto al eje de ordenadas
$=1-P\{Z\le 1\}$, por la propiedad del contrario
$=1-F(1)$
$=1-0{,}8413$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$, siendo $Z:N(0\,,\,1)$
$=0{,}1587 \approx 16\,\%$
$\square$
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el intervalo de confianza par $\mu$ al $95\,\%$ tenga una amplitud a lo sumo de $10$ litros
b) Se toman datos de producción de $25$ días, escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $940$ litros si sabemos que $\mu=950$ litros.
SOLUCIÓN.
a)
Sea $X \sim N(\mu,50)$. La amplitud del intervalo de confianza es el máximo error que se comete en la estimación de $\mu$ y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Entonces, según la información del enunciado, $E \ge 10$, por tanto $$z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \ge 10$$
Teniendo en cuenta que el nivel de confianza de la estimación es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$, luego $\alpha/2=0,025$; y como $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0.025=0,975$, consultando en las tablas de la función de distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos que la abscisa $z_{\alpha/2}$ es igual a $1,96$. Así, $$1,96\cdot \dfrac{50}{\sqrt{n}} \ge 10$$ con lo cual $$n \ge \left(\dfrac{1,96 \cdot 50}{10}\right)^2$$ y simplificando encontramos que $$n \ge 96,04 \approx 97 \; \; \text{(aproximando por exceso)}$$
b)
A partir de los datos $\mu=950$ gramos, $\sigma=50$ gramos y $n=25$, debemos calcular $$P\{\bar{X} \le 940\}$$ Por el teorema Central del Límite, sabemos que $\bar{X}$ sigue una distribución $N(950,\dfrac{50}{\sqrt{25}})$, luego tipificando la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{\bar{X}-\mu}}{\sigma/\sqrt{n}}$ podemos escribir
$P\{\bar{X} \le 940\}=P\{Z \le \dfrac{940-950}{50/\sqrt{25}}==P\{Z \le -1\}=$
$=P\{Z \ge 1\}$, por la simetría de la función de densidad con respecto al eje de ordenadas
$=1-P\{Z\le 1\}$, por la propiedad del contrario
$=1-F(1)$
$=1-0{,}8413$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$, siendo $Z:N(0\,,\,1)$
$=0{,}1587 \approx 16\,\%$
$\square$
Cálculo de probabilidades con sucesos condicionados
ENUNCIADO. Una conocida orquesta sinfónica está compuesta por un $55\,\%$ de varones y un $45\,\%$ de mujeres. En la orquesta un $30\,\%$ de los instrumentos son de cuerda. Un $25\,\%$ de las mujeres de la orquesta interpreta un instrumento de cuerda. Calcúlese la probabilidad de que un intérprete de dicha orquesta elegido al azar:
a) Sea una mujer si se sabe que es intérprete de un instrumento de cuerda
b) Sea intérprete de un instrumento de cuerda y sea varón
SOLUCIÓN.
Denotemos por $V$ al suceso "elegir un intérprete que sea varón"; por $M$ al suceso "elegir un intérprete que sea mujer", y por $C$ al suceso "elegir un intérprete de cuerda".
a)
Como $M \cap C = C \cap M$, podemos escribir $P(M \cap C)=P( C \cap M)$, y, por la definición de probabilidad condicionada, $$P(M|C)\,P(C)=P(C|M)\,P(M)$$ con lo cual $$P(M|C)=\dfrac{P(C|M)\,P(M)}{P(C)}$$ poniendo los datos: $$P(M|C)=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}45}{0{,}3}=0{,}375$$
b)
$P(C \cap V)=P(V \cap C)\overset{\text{p. cond.}}{=}(P(V|C)\,P(C)\overset{\text{prop. del contrario}}{=}(1-P(\bar{V}|C))\,P(C)=$
$=(1-P(M|C))\,P(C)=(1-0{,}375)\cdot 0{,}3 = 0{,}1875$
$\square$
a) Sea una mujer si se sabe que es intérprete de un instrumento de cuerda
b) Sea intérprete de un instrumento de cuerda y sea varón
SOLUCIÓN.
Denotemos por $V$ al suceso "elegir un intérprete que sea varón"; por $M$ al suceso "elegir un intérprete que sea mujer", y por $C$ al suceso "elegir un intérprete de cuerda".
a)
Como $M \cap C = C \cap M$, podemos escribir $P(M \cap C)=P( C \cap M)$, y, por la definición de probabilidad condicionada, $$P(M|C)\,P(C)=P(C|M)\,P(M)$$ con lo cual $$P(M|C)=\dfrac{P(C|M)\,P(M)}{P(C)}$$ poniendo los datos: $$P(M|C)=\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}45}{0{,}3}=0{,}375$$
b)
$P(C \cap V)=P(V \cap C)\overset{\text{p. cond.}}{=}(P(V|C)\,P(C)\overset{\text{prop. del contrario}}{=}(1-P(\bar{V}|C))\,P(C)=$
$=(1-P(M|C))\,P(C)=(1-0{,}375)\cdot 0{,}3 = 0{,}1875$
$\square$
Un ejercicio de derivación e integración
ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $f(x)=x^3+8$. Se pide:
a) Determínese el área de la región acotada delimitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=-3$ y $x=-1$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=1$
SOLUCIÓN.
a)
El área pedida es igual $\displaystyle \left|\int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx \right|$. Calculando la integral indefinida ( primer teorema fundamental del cálculo ): $\displaystyle \int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx$, vemos que una función primitiva de la función del integrando es $\dfrac{1}{4}\,x^4+8,x$, luego por la regla de Barrow ( segundo teorema fundamental del cálculo ), $$\displaystyle \int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx=$$ $$=\left[ \dfrac{1}{4}\,x^4+8,x \right]_{-3}^{-1}=\left( \dfrac{1}{4}\cdot (-1)^4+8\cdot (-1)\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot (-3)^4+8\cdot (-3)\right)=-4$$ y sacando el valor absoluto obtenemos que el área pedida es igual a $4$ unidades arbitrarias de área.
b)
La ecuación de la recta tangente en el punto $P$ de abscisa $x=1$ viene dada por $\text{r.t.}_{P}:y=m\,x+k$.
i) Calculamos, primero, la pendiente de la recta en el punto pedido: $$m\overset{\text{def}}{=}f'(x_P)=f'(1)=\left(3\,x^2\right)_{x=1}=3$$
ii) Calculamos ahora el valor de la ordenada en el origen, $k$, de la recta tangente. Como la ordenada de la recta en el punto de tangencia es igual al valor de función en dicho punto podemos escribir que $3\cdot 1+k=f(1)$, esto es, $3+k=1^3+8$ y por tanto $3+k=9$, con lo cual $k=6$.
Así, la ecuación pedida es $\text{r.t.}_{P}:y=3\,x+6$
$\square$
a) Determínese el área de la región acotada delimitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=-3$ y $x=-1$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=1$
SOLUCIÓN.
a)
El área pedida es igual $\displaystyle \left|\int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx \right|$. Calculando la integral indefinida ( primer teorema fundamental del cálculo ): $\displaystyle \int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx$, vemos que una función primitiva de la función del integrando es $\dfrac{1}{4}\,x^4+8,x$, luego por la regla de Barrow ( segundo teorema fundamental del cálculo ), $$\displaystyle \int_{-3}^{-1}\,(x^3+8)\,dx=$$ $$=\left[ \dfrac{1}{4}\,x^4+8,x \right]_{-3}^{-1}=\left( \dfrac{1}{4}\cdot (-1)^4+8\cdot (-1)\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot (-3)^4+8\cdot (-3)\right)=-4$$ y sacando el valor absoluto obtenemos que el área pedida es igual a $4$ unidades arbitrarias de área.
b)
La ecuación de la recta tangente en el punto $P$ de abscisa $x=1$ viene dada por $\text{r.t.}_{P}:y=m\,x+k$.
i) Calculamos, primero, la pendiente de la recta en el punto pedido: $$m\overset{\text{def}}{=}f'(x_P)=f'(1)=\left(3\,x^2\right)_{x=1}=3$$
ii) Calculamos ahora el valor de la ordenada en el origen, $k$, de la recta tangente. Como la ordenada de la recta en el punto de tangencia es igual al valor de función en dicho punto podemos escribir que $3\cdot 1+k=f(1)$, esto es, $3+k=1^3+8$ y por tanto $3+k=9$, con lo cual $k=6$.
Así, la ecuación pedida es $\text{r.t.}_{P}:y=3\,x+6$
$\square$
Un ejercicio de programación lineal
ENUNCIADO. Sea $\mathcal{R}$ la región del plano definida por: $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&\le&5\\ -x&+&y&\le&3\\ \dfrac{1}{2}\,x&-&y&\le&-2 \end{matrix}\right.$$
Se pide:
a) Representar la región $\mathcal{R}$ y calcular las coordenadas de sus vértices
b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=2\,x+y$ en la región $\mathcal{R}$, indicando los puntos de $\mathcal{R}$ en los que se alcanzan dichos valores máximo y mínimo.
SOLUCIÓN.
a)
Región factible:
$\mathcal{R}:\left\{\begin{matrix} y+x\le 5 \\ y-x \le 3 \\ \dfrac{1}{2}\,x-y \le -2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix} y \le -x+5\\ y \le x+3 \\ y \ge \dfrac{1}{2}\,x+2 \end{matrix}\right. \quad \quad (1)$
Las rectas delimitadoras de la región factible son, por tanto, $\left\{\begin{matrix} r:y=-x+5\\ s:y=x+3\\ t:y=\dfrac{1}{2}\,x+2\end{matrix}\right.$ Analizando el sentido de las desigualdades de (1) obtenemos el triángulo de la figura como polígono ( convexo ) que corresponde a la región factible. Vamos ahora a calcular las coordenadas de los vértices $A,B$ y $C$.
$A=s \cap t$ luego $A: \left\{\begin{matrix} y=x+3 \\ y=\dfrac{1}{2}\,x+2\end{matrix}\right.$ que tiene como solución el punto de coordenadas $(1,2)$
$B=r \cap t$ luego $B: \left\{\begin{matrix} y=-x+5 \\ y=\dfrac{1}{2}\,x+2\end{matrix}\right.$ que tiene como solución el punto de coordenadas $(2,3)$
$C=s \cap r$ luego $C: \left\{\begin{matrix} y=x+3 \\ y=-x+5\end{matrix}\right.$ que tiene como solución el punto de coordenadas $(1,4)$
b)
La región factible ( convexa ) es, en este caso, acotada superior e inferiormente, por lo que podemos asegurar que existe máximo y que existe mínimo. Veamos cuáles son y para qué puntos de la región factible se dan.
La función objetivo $f(x,y)=2x+y$ podemos expresarla de la forma $y=-2x+k$, donde la ordenada en el origen $k$ representa los valores $k\equiv f(x,y)$ de cada una de las rectas del haz de rectas paralelas ( familia de rectas de la función objetivo ). Así, los puntos de la región factible que estén sobre la recta ( o las rectas ) que tengan un valor de $k$ máximo ( respectivamente, mínimo ) corresponden a los puntos donde la función alcanza el máximo ( respectivamente, el mínimo ).
Tal como se puede apreciar en la figura, el máximo de la función objetivo $f(x,y)$ se alcanza en el punto $B(2,3)$ y por tanto su valor es igual a $f(2,3)=2\cdot 2+3=7$; y el mínimo de $f(x,y)$ se alcanza en el punto $A(-2,1)$ y su valor es igual a $f(-2,1)=2\cdot (-2)+1=-3$
$\square$
Se pide:
a) Representar la región $\mathcal{R}$ y calcular las coordenadas de sus vértices
b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=2\,x+y$ en la región $\mathcal{R}$, indicando los puntos de $\mathcal{R}$ en los que se alcanzan dichos valores máximo y mínimo.
SOLUCIÓN.
a)
Región factible:
$\mathcal{R}:\left\{\begin{matrix} y+x\le 5 \\ y-x \le 3 \\ \dfrac{1}{2}\,x-y \le -2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix} y \le -x+5\\ y \le x+3 \\ y \ge \dfrac{1}{2}\,x+2 \end{matrix}\right. \quad \quad (1)$
Las rectas delimitadoras de la región factible son, por tanto, $\left\{\begin{matrix} r:y=-x+5\\ s:y=x+3\\ t:y=\dfrac{1}{2}\,x+2\end{matrix}\right.$ Analizando el sentido de las desigualdades de (1) obtenemos el triángulo de la figura como polígono ( convexo ) que corresponde a la región factible. Vamos ahora a calcular las coordenadas de los vértices $A,B$ y $C$.
$A=s \cap t$ luego $A: \left\{\begin{matrix} y=x+3 \\ y=\dfrac{1}{2}\,x+2\end{matrix}\right.$ que tiene como solución el punto de coordenadas $(1,2)$
$B=r \cap t$ luego $B: \left\{\begin{matrix} y=-x+5 \\ y=\dfrac{1}{2}\,x+2\end{matrix}\right.$ que tiene como solución el punto de coordenadas $(2,3)$
$C=s \cap r$ luego $C: \left\{\begin{matrix} y=x+3 \\ y=-x+5\end{matrix}\right.$ que tiene como solución el punto de coordenadas $(1,4)$
b)
La región factible ( convexa ) es, en este caso, acotada superior e inferiormente, por lo que podemos asegurar que existe máximo y que existe mínimo. Veamos cuáles son y para qué puntos de la región factible se dan.
La función objetivo $f(x,y)=2x+y$ podemos expresarla de la forma $y=-2x+k$, donde la ordenada en el origen $k$ representa los valores $k\equiv f(x,y)$ de cada una de las rectas del haz de rectas paralelas ( familia de rectas de la función objetivo ). Así, los puntos de la región factible que estén sobre la recta ( o las rectas ) que tengan un valor de $k$ máximo ( respectivamente, mínimo ) corresponden a los puntos donde la función alcanza el máximo ( respectivamente, el mínimo ).
Tal como se puede apreciar en la figura, el máximo de la función objetivo $f(x,y)$ se alcanza en el punto $B(2,3)$ y por tanto su valor es igual a $f(2,3)=2\cdot 2+3=7$; y el mínimo de $f(x,y)$ se alcanza en el punto $A(-2,1)$ y su valor es igual a $f(-2,1)=2\cdot (-2)+1=-3$
$\square$
Cálculo con matrices
ENUNCIADO. Considérense las matrices
$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
a) Calcular el producto de matrices $A\,C\,C^{\top}\,A^{-1}$
b) Calcular la matriz $M=A\,B$. ¿ Existe $M^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
$A\,C\,C^{\top}\,A^{-1}=((A\,C)\,C^{\top})\,A^{-1} \quad \quad (1)$ ( por la propiedad asociativa del producto de matrices )
Entonces,
$A\,C=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 14 & 28 \\ 2 & 11 & 19 \\ 8 & 21 & 39 \end{pmatrix}$
Teniendo en cuenta que la matriz traspuesta de $C$ es $C^{\top}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, tenemos que $(A\,C)\,C^{\top}=\begin{pmatrix} 6 & 14 & 28 \\ 2 & 11 & 19 \\ 8 & 21 & 39 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 292 & 42 & 28 \\ 200 & 30 & 19 \\ 412 & 60 & 39 \end{pmatrix}$
Procedemos ahora a calcular la matriz inversa de $A$; para ello se aconseja emplear el método de Gauss-Jordan ( si bien también podemos emplear el método de la matriz adjunta ). Recordemos que el método de Gauss-Jordan consiste en realizar operaciones elementales de reducción al objeto de transformar $(A|I)$ en $(I|A)$. Omitimos los cálculos, pues ya los hemos explicado en muchas ocasiones ( por ejemplo en este otro ejercicio ), y damos directamente el resultado: $$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1/6 & -1/6 & 1/6 \\ -7/18 & 1/18 & 15/18 \\ 23/36 & 7/36 & -19/36 \end{pmatrix}$$
Y, finalmente, ya podemos completar el cálculo (1),
$((A\,C)\,C^{\top})\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 292 & 42 & 28 \\ 200 & 30 & 19 \\ 412 & 60 & 39 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1/6 & -1/6 & 1/6 \\ -7/18 & 1/18 & 15/18 \\ 23/36 & 7/36 & -19/36 \end{pmatrix} =$
$$=\begin{pmatrix} 51 & -368/9 & 410/9 \\ 1217/36 & -1007/36 & 1139/36 \\ 281/4 & -231/4 & 259/4 \end{pmatrix}$$
b)
Antes de empezar el cálculo, notemos que el producto de matrices $A_{3\times 3}\,B_{3 \times 2}$, por lo que la matriz que resulta de ello, $M$, ha de ser de tamaño $3 \times 2$. Procedemos al cálculo: $$M=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & 11 \\ 37 & 26 \\ 33 & 21 \end{pmatrix}$$
En respuesta a la segunda pregunta de este apartado: la matriz $M$ no es cuadrada, luego no está definida la matriz inversa para $M$.
$\square$
$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $C=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
a) Calcular el producto de matrices $A\,C\,C^{\top}\,A^{-1}$
b) Calcular la matriz $M=A\,B$. ¿ Existe $M^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
$A\,C\,C^{\top}\,A^{-1}=((A\,C)\,C^{\top})\,A^{-1} \quad \quad (1)$ ( por la propiedad asociativa del producto de matrices )
Entonces,
$A\,C=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 14 & 28 \\ 2 & 11 & 19 \\ 8 & 21 & 39 \end{pmatrix}$
Teniendo en cuenta que la matriz traspuesta de $C$ es $C^{\top}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, tenemos que $(A\,C)\,C^{\top}=\begin{pmatrix} 6 & 14 & 28 \\ 2 & 11 & 19 \\ 8 & 21 & 39 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 292 & 42 & 28 \\ 200 & 30 & 19 \\ 412 & 60 & 39 \end{pmatrix}$
Procedemos ahora a calcular la matriz inversa de $A$; para ello se aconseja emplear el método de Gauss-Jordan ( si bien también podemos emplear el método de la matriz adjunta ). Recordemos que el método de Gauss-Jordan consiste en realizar operaciones elementales de reducción al objeto de transformar $(A|I)$ en $(I|A)$. Omitimos los cálculos, pues ya los hemos explicado en muchas ocasiones ( por ejemplo en este otro ejercicio ), y damos directamente el resultado: $$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1/6 & -1/6 & 1/6 \\ -7/18 & 1/18 & 15/18 \\ 23/36 & 7/36 & -19/36 \end{pmatrix}$$
Y, finalmente, ya podemos completar el cálculo (1),
$((A\,C)\,C^{\top})\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 292 & 42 & 28 \\ 200 & 30 & 19 \\ 412 & 60 & 39 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1/6 & -1/6 & 1/6 \\ -7/18 & 1/18 & 15/18 \\ 23/36 & 7/36 & -19/36 \end{pmatrix} =$
$$=\begin{pmatrix} 51 & -368/9 & 410/9 \\ 1217/36 & -1007/36 & 1139/36 \\ 281/4 & -231/4 & 259/4 \end{pmatrix}$$
b)
Antes de empezar el cálculo, notemos que el producto de matrices $A_{3\times 3}\,B_{3 \times 2}$, por lo que la matriz que resulta de ello, $M$, ha de ser de tamaño $3 \times 2$. Procedemos al cálculo: $$M=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & 11 \\ 37 & 26 \\ 33 & 21 \end{pmatrix}$$
En respuesta a la segunda pregunta de este apartado: la matriz $M$ no es cuadrada, luego no está definida la matriz inversa para $M$.
$\square$
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