Tasas de variación y números índice

Enunciado:
En el periodo de un año, la tasa de crecimiento, $\alpha$, de una población ha sido del $5\,\%$. La población inicial estaba formada por $1000$ individuos. Se pide:
  (a) El valor de la población final ( al final del año )
  (b) El valor del índice de crecimiento anual, $\beta$, con base igual a $100$

Solución:

  (a)
La tasa de crecimiento, $\alpha$, en un determinado periodo $T$ se define como
    $\alpha=\dfrac{P_f-P_i}{P_i}$
donde $P_i$ es la población inicial ( en número de individuos), $P_f$ denota la población final y $T$ el periodo ( en el caso que nos ocupa es de un año), por tanto,
    $-1 \le \alpha \le 1$

Nota: Una tasa de variación positiva corresponde a un aumento de la población; un valor negativo de la tasa indica un descenso de la población, y un valor nulo corresponde a una situación en la que la población se mantiene constante.

Entonces,
    $\dfrac{P_f-1000}{1000}=0,05$

y, despejando $P_f$

    $P_f=1\,050 \; \text{individuos}$

  (b)
El índice de crecimiento, $\beta$, en un determinado periodo $T$ - recordemos que en nuestro caso es de $1$ año -, viene a representar la población final relativa a un base ( inicial ) dada.

Es decir, para un valor de referencia arbitrario ( convenido ) para la población inicial de referencia que denominamos base y que, en este problema, se nos dice que tomemos el valor $100$ para la misma, se define el índice de crecimiento, $\beta$, como la cantidad proporcional que correspondería a la población final. Así, el valor de un número índice será mayor que $1$ si la población final es mayor que la inicial; menor que uno, en el caso que la población final sea menor que la inicial, e igual a uno, si la población se mantiene constante.

Por tanto, si en un principio había $1000 \;\text{individuos}$, asignando el valor base $100 $ a esta cantidad, calculamos el valor del índice de crecimiento, $\beta$, mediante una simple proporción:
    $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{P_f}{P_i}$
és a dir
    $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{1050}{1000} \Rightarrow \beta=105$

Observación (relación explícita entre el valor de la tasa de variación y el valor del número índice): De $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{P_f}{P_i}$ se tiene que $\beta=\dfrac{P_f}{P_i}\cdot 100$ y teniendo en cuenta que $P_f=\alpha\,P_i + P_i$ podemos escribir que $\beta=\dfrac{\alpha\,P_i+P_i}{P_i}\cdot 100$ con lo cual $\beta=(\alpha+1)\cdot 100$, luego $\alpha=\dfrac{\beta}{100}-1$. En general, si en lugar de tomar como valor de base $100$ tomamos otro valor arbitrario, $b$, se tiene que $\alpha=\dfrac{\beta}{b}-1$.
En el ejemplo, comprobamos que así es: siendo el valor del índice $105$, entonces, $\dfrac{105}{100}-1=0,05$, que corresponde al valor de la tasa de variación.

Nota:   Los números índice se utilizan muy a menudo en Estadística. Son de gran utilidad en Economía; un ejemplo de número índice es el IPC.

Nota:   Tal y como ya se pone de manifiesto en este problema, no debemos confundir el concepto de número índice con el de tasa de variación, a pesar de que ambas nociones hagan referencia a una idea similar. Debemos destacar también otra diferencia importante entre un número índice y una tasa de variación: de acuerdo con la definición, si la base es positiva, un número índice no puede tomar un valor negativo; sin embargo, sí puede tomar un valor negativo una tasa de variación, cuando la población final es menor que la inicial.

$\diamond$

Resumen de la aproximación de la distribución binomial por la d. normal

Vamos a resumir algunas cosas importantes para poder hacer los cálculos de los problemas sobre las distribuciones de probabilidad elementales.

Dada una variable aleatoria que siga una distribución binomial ( que es una d. discreta), $X \sim B(n,p)$, puede ésta aproximarse por una variable aleatoria continua que sigue la distribución normal, $Y \sim N \big( pn\,,\,\sqrt{np(1-p)} \big)$, siempre que $n$ sea lo suficientemente grande, pongamos que $n \succ 10$, se cumpla que:
  (1) siendo $p$ mayor o igual que $0,5$, si $n\,(1-q)\ge 5$
  (2) siendo $p$ menor que $0,5$, si $n\,p \ge 5$

Recordemos que al realizar la transformación $Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$ ( tipificación de la variable ), siendo $\mu=n\,p$ y $\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}$ los parámetros de la distribución que sigue la v.a. $Y$,
se cumple $P\{Y\le k\}=P\{\dfrac{Y-\mu}{\sigma}\le \dfrac{k-\mu}{\sigma}\}$; ésto es, $P\{Z\le \dfrac{k-\mu}{\sigma}\}$, que es el valor de la función de distribución de probabilidad para $Z=k$, ésto es, $F(k)$, siendo $Z \sim N(0,1)$, con lo cual, podemos realizar los cálculos leyendo los valores de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ que vienen en las tablas.

Sin embargo, al aproximar una variable aleatoria discreta por una v.a. continua como es una normal, será necesario, además, hacer una corrección de continuidad, que consiste en sumar o restar media unidad a los valores de referencia de cálculo, tal como se indica en los siguientes casos:

    (i) Como $P\{Y=k\}=0$, pues $Y$ es una variable aleatoria continua, siendo, claro está, $P\{X=k\} \neq 0$, surge, pues, la necesidad de realizar una corrección de continuidad al utilizar la variable continua como aproximación, que, en buena lógica, deberá ser la siguiente $P\{X=k\}\approx P\{k-0,5 \le Y \le k+0,5\}$.

    (ii) Luego, para el caso $P\{a\le X\le b\}$, procede hacer la siguiente corrección de continuidad: $P\{a\le X\le b\} \approx P\{ Y \le b+0'5\}-P\{ Y \le a-0,5\}$.

    (iii) Para calcular $P\{X \prec k\}$, aproximamos por la variable continua y, por tanto, $P\{X \prec k\} \approx P\{Y \le k\} \le P\{ Y \le k+0'5\}$, y considerando, pues, dicha cota superior como mejor aproximación, haremos la corrección de continuidad para este caso de la siguiente forma: $P\{X \prec k\} \approx P\{ Y \le k+0'5\}$

    (iv) Y para calcular $P\{X \succ k\}$, tengamos en cuenta que $P\{X \succ k\}=P\{k \prec X\} \approx P\{k \le Y\} \le P\{k-0'5 \le Y\}$, luego considerando dicha cota superior como mejor aproximación, la corrección de continuidad se hará ahora de la forma: $P\{X \succ k \} \approx P\{ Y \ge k-0'5 \}$

          Observación: Con las distribuciones continuas, el que utilicemos desigualdades fuertes o débiles dará lo mismo, pues la probabilidad de un valor puntual es cero; así pues, si $Y$ es una variable aleatoria continua $P\{Y\prec k\}=P\{Y\le k\}$ así como $P\{Y\succ k\}=P\{Y\ge k\}$.

Ejemplo:
Sea $x \sim B(200\,,\,0'6)$. Calcular:
    a) $P\{X=140\}$
    b) $P\{X \prec 100 \}$
    c) $P\{X \prec 130 \}$
    d) $P\{110 \prec X \prec 130 \}$
    e) $P\{X \succ 150 \}$

Resolución:
    a) $P\{X=140\} \approx P\{Y=40\}$ donde $Y \sim N(200\cdot 0'6\,,\,\sqrt{200\cdot 0'6\cdot (1-0'6)}) \approx N(120\,,\,7)$
luego
$P\{X=140\} \approx P\{140-0'5 \le Y \le 140+0'5)$
    $=P\{Y \le 140'5\}-P\{Y \le 139'5)$
    $=P\{Z\le \dfrac{140'5-120}{7}\}-P\{Z\le \dfrac{139'5-120}{7}\}$
    $\approx P\{ Z \le 2'93 \} - P\{ Z \le 2'79 \}$
    $=F(2,93)-F(2'79)$
    $\approx 0'0009$

    b) $P\{X \prec 100 \} \approx P\{Y \le 100'5\}$
      $=P\{Z \le \dfrac{100'5-120}{7} \}$
      $\approx P\{Z \le -2'79\}=P\{Z \ge 2'79\}$
      $=1-P\{Z \le 2'79\}$
      $=1-F(2'79) \approx 1-0'9974=0'0026$

    c) $P\{X \prec 130 \} \approx P\{Y \le 130'5\}$
      $=P\{Z \le \dfrac{130'5-120}{7} \}$
      $\approx P\{Z \le 1'5\}=F(1'5)$
      $\approx 0'9332$

    d) $P\{110 \prec X \prec 130 \} \approx P\{-2'70 \le Z \le 1'5 \}$ ( aprovechando los cálculos de los apartados c) y d) )
      $=F(1'5)-F(-2'70)$
      $\approx 0'9332-0'0026$
      $\approx 0'9306$

    e) $P\{X \succ 150 \} \approx P\{ Y \ge 150-0'5 \} $
      $=P\{ Z \ge \dfrac{149'5-120}{7} \}$
      $=P\{ Z \ge 4'21 \}$
      $=1-P\{ Z \le 4'21 \}$
      $=1-F(4'21)$
      $=1-0'99999$
      $=0'00002$

$\square$

En una finca agraria hay plantadas cincuenta manzanos . Cada árbol produce ochocientas manzanas . Por cada árbol adicional que plantamos , la producción de cada árbol se reduce en diez manzanas . ¿Cuántos árboles más necesitamos plantar para obtener la máxima producción? ¿Cuál es esta producción ? .

Enunciado :
En una finca agraria hay plantadas cincuenta manzanos . Cada árbol produce ochocientas manzanas . Por cada árbol adicional que plantamos , la producción de cada árbol se reduce en diez manzanas . ¿Cuántos árboles más necesitamos plantar para obtener la máxima producción? ¿Cuál es esta producción ? .

Solución :
Sea $x$ el número de árboles nuevos que se plantan y $f(x)$ la función que da el número total de manzanas producidas en la finca , que debe ser igual al producto del número total de árboles, $50+x$, por el número de manzanas que da cada árbol, $800-10\,x$, es decir
$f(x)=(50+x)\,(800-10\,x)$
que es una función polinómica de segundo grado y que también podemos escribir de la forma
$f(x)=-10\,x^2+300\,x+40\,000$
La curva que describe una función de este tipo es una parábola y, en este caso concreto, se abre hacia el sentido negativo del eje de ordenadas, ya que el coeficiente del término de segundo grande es negativo, por lo tanto, el vértice de la parábola es un máximo relativo ( que es también el m . absoluto ). La abscisa del vértice de una parábola viene dado por la fórmula
$x_v=-\dfrac{b}{2\,a}$
donde $b=​​300$ y $a=-10$ , por tanto
$x_v=-\dfrac{300}{2\cdot(-10)}=15$
    árboles
==
Nota: Esta fórmula del vértice se puede deducir de varias maneras , la más cómoda ( bachillerato ), pasa por imponer la condición necesaria de extremo relativo ( $f^{'}(x)=0$ ) y determinar de ahí los puntos estacionarios (evidentemente , en una parábola sólo hay uno : el vértice de la p. ) . En efecto , siendo
$f(x)=a\,x^2+b\,x+c$
la función derivada es
$f^{'}(x )=-2\,a\,x + b$
y, de ahí,
$x_v=-\dfrac{b}{2\,a}$
==
La razón dada sobre el coeficiente negativo del término de segundo grado garantiza que $ x_v = 15$ corresponda a un máximo relativo ( también absoluto , tratándose de una parábola ) . En conclusión ,
hay que plantar $15$ manzanos para maximizar la producción. Calculamos , por último, este valor máximo :
$f_{\text{max}}=f(15)=40\,000+300\cdot 15-10\cdot 15^2$
$ =42\,250\;\text{manzanas}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicios resueltos del 4.º examen del primer trimestre

Ejercicios resuetos del cuarto examen del primer trimestre

[nota del autor]

Un ejercicio de aplicación del Teorema de la Probabilidad Total y del Teorema de Bayes

Enunciado:
En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. Las dos terceras partes del pasaje van en clase turista y el resto en clase preferente. Se sabe también que todos los pasajeros que viajan en clase preferente hablan inglés y que el $40\,\%$ de los pasajeros que viajan en clase turista no hablan inglés. Se elige un pasajero del avión al azar.
  a) Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido hable inglés
  b) Se observa que el pasajero elegido habla inglés, ¿ cuál es la probabilidad de que viaje en clase turista ?.

Resolución:
Habiendo elegido el pasajero al azar, denominemos: $A$ al suceso habla inglés; $\bar{A}$, al suceso no habla inglés; $F$ al suceso viaja en preferente, y $T$ al suceso viaja en clase turista.
  a)
Por el Teorema de la Probabilidad Total podemos escribir

$P(A)=P(A|F)\,P(F)+P(A|T)\,P(T) \quad \quad \quad (1)$
donde
$P(T)=\dfrac{2}{3}$
y como, por ser $F$ el suceso contrario de $T$ y que denotamos de la forma
$F=\bar{T}$, obtenemos
$P(F)=1-P(T)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
además, la probabilidad que, sabiendo que el pasajero va en clase turista, hable inglés es
$P(\bar{A}|T)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow P(A|T)=1-P(\bar{A}|T)=\dfrac{3}{5}$
Por otra parte, la probabilidad que, sabiendo que un pasajero va en clase preferente, hable inglés es
$P(A|F)=1$

Sustituyendo estos valores en (1)
$P(A)=1\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{3}$
es decir
$P(A)=\dfrac{11}{15} \approx 73\,\%$

  b)
Por el Teorema de Bayes

$P(T|A)=\dfrac{P(A|T)\,P(T)}{P(A)}$

y con las probabilidades calculadas, nos queda

$P(T|A)=\dfrac{\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{11}{15}}=\dfrac{6}{11} \approx 55\,\%$

$\square$

[nota del autor]

No aditividad del determinante

Enunciado:
Sean $A$ y $B$, matrices de orden $n$, tales que
$\text{det}(A)\neq 0$
y
$\text{det}(B)\neq 0$
Demostrar que
$\text{det}(A+B)\neq \text{det}(A)+\text{det}(B)$

Resolución:
Es suficiente con encontrar un contraejemplo.

Consideremos las matrices
$A=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 0&2\end{pmatrix}$
y
$A=\begin{pmatrix}3 & 3 \\ 0&3\end{pmatrix}$

luego
$A+B=\begin{pmatrix}2+3 & 2+3 \\ 0&2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 5 \\ 0&5\end{pmatrix}$

Entonces
$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 0&2\end{vmatrix}=4$

$\text{det}(B)=\begin{vmatrix}3 & 3 \\ 0&3\end{vmatrix}=9$

$\text{det}(A+B)=\begin{vmatrix}5 & 5 \\ 0&5\end{vmatrix}=25$

Como
$4+9=13 \neq 25$
concluimos que
$\text{det}(A)+\text{det}(B) \neq \text{det}(A+B)$
$\square$

[nota del autor]

Matriz ortogonal

Enunciado:
Sea la matriz
    $A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
  a) ¿ Qué significa que la matriz $B$ sea la matriu inversa de $A$ ?
  b) Encontrar el valor de $p$ para que la matriz inversa de $A$ sea igual a la matriz traspuesta $A$ ( es decir $A$ es una matriz ortogonal )

a)       Resolución:
$B=A^{-1}$ si, y sólo si, $A$ es una matrizregular ( invertible ) y, por tanto, si $\det(A)\neq 0$, de tal manera que $B\,A=A\,B=I_3$, donde $I_3$ es la matriz identidad d'orden $3$


b)       Resolución:
Recordemos que
$A^{-1}=\dfrac{(\text{Adj}(A))^t}{\text{det}(A}$
en otras palabras
$A^{-1}=\Big(\dfrac{\alpha_{ij}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}^{t}=\Big(\dfrac{\alpha_{ji}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}$
  para $i,j=1,2,3$
donde los cofactores $\alpha_{ij}$ se calculan de la siguiente manera
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,A_{ij}$
siendo $A_{ij}$ los adjuntos ( menores de orden $n-1$, donde, en este caso, $n=3$ ) que se obtienen de los elementos que quedan al suprimir la fila y la columna del elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$

Observemos que
$\alpha_{12}=-\begin{vmatrix} 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ p & -\frac{1}{\sqrt{6}}\end{vmatrix}=-\frac{2p}{\sqrt{6}}$
y teniendo en cuenta que
$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=\{f_2+f_3\rightarrow f_2; f_1+f_3 \rightarrow f_1\}$

        $=\begin{vmatrix}p+\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\ \\ p&0 &-\frac{3}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\,\begin{vmatrix} 0 &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p& -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}$
el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz inversa es
$\dfrac{-\frac{2p}{\sqrt{6}}}{-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}$
y como se nos dice que $A^{-1}$ es igual a $A^t$, este valor deberá coincidir con el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz traspuesta de $A$, que es
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
es decir
$\dfrac{\frac{2p}{\sqrt{6}}}{(p+\frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
de donde, resolviendo esta ecuación de primer grado, obtenemos el valor que toma $p$
$p=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\square$

[nota del autor]

Un ejemplo de resolución de problema de programación lineal

Sabiendo que $\{x=2,y=1,z=-1\}$ es la solución del sistema compatible determinado $\left.\begin{matrix}a\,x &+ &b\,y&+&c\,z&=&a+c \\ b\,x &- &y&+&b\,z&=&a-b-c\\ c\,x &- &b\,y&+&2\,x&=&b \\ \end{matrix}\right\}$ calcular el valor de los parámetros $a$, $b$ i $c$.

Enunciado:
Sabiendo que $\{x=2,y=1,z=-1\}$ es la solución del sistema compatible determinado
    $\left.\begin{matrix}a\,x &+ &b\,y&+&c\,z&=&a+c \\ b\,x &- &y&+&b\,z&=&a-b-c\\ c\,x &- &b\,y&+&2\,x&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
calcular el valor de los parámetros $a$, $b$ i $c$.

Resolución:
Sustituyendo las variables por los valores respectivos de la solución obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son $a$, $b$ y $c$
    $\left.\begin{matrix}2\,a &+ &b&-&c&=&a+c \\ 2\,b &- &1&-&b&=&a-b-c \\ 2\,(c+2) &- &b&&&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
y, ordenándo sus ecuaciones, podemos escribirlo de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ a & -&2\,b &- &c&=&-1 \\ & &2\,b &- &2\,c&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
Procedemos a reducirlo por Gauss ( para obtener el sistema escalonado inferiormente, equivalente al original ):
con
    $e_2 \leftarrow e_2-e_1$
podemos escribirlo de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ & &-3\,b &+ &c&=&-1 \\ & &2\,b &- &2\,c&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
y permutando el orden de las incógnitas $b$ y $c$ llegamos a
    $\left.\begin{matrix}a &-& 2\,c&+&b&=&0 \\ & &c &- &3\,b&=&-1 \\ & &-2\,c &+ &2\,b&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
Finalmente, realizando la siguiente operación elemental
    $e_3 \leftarrow 2\,e_2+e_3$
puede escribirse de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &-& 2\,c&+&b&=&0 \\ & &c &- &3\,b&=&-1 \\ & && &-4\,b&=&2 \\ \end{matrix}\right\}$
que, siendo el número de ecuaciones no identicamente nulas igual a $3$, todas ellas son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y, como es igual al número de incógnitas, por el Teorema de Rouché, la solución del sistema es única ( s. compatible determinado ). Veamos su solución.
Despejando $b$ de la tercera ecuación,
    $b=-\dfrac{1}{2}$
y sustituyendo éste en al segunda,
    $c=3\cdot \big(-\dfrac{1}{2}\big)-1=-\dfrac{5}{2}$
y, finalmente, sustituyendo ambos resultados en la primera,
    $a=2\cdot \big(-\dfrac{5}{2}\big)+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{9}{2}$
$\square$

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ i $B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}$ Se pide: (a) Calcular el valor de los parámetros $a$ i $b$ tales que se cumpla $A\,B=B\,A$ (b) Determinar el valor del parámetro $a$ tal que $A^2=2\,A$

Enunciado:
Sean las matrices
    $A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
y
    $B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}$
Se pide:
  (a) Calcular el valor de los parámetros $a$ i $b$ tales que se cumpla
    $A\,B=B\,A$
  (b) Determinar el valor del parámetro $a$ tal que
    $A^2=2\,A$

Resolución:
  Resolución de (a):
Calculamos los productos $A\,B$ i $B\,A$
    $A\,B=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+a\,b & -a\\ -6 & 0\end{pmatrix}$
    $B\,A=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 3\,a\\ 2\,b+2 & a\,b\end{pmatrix}$
Entonces, igualando coeficiente a coeficiente, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones
    $\left\{\begin{matrix} 6+a\,b&=&6 \\ -a&=&3\,a \\ -6&=&2\,b+2 \\ 0&=&a\,b\\\end{matrix}\right.$
La primera ecuació es la misma que la cuarta, que nos dice $a$ a o bé $b$ han de ser zero;
de la segunda, vemos que$a=0$; y, de la tercera, deducimos $b=4$.
Luego deducimos que
    $A\,B=B\,A$
y que los elementos de ambas matrices son:
    $A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
y
$B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}$

Combrobación de (a):
En efecto, realizando los productos, $A\,B$ y $B\,A$
vemos que se obtiene la misma matriz
$A\,B=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -6 & 0\end{pmatrix}$
$B\,A=\begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -6 & 0\end{pmatrix}$

  Resolución de (b):
Calculando el valor de los dos miembros de la igualdad,
    $A^2=2\,A$
vemos que se llega al mismo resultado; en efecto:
    $A^2=A\,A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2\,a & 2\,a\\ -4 & -2\,a\end{pmatrix}$
    $2\,A=2\,\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\,a\\ -4 & 0\end{pmatrix}$
y, teniendo en cuenta que el valor de los elementos de iguales índices, en ambas matrices resultantes, debe ser el mismo, tenemos que


    $\left\{\begin{matrix} 4-2\,a&=&4 \\ 2\,a&=&2\,a \\ 0&=&-2\,a \\ \end{matrix}\right.$

Como la primera ecuación es la misma que la tercera, de ésta, vemos que $a=0$. En cuanto a la segunda, se trata de una ecuación trivial, luego es compatible concualquier valor de $a$; por tanto, para que se cumpla la condición pedida, la matriz $A$ debe ser de la forma

    $A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}$

    Comprobación de (b):
Calculando el resultado de ambos miembros de la igualdad para $a=0$, debe verificarse que $A^2$ i $2\,A$ son la misma matriz; en efecto
    $A^2=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ -4 & 0\end{pmatrix}$
    $2\,A=2\,\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ -4 & 0\end{pmatrix}$

$\square$

[nota del autor]

Teorema de Rouché-Frobenius

Proposición (Teorema de Rouché-Frobenius):
Sea $A\,X=B$ un sistema de ecuaciones lineales donde $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{K})$ -- siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo como, por ejemplo, $\mathbb{R}$ -- es la matriz de los coeficientes del sistema; $X \in \mathcal{M}_{n \times 1}$ es la matriz columna de las variables del sistema; y $B \in \mathcal{M}_{m \times 1}(\mathbb{K})$, la matriz columna de los términos independientes. Sea $(A|X) \in \mathcal{M}_{m \times (n+1)}(\mathbb{K})$, la matriz ampliada. Entonces, de acuerdo con los rangos de la matriz de los coeficientes, de la matriz ampliada y del número de incógnitas del sistema de ecuaciones, podemos distinguir los siguientes casos:

1. Si $\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)$ ( cantidad que denotaremos por $r$ ), el sistema es compatible y, en este caso:

   • Si $r=n$ el sistema es c. determinado

   • Si $r \prec n$, el sistema es c. indeterminado ( con $n-r$ variables secundarias y r variables principales )

2. Si $\text{rg}(A)\neq \text{rg}(A|B)$ -- y si es así, necesariamente $\text{rg}(A)$ debe ser menor que $\text{rg}(A|B)$ --, el sistema es incompatible.

$\square$

Propiedades de la inversión de matrices

Recordemos algunas propiedades de la inversión de matrices regulares de orden $n$. Sean $A \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo ( como, por ejemplo, $\mathbb{R}$ ). Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

1. $(A^{-1})^{-1}=A$

2. $(A^{-1})^t=(A^{t})^{-1}$

3. $(A\,B)^{-1}=B^{-1}\,A^{-1}$

Observación:

    ¡ Cuidado !:   $(A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1}$

[nota del autor]

Propiedades de la trasposición de matrices

Recordemos algunas propiedades de la trasposición de matrices. Sean $A,B \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo ( como, por ejemplo, $\mathbb{R}$ ). Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

1. $(A^t)^{t}=A$

2. $(A+B)^t=A^t+B^t$

3. $(A\,B)^{t}=B^{t}\,A^{t}$

[nota del autor]

Sean $A$ y $B$ matrices regulares de $\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}$. Demostrar que la igualdad $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ no es cierta.

Enunciado:
Sean $A$ y $B$ matrices regulares de orden $n$. Demostrar que la igualdad $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ no es cierta.

Resolución:
Refutaremos la afirmación buscando un contraejemplo. Es fácil encontrar uno: si elegimos $A$ y $B$ ( matrices regulares ) tales que $A+B$ sea igual a la matriz nula ( es decir $a_{ij}=-b_{ij}; \forall i,j=1,\ldots,n$ ), al ser ésta no regular ( no invertible ), vemos que ni siquiera existe $(A+B)^{-1}$, quedando demostrado así que la afirmación del enunciado es falsa. $\square$

[nota del autor]

La matriz inversa de una matriz regular de orden n es única ( ejercicio de demostración por contradicción )

Enunciado:
Sea $A$ una matriz regular de orden $n$. Demostrar que la matriz inversa de $A$ es única.

Resolución:
Demostraremos la proposición por el método de contradicción ( o reducció al absurdo ). Sean $B$ y $C$ dos matrices regulares de orden $n$ tales que $A \neq B$, siendo, ambas, inversas de $A$; es decir: $A\,B=B\,A=I$   (1) y $A\,C=C\,A=I$   (2). Entonces, de (1), multiplicando la igualdad $A\,B=I$ por $C$ por la izquierda, obtenemos, $C\,A\,B=C\,I$; y teniendo en cuenta (2), se deduce de ello que $I\,B=C\,I$, luego $B=C$, en contra de lo supuesto, luego al tener que negar la hipótesis de partida, queda demostrado que la matriz de una matriz $A$ regular es única. $\square$

[nota del autor]