Sean $A$ y $B$ matrices regulares de $\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}$. Demostrar que la igualdad $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ no es cierta.

Enunciado:
Sean $A$ y $B$ matrices regulares de orden $n$. Demostrar que la igualdad $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ no es cierta.

Resolución:
Refutaremos la afirmación buscando un contraejemplo. Es fácil encontrar uno: si elegimos $A$ y $B$ ( matrices regulares ) tales que $A+B$ sea igual a la matriz nula ( es decir $a_{ij}=-b_{ij}; \forall i,j=1,\ldots,n$ ), al ser ésta no regular ( no invertible ), vemos que ni siquiera existe $(A+B)^{-1}$, quedando demostrado así que la afirmación del enunciado es falsa. $\square$

[nota del autor]