Sabiendo que $\{x=2,y=1,z=-1\}$ es la solución del sistema compatible determinado $\left.\begin{matrix}a\,x &+ &b\,y&+&c\,z&=&a+c \\ b\,x &- &y&+&b\,z&=&a-b-c\\ c\,x &- &b\,y&+&2\,x&=&b \\ \end{matrix}\right\}$ calcular el valor de los parámetros $a$, $b$ i $c$.

Enunciado:
Sabiendo que $\{x=2,y=1,z=-1\}$ es la solución del sistema compatible determinado
    $\left.\begin{matrix}a\,x &+ &b\,y&+&c\,z&=&a+c \\ b\,x &- &y&+&b\,z&=&a-b-c\\ c\,x &- &b\,y&+&2\,x&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
calcular el valor de los parámetros $a$, $b$ i $c$.

Resolución:
Sustituyendo las variables por los valores respectivos de la solución obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son $a$, $b$ y $c$
    $\left.\begin{matrix}2\,a &+ &b&-&c&=&a+c \\ 2\,b &- &1&-&b&=&a-b-c \\ 2\,(c+2) &- &b&&&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
y, ordenándo sus ecuaciones, podemos escribirlo de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ a & -&2\,b &- &c&=&-1 \\ & &2\,b &- &2\,c&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
Procedemos a reducirlo por Gauss ( para obtener el sistema escalonado inferiormente, equivalente al original ):
con
    $e_2 \leftarrow e_2-e_1$
podemos escribirlo de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ & &-3\,b &+ &c&=&-1 \\ & &2\,b &- &2\,c&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
y permutando el orden de las incógnitas $b$ y $c$ llegamos a
    $\left.\begin{matrix}a &-& 2\,c&+&b&=&0 \\ & &c &- &3\,b&=&-1 \\ & &-2\,c &+ &2\,b&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
Finalmente, realizando la siguiente operación elemental
    $e_3 \leftarrow 2\,e_2+e_3$
puede escribirse de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &-& 2\,c&+&b&=&0 \\ & &c &- &3\,b&=&-1 \\ & && &-4\,b&=&2 \\ \end{matrix}\right\}$
que, siendo el número de ecuaciones no identicamente nulas igual a $3$, todas ellas son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y, como es igual al número de incógnitas, por el Teorema de Rouché, la solución del sistema es única ( s. compatible determinado ). Veamos su solución.
Despejando $b$ de la tercera ecuación,
    $b=-\dfrac{1}{2}$
y sustituyendo éste en al segunda,
    $c=3\cdot \big(-\dfrac{1}{2}\big)-1=-\dfrac{5}{2}$
y, finalmente, sustituyendo ambos resultados en la primera,
    $a=2\cdot \big(-\dfrac{5}{2}\big)+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{9}{2}$
$\square$