La matriz inversa de una matriz regular de orden n es única ( ejercicio de demostración por contradicción )

Enunciado:
Sea $A$ una matriz regular de orden $n$. Demostrar que la matriz inversa de $A$ es única.

Resolución:
Demostraremos la proposición por el método de contradicción ( o reducció al absurdo ). Sean $B$ y $C$ dos matrices regulares de orden $n$ tales que $A \neq B$, siendo, ambas, inversas de $A$; es decir: $A\,B=B\,A=I$   (1) y $A\,C=C\,A=I$   (2). Entonces, de (1), multiplicando la igualdad $A\,B=I$ por $C$ por la izquierda, obtenemos, $C\,A\,B=C\,I$; y teniendo en cuenta (2), se deduce de ello que $I\,B=C\,I$, luego $B=C$, en contra de lo supuesto, luego al tener que negar la hipótesis de partida, queda demostrado que la matriz de una matriz $A$ regular es única. $\square$

[nota del autor]