En una finca agraria hay plantadas cincuenta manzanos . Cada árbol produce ochocientas manzanas . Por cada árbol adicional que plantamos , la producción de cada árbol se reduce en diez manzanas . ¿Cuántos árboles más necesitamos plantar para obtener la máxima producción? ¿Cuál es esta producción ? .

Enunciado :
En una finca agraria hay plantadas cincuenta manzanos . Cada árbol produce ochocientas manzanas . Por cada árbol adicional que plantamos , la producción de cada árbol se reduce en diez manzanas . ¿Cuántos árboles más necesitamos plantar para obtener la máxima producción? ¿Cuál es esta producción ? .

Solución :
Sea $x$ el número de árboles nuevos que se plantan y $f(x)$ la función que da el número total de manzanas producidas en la finca , que debe ser igual al producto del número total de árboles, $50+x$, por el número de manzanas que da cada árbol, $800-10\,x$, es decir
$f(x)=(50+x)\,(800-10\,x)$
que es una función polinómica de segundo grado y que también podemos escribir de la forma
$f(x)=-10\,x^2+300\,x+40\,000$
La curva que describe una función de este tipo es una parábola y, en este caso concreto, se abre hacia el sentido negativo del eje de ordenadas, ya que el coeficiente del término de segundo grande es negativo, por lo tanto, el vértice de la parábola es un máximo relativo ( que es también el m . absoluto ). La abscisa del vértice de una parábola viene dado por la fórmula
$x_v=-\dfrac{b}{2\,a}$
donde $b=​​300$ y $a=-10$ , por tanto
$x_v=-\dfrac{300}{2\cdot(-10)}=15$
    árboles
==
Nota: Esta fórmula del vértice se puede deducir de varias maneras , la más cómoda ( bachillerato ), pasa por imponer la condición necesaria de extremo relativo ( $f^{'}(x)=0$ ) y determinar de ahí los puntos estacionarios (evidentemente , en una parábola sólo hay uno : el vértice de la p. ) . En efecto , siendo
$f(x)=a\,x^2+b\,x+c$
la función derivada es
$f^{'}(x )=-2\,a\,x + b$
y, de ahí,
$x_v=-\dfrac{b}{2\,a}$
==
La razón dada sobre el coeficiente negativo del término de segundo grado garantiza que $ x_v = 15$ corresponda a un máximo relativo ( también absoluto , tratándose de una parábola ) . En conclusión ,
hay que plantar $15$ manzanos para maximizar la producción. Calculamos , por último, este valor máximo :
$f_{\text{max}}=f(15)=40\,000+300\cdot 15-10\cdot 15^2$
$ =42\,250\;\text{manzanas}$
$\square$

[nota del autor]