Un ejercicio de aplicación del Teorema de la Probabilidad Total y del Teorema de Bayes

Enunciado:
En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. Las dos terceras partes del pasaje van en clase turista y el resto en clase preferente. Se sabe también que todos los pasajeros que viajan en clase preferente hablan inglés y que el $40\,\%$ de los pasajeros que viajan en clase turista no hablan inglés. Se elige un pasajero del avión al azar.
  a) Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido hable inglés
  b) Se observa que el pasajero elegido habla inglés, ¿ cuál es la probabilidad de que viaje en clase turista ?.

Resolución:
Habiendo elegido el pasajero al azar, denominemos: $A$ al suceso habla inglés; $\bar{A}$, al suceso no habla inglés; $F$ al suceso viaja en preferente, y $T$ al suceso viaja en clase turista.
  a)
Por el Teorema de la Probabilidad Total podemos escribir

$P(A)=P(A|F)\,P(F)+P(A|T)\,P(T) \quad \quad \quad (1)$
donde
$P(T)=\dfrac{2}{3}$
y como, por ser $F$ el suceso contrario de $T$ y que denotamos de la forma
$F=\bar{T}$, obtenemos
$P(F)=1-P(T)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
además, la probabilidad que, sabiendo que el pasajero va en clase turista, hable inglés es
$P(\bar{A}|T)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow P(A|T)=1-P(\bar{A}|T)=\dfrac{3}{5}$
Por otra parte, la probabilidad que, sabiendo que un pasajero va en clase preferente, hable inglés es
$P(A|F)=1$

Sustituyendo estos valores en (1)
$P(A)=1\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{3}$
es decir
$P(A)=\dfrac{11}{15} \approx 73\,\%$

  b)
Por el Teorema de Bayes

$P(T|A)=\dfrac{P(A|T)\,P(T)}{P(A)}$

y con las probabilidades calculadas, nos queda

$P(T|A)=\dfrac{\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{11}{15}}=\dfrac{6}{11} \approx 55\,\%$

$\square$

[nota del autor]