Teorema de Rouché-Frobenius

Proposición (Teorema de Rouché-Frobenius):
Sea $A\,X=B$ un sistema de ecuaciones lineales donde $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{K})$ -- siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo como, por ejemplo, $\mathbb{R}$ -- es la matriz de los coeficientes del sistema; $X \in \mathcal{M}_{n \times 1}$ es la matriz columna de las variables del sistema; y $B \in \mathcal{M}_{m \times 1}(\mathbb{K})$, la matriz columna de los términos independientes. Sea $(A|X) \in \mathcal{M}_{m \times (n+1)}(\mathbb{K})$, la matriz ampliada. Entonces, de acuerdo con los rangos de la matriz de los coeficientes, de la matriz ampliada y del número de incógnitas del sistema de ecuaciones, podemos distinguir los siguientes casos:

1. Si $\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)$ ( cantidad que denotaremos por $r$ ), el sistema es compatible y, en este caso:

   • Si $r=n$ el sistema es c. determinado

   • Si $r \prec n$, el sistema es c. indeterminado ( con $n-r$ variables secundarias y r variables principales )

2. Si $\text{rg}(A)\neq \text{rg}(A|B)$ -- y si es así, necesariamente $\text{rg}(A)$ debe ser menor que $\text{rg}(A|B)$ --, el sistema es incompatible.

$\square$