Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ i $B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}$ Se pide: (a) Calcular el valor de los parámetros $a$ i $b$ tales que se cumpla $A\,B=B\,A$ (b) Determinar el valor del parámetro $a$ tal que $A^2=2\,A$

Enunciado:
Sean las matrices
    $A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
y
    $B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}$
Se pide:
  (a) Calcular el valor de los parámetros $a$ i $b$ tales que se cumpla
    $A\,B=B\,A$
  (b) Determinar el valor del parámetro $a$ tal que
    $A^2=2\,A$

Resolución:
  Resolución de (a):
Calculamos los productos $A\,B$ i $B\,A$
    $A\,B=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+a\,b & -a\\ -6 & 0\end{pmatrix}$
    $B\,A=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 3\,a\\ 2\,b+2 & a\,b\end{pmatrix}$
Entonces, igualando coeficiente a coeficiente, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones
    $\left\{\begin{matrix} 6+a\,b&=&6 \\ -a&=&3\,a \\ -6&=&2\,b+2 \\ 0&=&a\,b\\\end{matrix}\right.$
La primera ecuació es la misma que la cuarta, que nos dice $a$ a o bé $b$ han de ser zero;
de la segunda, vemos que$a=0$; y, de la tercera, deducimos $b=4$.
Luego deducimos que
    $A\,B=B\,A$
y que los elementos de ambas matrices son:
    $A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
y
$B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}$

Combrobación de (a):
En efecto, realizando los productos, $A\,B$ y $B\,A$
vemos que se obtiene la misma matriz
$A\,B=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -6 & 0\end{pmatrix}$
$B\,A=\begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -6 & 0\end{pmatrix}$

  Resolución de (b):
Calculando el valor de los dos miembros de la igualdad,
    $A^2=2\,A$
vemos que se llega al mismo resultado; en efecto:
    $A^2=A\,A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2\,a & 2\,a\\ -4 & -2\,a\end{pmatrix}$
    $2\,A=2\,\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\,a\\ -4 & 0\end{pmatrix}$
y, teniendo en cuenta que el valor de los elementos de iguales índices, en ambas matrices resultantes, debe ser el mismo, tenemos que


    $\left\{\begin{matrix} 4-2\,a&=&4 \\ 2\,a&=&2\,a \\ 0&=&-2\,a \\ \end{matrix}\right.$

Como la primera ecuación es la misma que la tercera, de ésta, vemos que $a=0$. En cuanto a la segunda, se trata de una ecuación trivial, luego es compatible concualquier valor de $a$; por tanto, para que se cumpla la condición pedida, la matriz $A$ debe ser de la forma

    $A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}$

    Comprobación de (b):
Calculando el resultado de ambos miembros de la igualdad para $a=0$, debe verificarse que $A^2$ i $2\,A$ son la misma matriz; en efecto
    $A^2=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ -4 & 0\end{pmatrix}$
    $2\,A=2\,\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ -4 & 0\end{pmatrix}$

$\square$

[nota del autor]