No aditividad del determinante

Enunciado:
Sean $A$ y $B$, matrices de orden $n$, tales que
$\text{det}(A)\neq 0$
y
$\text{det}(B)\neq 0$
Demostrar que
$\text{det}(A+B)\neq \text{det}(A)+\text{det}(B)$

Resolución:
Es suficiente con encontrar un contraejemplo.

Consideremos las matrices
$A=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 0&2\end{pmatrix}$
y
$A=\begin{pmatrix}3 & 3 \\ 0&3\end{pmatrix}$

luego
$A+B=\begin{pmatrix}2+3 & 2+3 \\ 0&2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 5 \\ 0&5\end{pmatrix}$

Entonces
$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 0&2\end{vmatrix}=4$

$\text{det}(B)=\begin{vmatrix}3 & 3 \\ 0&3\end{vmatrix}=9$

$\text{det}(A+B)=\begin{vmatrix}5 & 5 \\ 0&5\end{vmatrix}=25$

Como
$4+9=13 \neq 25$
concluimos que
$\text{det}(A)+\text{det}(B) \neq \text{det}(A+B)$
$\square$

[nota del autor]