Un ejercicio sobre los modelos binomial e hipergeométrico de variable aleatoria discreta

ENUNCIADO. En una urna hay $10$ bolas ( de igual tamaño, masa y con la misma sensación al tacto ), de las cuales $6$ están pintadas de blanco y el resto de otros colores. Extraemos $4$ bolas al azar. Calcular la probabilidad de que entre éstas hay exactamente $2$ bolas blancas:
a) Sacando las cuatro bolas una a una, reemplazando la bola extraída en la urna antes de sacar la siguiente bola.
b) Sacando las cuatro bolas a la vez

ENUNCIADO.
a)
En el primer caso, las elecciones de bola son independientes, luego ya hemos visto en otros ejercicios parecidos que la probabilidad pedida ( aplicando la regla de Laplace, pues cada una de las $10$ puede escogerse con la misma probabilidad ) es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso por el que estamos interesados en el cálculo de su probabilidad y el número total de posibilidades, la probabilidad pedida es igual a $$\dfrac{\text{PR}_{4}^{2,2}\cdot \text{VR}_{6,2} \cdot \text{VR}_{10-6,2}}{\text{VR}_{10,4}} \approx 0,3456$$

Sin embargo, hay otra forma de calcular la probabilidad pedida, que consiste en utilizar el modelo binomial de variable aleatoria ( que funciona para pruebas repetidas independientes, con dos posibles resultados: "obtener bola blanca" o bien "obtener bola de color distinto al blanco". Denotemos por $X$ la v.a. números de bolas blancas que aparecen en el grupo de $4$ bolas extraídas, entonces $X=\{0,1,2,3,4\}$. Como en una extracción la probabilidad de sacar bola blanca es $\dfrac{6}{10}=0,6$ ( probabilidad de éxito ) y, por tanto, la probabilidad de nos sacar bola blanca es $1-0,6=0,4$, tenemos que $$P\{X=2\}=\binom{4}{2}\cdot (0,6)^2 \cdot (0,4^{4-2} \approx 0,3456$$

Nota 1: En las condiciones con las que hacemos las extracciones de bolas ( extracciones sucesivas independientes ), y para un caso general ( contemplando la posibilidad de cambiar los datos ) en que: $N$ represente el número de bolas de la urna; $N_b$ ( donde $N_b \le N$ ), el número de bolas de la urna que están pintadas de blanco; $m$ ( siendo $m \le N$ ), el número de bolas que extraemos; y, $m_b$, el de bolas que hay entre el grupo de $m$ bolas ( siendo $m_b \le m$ ) y que resultan ser blancas, podemos escribir que la probabilidad de que entre las $m$ bolas extraídas haya $m_b$ bolas blancas es igual a la función de probabilidad ( o de cuantía ) para $X=m_b$, esto es, $f_{\text{binomial}}(m_b)$; es decir,
$$P\{X=m_b\}=f_{\text{binomial}}(m_b)=\binom{m}{m_b }\cdot \left(\dfrac{N_b}{N}\right)^{m_b} \cdot \left(1-\dfrac{N_b}{N}\right)^{m-m_b}$$

b)
En este caso, podemos contemplar la extracción conjunta del grupo de $4$ bolas, como si se extrajesen ( también ) de forma sucesiva, pero sin reemplazar las bola que se ha sacado al ir a extraer la siguiente bola; decimos, por tanto, que estas extracciones sucesivas son dependientes. Al sacar las bolas de esta manera, la probabilidad pedida ( empleando nuevamente la regla de Laplace ) es igual a $$\displaystyle \dfrac{\binom{6}{2}\cdot \binom{10-6}{4-2}}{\binom{10}{4}} \approx 0,4826$$ Ello se ajusta a otro modelo de variables aleatoria: la distribución hipergeométrica.

Nota 2: En las condiciones con las que hacemos, ahora, las extracciones de bolas ( extracciones de unas cuantas bolas de forma simultánea ), y para un caso general ( por si cambiamos los datos ) en que ( como antes ): $N$ represente el número de bolas de la urna; $N_b$ ( donde $N_b \le N$ ), el número de bolas de la urna que están pintadas de blanco; $m$ ( siendo $m \le N$ ), el número de bolas que extraemos; y, $m_b$, el de bolas que hay entre el grupo de $m$ bolas ( siendo $m_b \le m$ ) y que resultan ser blancas, podemos escribir que la probabilidad de que entre las $m$ bolas extraídas haya $m_b$ bolas blancas es igual a la función de probabilidad ( o de cuantía ) para $X=m_b$, esto es, $f(m_b)$; es decir,
$$P\{X=m_b\}=f_{\text{hipergeométrica}}(m_b)=\dfrac{\binom{N_b}{m_b}\cdot \binom{N-N_b}{m-m_b}}{\binom{N}{m}}$$

$\square$