Calcular las siguientes integrales definidas

ENUNCIADO. Calcular:

a) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$

b) $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$

SOLUCIÓN.
a) El integrando es la función de densidad de la distribución normal $N(0,1)$, y sabemos que $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=1$; por tanto, $$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=\sqrt{2\pi}$$

b) Teniendo en cuenta lo dicho arriba, $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=F(1)-F(-1)$, siendo la función primitiva $F(x)$ la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria $N(0,1)$. Consultando las tablas de dicha función, encontramos $F(1) = 0,8413$ ( aproximada con $4$ cifras decimales ); teniendo en cuenta, además, la propiedad de simetría con respecto al eje de ordenadas de densidad $f(x)$ y la propiedad de la probabilidad del contrario, podemos escribir, $F(-1)=1-F(1)=1-0,8413$, luego se tiene que el valor de la integral pedida es $$F(1)-(1-F(1))=2\,F(1)-1=0,6826$$
$\square$