ENUNCIADO. Denotemos por X la variable aleatoria número de caras obtenidas. La distribución de probabilidad natural de dicha variable es binomial: B(5000\,,\,0'6); la esperanza matemática ( media ) de X es E[X]=n\cdot p=5000\cdot 0'6 = 3000, por lo cual ya podemos avanzar que, como 2500 es notablemente menor que dicha valor, la probabilidad pedida ha de ser muy pequeña, casi cero. Vamos a calcularla:
P\{X<2500\}=\displaystyle \sum_{i=0}^{2500-1}\,\binom{5000}{i}\cdot 0'6^{i}\cdot (1-0'6)^{5000-i}
Es manifiesta la enorme dificultad de cálculo con la distribución natural de X, lo cual hace del mismo algo inviable; por ello, y de acuerdo con el teorema de De Moivre-Laplace, procedemos a aproximar la variable binomial X ( que es discreta ) por una variable normal X' ( que tiene una d. continua ) de media \mu=n\,p y desviación estándar \sigma=\sqrt{n\, p\, q}=\sqrt{1200} ( donde la probabilidad de éxito ( en un lanzamiento ) es p=0'6 y, por tanto, la de fracaso, es q=1-p=0'4 ), pues se satisfacen las condiciones suficientes para ello: n\cdot p = 5000 \cdot 0'6 = 3000 > 5 y n\cdot (1-p)= 5000 \cdot 0'4 = 2000 > 5.
Los parámetros de la distribución normal de X':N(\mu\,,\,\sigma) son \mu=n\,p = 5000\cdot 0'6=3000 y \sigma=\sqrt{5000 \cdot 0'6 \cdot 0'4}=\sqrt{1200} \approx 34'6410
Así, efectuando, también, la corrección de Yates o corrección de continuidad, podemos escribir
P\{X \prec 2500\} \approx P\{X'< 2500+0'5\}=P\{X'<2500'5\}\overset{\text{tipificando} X}{=}
=P\{Z \prec \dfrac{2500'5-3000}{64'6410} \}=P\{Z \prec -14'4193\}
= P\{Z \ge 14'4193\}=1-P\{Z\prec 14'4193\} \approx 0, ya que, para un valor de abscisa tan grande ( alrededor de 14 ), P\{Z \prec 14'4193\}\approx 1
En conclusión, la probabilidad pedida, P\{X \prec 2500\}, resulta ser (prácticamente) cero, como era de esperar. \square
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