Hallar la probabilidad de que el número de caras obtenido sea ...

ENUNCIADO. Se lanza $5000$ veces una moneda. Se sabe que la probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es del $60\,\%$. Calcular la probabilidad de obtener menos de $2500$ caras.

ENUNCIADO. Denotemos por $X$ la variable aleatoria número de caras obtenidas. La distribución de probabilidad natural de dicha variable es binomial: $B(5000\,,\,0'6)$; la esperanza matemática ( media ) de $X$ es $E[X]=n\cdot p=5000\cdot 0'6 = 3000$, por lo cual ya podemos avanzar que, como $2500$ es notablemente menor que dicha valor, la probabilidad pedida ha de ser muy pequeña, casi cero. Vamos a calcularla:

$$P\{X<2500\}=\displaystyle \sum_{i=0}^{2500-1}\,\binom{5000}{i}\cdot 0'6^{i}\cdot (1-0'6)^{5000-i}$$ Es manifiesta la enorme dificultad de cálculo con la distribución natural de $X$, lo cual hace del mismo algo inviable; por ello, y de acuerdo con el teorema de De Moivre-Laplace, procedemos a aproximar la variable binomial $X$ ( que es discreta ) por una variable normal $X'$ ( que tiene una d. continua ) de media $\mu=n\,p$ y desviación estándar $\sigma=\sqrt{n\, p\, q}=\sqrt{1200}$ ( donde la probabilidad de éxito ( en un lanzamiento ) es $p=0'6$ y, por tanto, la de fracaso, es $q=1-p=0'4$ ), pues se satisfacen las condiciones suficientes para ello: $n\cdot p = 5000 \cdot 0'6 = 3000 > 5$ y $n\cdot (1-p)= 5000 \cdot 0'4 = 2000 > 5$.

Los parámetros de la distribución normal de $X':N(\mu\,,\,\sigma)$ son $\mu=n\,p = 5000\cdot 0'6=3000$ y $\sigma=\sqrt{5000 \cdot 0'6 \cdot 0'4}=\sqrt{1200} \approx 34'6410$

Así, efectuando, también, la corrección de Yates o corrección de continuidad, podemos escribir
$P\{X \prec 2500\} \approx P\{X'< 2500+0'5\}=P\{X'<2500'5\}\overset{\text{tipificando} X}{=}$
$=P\{Z \prec \dfrac{2500'5-3000}{64'6410} \}=P\{Z \prec -14'4193\}$
$= P\{Z \ge 14'4193\}=1-P\{Z\prec 14'4193\} \approx 0$, ya que, para un valor de abscisa tan grande ( alrededor de $14$ ), $P\{Z \prec 14'4193\}\approx 1$

En conclusión, la probabilidad pedida, $P\{X \prec 2500\}$, resulta ser (prácticamente) cero, como era de esperar. $\square$