Se sabe que la distribución de la masa de las manzanas de un cierto cargamento es ...

ENUNCIADO. Se sabe que la distribución de la masa de las manzanas de un cierto cargamento es la de una variable aleatoria normal, cuya media es de $250\;\text{gramos}$ y cuya desviación estándar es de $30\;\text{gramos}$. Se elige, al azar, una manzana de dicho cargamento, ¿ cuál es la probabilidad de que la masa de dicha manzana esté comprendida entre $220$ y $260\;\text{gramos}$ ?.

SOLUCIÓN.
$X$ es $N(250\,,\,30)$, luego $P\{220 \le X \le 260\}$. Para poder utilizar las tablas de la distribución de probabilidad normal $N(0,1)$, realizamos la siguiente transformación de la variable

$$Z=\dfrac{X-250}{30}$$ De esta forma
$P\{220 \le X \le 260\} = P\{\dfrac{220-250}{30} \le Z \le \dfrac{260-250}{30}\}$
$=P\{-1 \le Z \le 0'3333\}$ ( habiendo aproximado la abscisa del extremo superior a la cuarta cifra decimal )

$=P\{Z \le 0'3333\}-P\{Z \le -1\}\overset{\text{simetría de} f(z)}{=}P\{Z \le 0'3333\}-P\{Z \ge 1\}$

$\overset{\text{prop. del contrario}}{=}P\{Z \le 0'3333\}-(1-P\{Z \le 1\})$

$=P\{Z \le 0'3333\}+P\{Z \le 1\}=F(0'3333)+F(1)-1 \quad \quad (1)$
siendo $F(z)$ la función de distribución de probabilidad, que viene en las tablas de $Z$ que es $N(0,1)$

Consultando las tablas, vemos a la abscisa $0'33$ le corresponde $F(0'33)=0'6293$; y, a la abscisa $0'34$, $F(0'34)=0'6331$. Entonces, como $0'33 \le 0'3333 \le 0'34$, realizando la interpolación lineal, $$\dfrac{F(0'3333)-0'6293}{0'3333-0'33}=\dfrac{0'6331-0'6293}{0'34-0'33}$$ de donde $$F(0'3333)=\dfrac{0'6331-0'6293}{0'34-0'33}\cdot (0'3333-0'33)+0'6293 \approx 0'6306$$

Por tanto, de (1), y consultando las tablas, obtenemos que la probabilidad pedida es $$0'6306+0'8413-1 = 0'4719 \approx 47\,\%$$
$\square$