Dos máquinas fabrican piezas similares ...

ENUNCIADO. Dos máquinas, $A$ y $B$, fabrican piezas similares. La producción por hora de dichas máquinas es de $300$ y $400$ piezas, respectivamente. Sabemos que el tanto por ciento de piezas defectuosas que fabrica la máquina $A$ es del $8\,\%$, y que el tanto por ciento de piezas defectuosas que fabrica la máquina $B$ es del $15\,\%$. Todas las piezas fabricadas se guardan mezcladas en el mismo almacén. Elegimos, al azar, una pieza del almacén. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa
b) Sabiendo que la pieza elegida ha resultado ser defectuosa, calcular la probabilidad de que ésta haya sido producida por la máquina $A$

SOLUCIÓN.
a)
Llamemos:
$D$ al suceso la pieza elegida es defectuosa ( de las piezas producidas por ambas máquinas )
$M_A$, elegir una pieza fabricada en la máquina $A$
$M_N$, elegir una pieza fabricada en la máquina $B$

Entonces, $\{M_A\,,\,M_B\}$ constituye un espacio completo de sucesos, esto es, $\Omega=M_A \cup M_B$, siendo $M_A \cap M_B=\emptyset$, con lo cual, $$D=(D \cap M_A) \cup (D \cap M_B)$$

Ahora bien, $(D \cap M_A) \cap (D \cap M_B) = \emptyset$, luego $(D \cap M_A)$ y $(D \cap M_B)$ son sucesos incompatibles; y, por tanto, $$P(D)=P((D \cap M_A) \cup (D \cap M_B))=P(D \cap M_A) + P(D \cap M_B)$$
Teniendo en cuenta, ahora, que
$P(D \cap M_A)=P(D|M_A)\cdot P(M_A)=\dfrac{8}{100}\cdot \dfrac{300}{700}=\dfrac{6}{175}$
y
$P(D \cap M_B)=P(D|M_B)\cdot P(M_B)=\dfrac{15}{100}\cdot \dfrac{400}{700}=\dfrac{3}{35}$
obtenemos la probabilidad total $$P(D)=\dfrac{6}{175}+\dfrac{3}{35}=\dfrac{3}{25}=12\,\%$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(M_A|D)=\dfrac{P(D|M_A)\cdot P(M_A)}{P(D)}$$ y poniendo los datos $$P(D)=\dfrac{6/175}{3/25}=\dfrac{2}{7} \approx 29\,\%$$
$\square$