Ejercicio de clasificación de puntos de discontinuidad. ( Artículo escrito en catalán )

Exercici de classificació de punts de discontinuïtat:

Ajut: Feu ús d'algun progrma de representació gràfica (GeoGebra, MAXIMA, Wiris, ...) per visualitzar el traç de la funció

Per cada una de les funcions $f:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ proposades, determineu els valors de $x$ per als quals hi ha algun tipus de discontinuïtat en cada una de les següents funcions. Classifiqueu (enraonadament) de quin tipus són:

    1.1

        $f_{1}(x)=\left[x\right]$     ( funció part entera d'un nombre real )

Observació:
La funció part entera assigna a un nombre real $x$ el major nombre enter més petit o igual que $x$; es representa per $[x]$. Per exemple: $[-2,6]=-3$, $[4,1]=4$, etcètera. A les calculadores, programes de càlcul, i llenguatges de programació correspon a la instrucció $\text{floor}\,(\square)$; per exemple, per calcular $[-2,6]$ teclejarem $\text{floor:}\,(-2,6)$ i obtindrem el valor $-3$, i per representar gràficament la funció $f(x)=[x]$ ( fent ús d'algun programa de represantació gràfica, com ara MAXIMA, o GeoGebra ) escriurem $f(x)=\text{floor}\,(x)$.

Observem que tots valors de la v.i. $x$ tals que $x \in \mathbb{Z}$ presenten discontinuïtats essencials de primera espècie i, concretament, de salt finit: no existeix el límit global en aquests punts perquè els límits laterals, malgrat existeixen, no tenen el mateix valor

    1.2

        $f_{2}(x)=\tan(x)$

Observem que tots valors de la v.i. tals que
    $x=\dfrac{(2\,n-1)\cdot \pi}{2} \quad \text{per a} \quad (n=1,2,3,\ldots) $
presenten discontinuïtats essencials de primera espècie i, en concret, de tipus asimptòtic: no existeix el límit global en aquests punts perquè els límits laterals per l'esquerra i per la dreta valen $-\infty$ i $+\infty$, respectivament

    1.3

        $f_{3}(x)=\left|\sqrt{x}\right|$

Com que els nombres negatius no formen part del domini d'existència de la funció
$\displaystyle \nexists \, \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\left|\sqrt{x}\right|$
per tant, no existeix el límit globlal quan $x \rightarrow 0$
Concloem que la funció és contínua en tots els punts del seu domini d'existència, a excepció del punt $x=0$, on la funció té una discontinuïtat essencial (no existeix el límit global en aquest punt) de segona espècie, atès que un dels límits laterals no existeix.

    1.4

        $f_{4}(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$

Els valors de la v.i. $x=\pm 1$ anul·len el denominador, però no el numerador, amb la qual cosa fan divergir la funció; els límits laterals divergeixen en sentits oposats i, doncs, la funció presenta discontinuïtats de essencials de primera espècie i, concretament, de tipus asimptòtic: no existeix el límit global en aquests punts perquè els límits laterals no coincideixen, és a dir

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x)=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\,f(x)=-\infty$
i
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\,f(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\,f(x)=+\infty$

i, en particular, són de tipus asimptòtic.

Observació 1.4.1:
Observeu, al gràfic, la presència de les rectes asímptotes:
$\text{av}_1:\,x=-1$
i
$\text{av}_2:\,x=1$

    1.5

        $f_{5}(x)=\Big(1+\dfrac{1}{x}\Big)^x$

Aquesta funció presenta una discontinuïtat per a $x=\pm 0$ atès que els límits laterals no coincideixen
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=+\infty$
i
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=e$
i, per tant, no existeix el límit global
$\displaystyle \nexists \lim_{x \rightarrow 0 }\,f(x)$
La funció té, doncs, una discontinuïtat essencial de salt infinit (un dels límits laterals divergeix i l'altre no) en el punt d'abscissa $x=0$

    1.6

       
$f_{6}(x)=\left\{ \begin{matrix} -x-1 \quad \text{si} \; x \le -3\\ \\ 3 \quad \text{si} \; -1< x < 1\\ \\ x-2 \quad \text{si} \; x \ge 1\\ \end{matrix} \right.$

Hi ha dos punts de discontinuïtat essencial, els punts d'abcisses $x=-3$ i $x=3$, on els límits globals no existeixen). Això, en aquest cas, és degut al fet que els següents límits laterals no existeixen [ observem que això és degut al fet que $D = \mathbb{R}-(-3,-1)$   ] i són, per tant, discontinuïtats de segona espècie:

$\displaystyle \nexists \lim_{x \rightarrow -3^{+}}\,f(x)$
i
$\displaystyle \nexists \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\,f(x)$

Per altra banda, en el punt d'abcsissa $x=1$ hi ha una tercera discontinuïtat essencial; el límit global no existeix, ara, perquè el valor dels límits laterals - malgrat que aquests existeixen - no coincideix . Aquesta d. és, doncs, de primera espècie i, concretament, de salt finit perquè els límits laterals són finits (per bé que - fem-ne remarca - no coincideixen).

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\,f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\,f(x)$

Vegeu el gràfic:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\,f(x)=3$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\,f(x)=-1$

    1.7

       
$f_{7}(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 \quad \text{si} \; x \le 0\\ \\ -x^2+1 \quad \text{si} \; x >0\\ \end{matrix}\right.$

Aquesta funció presenta un punt de discontinuïtat essencial (de primera especie i, concretament, de salt finit) en el punt d'abscissa $x=0$ atès que els límits laterals existeixen i tenen valors finits, però no coincideixen (no existeix el límit global)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=0$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=1$

    1.8

        $f_{8}(x)=x-\left[x\right]$
   
( funció part decimal d'un nombre real )

Tots els valors de la v.i. $x \in \mathbb{Z}$ presenten discontinuïtats essencials (el límit global no existeix en aquests punts) pel fet que els límits laterals - malgrat que existeixen, i prenen valors finits - no coincideixen; en efecte (observeu el gràfic):

$\forall x \in \mathbb{Z} \subset D_f$
es compleix que
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^{-}}\,f(x)=1$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=0$

Concloem, doncs, que hi ha infinits punts (tots els nombres enters) de discontinuïtat essencial de primera espècie i, en concret, de salt finit.

    1.9

        $\text{sign}(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \quad \text{si} \; x > 0\\ \\ 0 \quad \text{si} \; x =0\\ \\ \\ -1 \quad \text{si} \; x<0\\ \end{matrix}\right.$     ( funció part decimal d'un nombre real )

En el punt d'abscissa $x=0$, aquesta funció presenta un discontinïtat essencial de primera espècie i, concretament, de salt finit, atès que el límit global de la funció no existeix en aquest punt (els límits laterals existeixen i són finits, però no tenen el mateix valor):

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=-1$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=1$

    1.10

       
$f_{7}(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 \quad \text{si} \; x \neq 1\\ \\ 4 \quad \text{si} \; x =1\\ \end{matrix}\right.$

Aquesta funció presenta un únic punt de discontinuïtat, de tipus no essencial (o evitable) per a $x=1$, atès que el límit en aquest punt existeix i és igual a $1$; en efecte

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\,f(x)=1$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\,f(x)=1$

però, no obstant això, aquest valor (del límit) no coincideix amb el valor de la funció ( en $x=1$ ) que és igual a $f(1)=4$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\,f(x) \neq f(1)$

    1.11

       
$f_{11}(x)=x^3 \; \text{si} \; x \neq -1 $

Aquesta funció presenta un únic punt de discontinuïtat, de tipus no essencial (o evitable) per a $x=-1$, atès que el límit en aquest punt existeix i és igual a $-1$; en efecte

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\,f(x)=-1$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\,f(x)=-1$

però, no obstant això, la funció no està definida per a $x=-1$

[nota del autor]