Ejercicio de álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales. ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabem que $\{x=2,y=1,z=-1\}$ és la solució del sistema compatible determinat
    $\left.\begin{matrix}a\,x &+ &b\,y&+&c\,z&=&a+c \\ b\,x &- &y&+&b\,z&=&a-b-c\\ c\,x &- &b\,y&+&2\,z&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
Calculeu el valor dels paràmetes $a$, $b$ i $c$.

Solució:
Substituint les variables pels seus valors ( de la solució ) arribem al següent sistema d'equacions
    $\left.\begin{matrix}2\,a &+ &b&-&c&=&a+c \\ 2\,b &- &1&-&b&=&a-b-c \\ 2\,c &- &b&-&2&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
i, ordenant i simplificant, queda
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ a & -&2\,b &- &c&=&-1 \\ & &2\,b &- &2\,c&=&-2 \\ \end{matrix}\right\}$
l'arreglem convenientment
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ -a & +&2\,b &+ &c&=&1 \\ & &-b &+ &c&=&1 \\ \end{matrix}\right\}$
i el reduïm fins obtenir la forma esglaonada ( pel mètode de Gauss ) fent les següents operacions elementals entre equacions:
    $e_2 \leftarrow e_2+e_1$
podem escriure
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ & & 3\,b &- &c&=&1 \\ & & -b &+ &c&=&1 \\ \end{matrix}\right\}$
i escollint la següent combinació entre la segona i la tercera
    $e_3 \leftarrow 3\,e_3+e_2$
arribem a
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ & & 3\,b &- &c&=&1 \\ & & & &2\,c&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$

Un cop esglaonat, és clar que el el nombre d'equacions no nul·les és $3$ i, doncs, totes tres equacions són linealment independents, per tant el rang del sistema d'equacions és $3$, que coincideix amb el nombre d'incògnites; llavors, pel teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és compatible i determinat i, doncs, té solució única, que és la següent:
de la tercera equació, trobem el valor de $b$
    $c=2$
Posant aquest valor a la segona equació del sistema reduït
    $3\,b-2=1 \Rightarrow b=1$
i, finalment, posant els dos valors que hem trobat ( de $c$ i $b$ ) a la primera equació, determinem el valor de $a$:
    $a=+1-2\cdot 2=0 \Rightarrow a=3$
$\square$

[nota del autor]