Problema de los dados del Caballero de Méré ( s. XVII )

Los problemas de apuestas en los juegos de azar constituyeron importantes estímulos para los matemáticos en los orígenes de la teoría del cálculo de probabilidades ( siglo XVII ); así, por ejemplo, cabe destacar los problemas históricos que el escritor, matemático aficionado y jugador Antoine Gambaud, Chevalier de Méré ( 1607-1684 ) planteaba al gran matemático aficionado Pierre de Fermat ( 1601-1665 ) y al matemático y filósofo Blaise Pascal ( 1623-1684 ). Uno de estos problemas es el conocido como el problema de la partida inacabada ( no hablaremos de éste ahora ). Y, otro de ellos se conoce como el problema de las apuestas en el juego de los dados, del cual sí vamos a hablar a continuación. Dice así:

ENUNCIADO:
¿ Qué es más probable: a) sacar al menos un seis en 4 lanzamiento de un dado, o bien, b) sacar al menos dos seises en 24 lanzamientos de dos dados ? Esto es, ¿ cuál de las dos apuestas es la más ventajosa ?.

SOLUCIÓN:
Vamos a calcular la probabilidad de (a). La probabilidad de no sacar un '6' en un lanzamiento es $\dfrac{5}{6}$, luego la de no sacar ningún '6' en cuatro lanzamientos es $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4$, con lo cual, y por la propiedad del contrario, vemos que la probabilidad de sacar al menos un '6' es $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0,52$

Veamos ahora cuál es la probabilidad de (b). Al lanzar una vez dos dados, la probabilidad de sacar dos seises es $\dfrac{1}{36}$, luego la de no sacarlos es $1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$; por lo tanto, la probabilidad de no sacar ningún par de seises en 24 tiradas ( de dos dados ) es $\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24}$, con lo cual - por la propiedad de la probabilidad del suceso contrario - vemos que la probabilidad de sacar al menos un par de seises es $1-\left(\dfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0'49$

Como la probabilidad en este segundo caso es menor que la del primero, concluimos que es más ventajoso apostar por lo primero ( lanzar cuatro veces un dado, contemplando la posibilidad de que aparezcan al menos dos seises ) que no por lo segundo ( lanzar 24 veces una pareja de dados, contemplando la posibilidad de que aparezca al menos dos seises ).

$\square$