Ejercicio práctico sobre máximos y mínimos de función. ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Els beneficis d'una companyia de transport de viatgers són donats per la funció
    $B(x)=a\,x^2+b\,x+c$
on $x$ és el preu que la companyia cobra per cada viatge.
Sabem que si cobren $40\,\text{euros}$ per viatge, els beneficis són $19\,000 \, \text{euros}$. A més, si augmentem el preu un $25\,\%$, el benefici que sobté és el màxim, $20\,000\; \text{euros}$. Tenint en compte aquestes dades, determineu els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

Solució:
La funció donada correspon a una f. polinòmica de segon grau i, doncs, el màxim ha de correspondre al vèrtex de la paràbola, l'abscissa del qual és igual a
    $x_v=-\dfrac{b}{2\,a}$
tal com és ben sabut de la secundària obligatòria
===
Nota:   Això es pot demostrar de vàries maneres; una d'elles, apropiada aquí, consisteix a imposar la condició necessària d'extrem relatiu:
    $B^{'}(x)=0$
és a dir
    $2\,a\,x+b=0$
i resolent l'equació, determinem l'abscissa de l'extrem relatiu
    $x^{*} = -\dfrac{b}{2a}$
( que, en aquest cas, és un sol valor )
===
Llavors, tenint en compte els beneficis obtinguts cobrant a quaranta euros per viatge, i d'acord amb la informació del benefici màxim que se'ns dóna a l'enunciat ( el nou preu és, ara, de $1,25\cdot 40 = 50 \; \text{\euro}$ ) i de l'abscissa corresponent ( que acabem de comentar ) podem escriure el següent sistema d'equacions:
    $\left\{\begin{matrix}19\,000 & = & 40^2\,a &+&40\,b&+&c \\ 20\,000 & = & 50^2\,a &+&50\,b&+&c \\ 50 &=&-\dfrac{b}{2\,a}\end{matrix}\right.$
De la tercera equació,
    $b=-100\,a$
i substituint l'expressió del segon membre en les altres dues equacions anem a parar a un sistema de dues equacions amb dues incògnites ( en $a$ i $c$ ) molt fàcil de resoldre, trobant que
    $a=-10$ i $c=-5000$
finalment, posant aquests valors a la segona, determinem el valor de $b$, $b=1000$
per tant, la funció de beneficis és
    $B(x)=-10\,x^2+1000\,x-5000$

Comprovació:   Si $x=40$,
    $B(40)=-10\cdot 40^2+40\cdot 1000 - 5000 = 19\,000$
tal i com ha de ser.

$\square$

[nota del autor]