Sea la variable discreta $X$ con la siguiente distribución de probabilidad: $\lbrace x_i=i, P_{X}(x_i)=k/2^i \rbrace$, $i=1,2,\ldots,n,\ldots$. Se pide ...

ENUNCIADO:
Sea la variable discreta $X$ con la siguiente distribución de probabilidad: $\lbrace x_i=i, P_{X}(x_i)=k/2^i \rbrace$, $i=1,2,\ldots,n,\ldots$. Se pide:
a) Calcular el valor de la constante de normalización, $k$, para que la función de masa $P_{X}(i)$ esté bien definida
b) Calcular la esperanza matemática $E[X]$

SOLUCIÓN:
(a)
Para que la función de masa esté bien definida debe estar normalizada a la unidad, por tanto
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{k}{2^i}=1$$
como $k$ es constante,
$$\displaystyle k\,\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i=1$$
y despejando,
$$\displaystyle k = \dfrac{1}{\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i}$$
El denominador es la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica de razón $1/2$ y primer término igual a $1/2$, con $n \rightarrow \infty$, y que, por tanto es igual a $$\lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(1/2\right)^{n}-1}{1/2-1}\right)=1$$
y por tanto
$$k=1$$
con lo cual
$$P_{X}(x_i)=1/2^i, i=1,2,\ldots,n,\ldots$$

(b)
Por definición de esperanza matemática de una variable aleatoria,
$$E[X]=\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,i\,\dfrac{1}{2^i} \quad \quad (1)$$

Así, pues, debemos averiguar ahora el valor de la suma de los infinitos términos de la sucesión aritmético-geométrica cuyos términos son $\dfrac{i}{2^i}$, para $i=1,2,\ldots, n, \ldots $

Denotando por $S_n$ a $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{i}{2^i}$, podemos escribir:

$S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+\dfrac{4}{2^4}+\ldots+\dfrac{n}{2^n}+\dfrac{n+1}{2^{n+1}}+\ldots$   (2)
y multiplicando ambos términos por $1/2$,
$\dfrac{1}{2}\,S_n=\quad \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{2}{2^3}+\dfrac{3}{2^4}+\dfrac{4}{2^5}+\ldots+\dfrac{n}{2^{n+1}}+\ldots$   (3)

Restando la (3) de (2), miembro a miembro
$$\dfrac{1}{2}\,S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2-1}{2^2}+\dfrac{3-2}{2^3}+\dfrac{4-3}{2^4}+\ldots+\dfrac{n-(n-1)}{2^n}+\dfrac{(n+1)-1}{2^{n+1}}+\ldots$$
esto es
$$S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\ldots+\dfrac{1}{2^n}+\ldots$$
y como el segundo miembro es la suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica de razón $r=\dfrac{1}{2}$ ( menor que uno y por tanto convergente ) y primer término igual a $1$, obtenemos
$$\displaystyle S_n=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{\left(1/2\right)^n-1}{1/2-1}=2$$

Por tanto, de (1),
$$E[X]=2$$

$\square$

[nota del autor]