ENUNCIADO:
Sea la variable discreta X con la siguiente distribución de probabilidad: \lbrace x_i=i, P_{X}(x_i)=k/2^i \rbrace, i=1,2,\ldots,n,\ldots. Se pide:
a) Calcular el valor de la constante de normalización, k, para que la función de masa P_{X}(i) esté bien definida
b) Calcular la esperanza matemática E[X]
SOLUCIÓN:
(a)
Para que la función de masa esté bien definida debe estar normalizada a la unidad, por tanto
\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{k}{2^i}=1
como k es constante,
\displaystyle k\,\sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i=1
y despejando,
\displaystyle k = \dfrac{1}{\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^i}
El denominador es la suma de los n términos consecutivos de una sucesión geométrica de razón 1/2 y primer término igual a 1/2, con n \rightarrow \infty, y que, por tanto es igual a \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(1/2\right)^{n}-1}{1/2-1}\right)=1
y por tanto
k=1
con lo cual
P_{X}(x_i)=1/2^i, i=1,2,\ldots,n,\ldots
(b)
Por definición de esperanza matemática de una variable aleatoria,
E[X]=\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,i\,\dfrac{1}{2^i} \quad \quad (1)
Así, pues, debemos averiguar ahora el valor de la suma de los infinitos términos de la sucesión aritmético-geométrica cuyos términos son \dfrac{i}{2^i}, para i=1,2,\ldots, n, \ldots
Denotando por S_n a \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\,\dfrac{i}{2^i}, podemos escribir:
S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+\dfrac{4}{2^4}+\ldots+\dfrac{n}{2^n}+\dfrac{n+1}{2^{n+1}}+\ldots (2)
y multiplicando ambos términos por 1/2,
\dfrac{1}{2}\,S_n=\quad \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{2}{2^3}+\dfrac{3}{2^4}+\dfrac{4}{2^5}+\ldots+\dfrac{n}{2^{n+1}}+\ldots (3)
Restando la (3) de (2), miembro a miembro
\dfrac{1}{2}\,S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2-1}{2^2}+\dfrac{3-2}{2^3}+\dfrac{4-3}{2^4}+\ldots+\dfrac{n-(n-1)}{2^n}+\dfrac{(n+1)-1}{2^{n+1}}+\ldots
esto es
S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\ldots+\dfrac{1}{2^n}+\ldots
y como el segundo miembro es la suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica de razón r=\dfrac{1}{2} ( menor que uno y por tanto convergente ) y primer término igual a 1, obtenemos
\displaystyle S_n=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{\left(1/2\right)^n-1}{1/2-1}=2
Por tanto, de (1),
E[X]=2
\square
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