Ejercicios con el modelo de distribución de probabilidad normal

ENUNCIADO:
Los salarios de los trabajadores de una cierta población, A, siguen una distribución $N(2000,\sigma)$. Se pide:
a) Calcular el valor de la desviación estándar, $\sigma$, para que la probabilidad de ganar más de $2100$ euros sea de $0'33$
b) Sabiendo que los salarios de otra población, B, siguen una distribución $N(2000,200)$, ¿ en cuál de las dos poblaciones es más fácil ganar más de $2100$ euros al mes ?

SOLUCIÓN:
(a)
Como $P\lbrace X_A \succ 2100 \rbrace = 0'33$ ( información del enunciado ), podemos escribir $P\lbrace X_A \le 2100 \rbrace = 1-0'33=0'67$
Veamos ahora cuál es la abscisa en las tablas de la función de distribución de $Z \sim N(0,1)$. Encontramos: $z_{0'67}=0'44$. Y como, al tipificar la variable aleatoria normal $X_A$, hacemos $Z=\dfrac{X_A-\mu}{\sigma}$, esto corresponde a
$z_{0'67}=\dfrac{x_{0'67}-2000}{\sigma}$, y teniendo en cuenta que $x_{0'67}$ es $2100$
encontramos
$$0'44=\dfrac{2100-2000}{\sigma}$$
despejando $\sigma$,
$$\sigma=\dfrac{100}{0'44} \approx 227 \, \text{euros}$$

(b)
Para contestar esta pregunta es necesario comparar los valores de $P\lbrace X_A \succ 2100 \rbrace $ y $P\lbrace X_B \succ 2100 \rbrace $, donde $X_A \sim N(2000, 227)$ y $X_B \sim N(2000, 200)$.

$P\lbrace X_A \succ 2100 \rbrace = P\lbrace Z_A \succ\dfrac{2100-2000}{227} \rbrace $ ( tipificando la variable $X_A$ ), que es igual a $P\lbrace Z_A \succ 0'44 \rbrace $, y por tanto a $1- P\lbrace Z_A \le 0'44 \rbrace \overset{\text{tablas} \, N(0,1)}{=} 1-0'6700 = 0'33$

Por otra parte, $P\lbrace X_B \succ 2100 \rbrace = P\lbrace Z_A \succ\dfrac{2100-2000}{200} \rbrace $ ( tipificando la variable $X_B$ ), que es igual a $P\lbrace Z_B \succ 0'5 \rbrace $, y por tanto a $1- P\lbrace Z_B \le 0'5 \rbrace \overset{\text{tablas} \, N(0,1)}{=} 1-0'6915 = 0'3085$

Y como $0'33 = P \lbrace X_A \succ 2100 \rbrace \succ P \lbrace X_B \succ 2100 \rbrace = 0'3085$, es más "fácil" ( probable ) ganar un salario de $2100$ euros en la población A que en la población B. $\square$

[nota del autor]