Los salarios de los trabajadores de una cierta población, A, siguen una distribución N(2000,\sigma). Se pide:
a) Calcular el valor de la desviación estándar, \sigma, para que la probabilidad de ganar más de 2100 euros sea de 0'33
b) Sabiendo que los salarios de otra población, B, siguen una distribución N(2000,200), ¿ en cuál de las dos poblaciones es más fácil ganar más de 2100 euros al mes ?
SOLUCIÓN:
(a)
Como P\lbrace X_A \succ 2100 \rbrace = 0'33 ( información del enunciado ), podemos escribir P\lbrace X_A \le 2100 \rbrace = 1-0'33=0'67
Veamos ahora cuál es la abscisa en las tablas de la función de distribución de Z \sim N(0,1). Encontramos: z_{0'67}=0'44. Y como, al tipificar la variable aleatoria normal X_A, hacemos Z=\dfrac{X_A-\mu}{\sigma}, esto corresponde a
z_{0'67}=\dfrac{x_{0'67}-2000}{\sigma}, y teniendo en cuenta que x_{0'67} es 2100
encontramos
0'44=\dfrac{2100-2000}{\sigma}
despejando \sigma,
\sigma=\dfrac{100}{0'44} \approx 227 \, \text{euros}
(b)
Para contestar esta pregunta es necesario comparar los valores de P\lbrace X_A \succ 2100 \rbrace y P\lbrace X_B \succ 2100 \rbrace , donde X_A \sim N(2000, 227) y X_B \sim N(2000, 200).
P\lbrace X_A \succ 2100 \rbrace = P\lbrace Z_A \succ\dfrac{2100-2000}{227} \rbrace ( tipificando la variable X_A ), que es igual a P\lbrace Z_A \succ 0'44 \rbrace , y por tanto a 1- P\lbrace Z_A \le 0'44 \rbrace \overset{\text{tablas} \, N(0,1)}{=} 1-0'6700 = 0'33
Por otra parte, P\lbrace X_B \succ 2100 \rbrace = P\lbrace Z_A \succ\dfrac{2100-2000}{200} \rbrace ( tipificando la variable X_B ), que es igual a P\lbrace Z_B \succ 0'5 \rbrace , y por tanto a 1- P\lbrace Z_B \le 0'5 \rbrace \overset{\text{tablas} \, N(0,1)}{=} 1-0'6915 = 0'3085
Y como 0'33 = P \lbrace X_A \succ 2100 \rbrace \succ P \lbrace X_B \succ 2100 \rbrace = 0'3085, es más "fácil" ( probable ) ganar un salario de 2100 euros en la población A que en la población B. \square
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