El modelo normal ( de Gauss ) de variable aleatoria en la distribución en el muestro

Considerando un muestreo aleatorio simple, según el Teorema Central del Límite, la distribución en el muestreo de la variable aleatoria suma de variables independientes $\lbrace X_i \rbrace$, para $i=1,\ldots,n$, con la misma media y la misma varianza que la variable aleatoria $X$ de la población ( las cuales aparecen en el muestreo de una población de media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$ ) tiende a una distribución normal $N(n\mu,\sigma\,\sqrt{n})$.

En otras palabras, el estadístico media muestral, $\bar{X}$, es una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad ( en el muestreo ) normal, $N(\mu,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual podemos decir también que la variable tipificada $\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ ( de dicho estadístico ) tiene distribución de probabilidad $N(0,1)$

Mediante una medida, $\bar{x}$, del estadístico media muestral $\bar{X}$, en una muestra de tamaño $n$ de una población podemos estimar el valor del parámetro $\mu$ de la población ( media poblacional ); por esa razón, denominamos estimador al estadístico media muestral.

Esto, no sólo podemos hacerlo con la media: en general, se puede hacer con cualquier parámetro, $\theta$, de la población ( cuyo estadístico estimador es $\hat{\Theta}$ ), por ejemplo con la varianza de la población, $\sigma^2$, que se puede estimar mediante el estadístico/estimador $\hat{S^2}$ ( denominado cuasivarianza muestral ); sin embargo, en este curso, nos ocuparemos solamente de la estimación de la media y, alguna que otra vez, de la varianza ( en las situaciones menos complicadas ).

Expondremos cuatro aplicaciones/ejemplos relacionadas con el Teorema Central del Límite en cuanto a los estadísticos muestrales que tienen como modelo de variable aleatoria una función de distribución ( en el muestreo ) de tipo normal:

a) Distribución en el muestreo, de tamaño $n$, del estadístico $\bar{X}$ que sirve para estimar la media, $\mu$, poblacional. Este estadístico ( estimador ), $\bar{X}$, es $N \left( \mu, \sigma/\sqrt{n} \right)$

b) Distribución en el muestreo, de tamaño $n$, del estadístico $\hat{S}$ que sirve para estimar una suma poblacional $p$. Este estadístico ( estimador ), $\hat{S}$, es $N \left( n\mu, \sigma\,\sqrt{n} \right)$

c) Distribución en el muestreo, de tamaño $n$, del estadístico $\hat{P}$ que sirve para estimar una proporción poblacional. Este estadístico ( estimador ), $\hat{P}$, es $N \left( p,\sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}} \right)$

d) Distribución en el muestreo, de tamaño $n$, del estadístico $\bar{X_1}-\bar{X_2}$ que sirve para estimar la diferencia de dos medias, $\mu-\mu_2$, correspondientes a dos poblaciones. Este estadístico ( estimador ), $\bar{X_1}-\bar{X_2}$, es $N \left( \mu_1-\mu_2 , \sqrt{\dfrac{\sigma_1}{n_1}+\dfrac{\sigma_2}{n_2}} \right)$

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[nota del autor]