Una bolsa cerrada contiene tres fichas iguales en tamaño, peso y textura ...

ENUNCIADO:
Una bolsa cerrada contiene tres fichas iguales en tamaño, peso y textura: $A$, $B$ y $C$. Una de las caras de $A$ es blanca y la otra roja; las dos caras de $B$ son blancas, y en cuanto a $C$, sus dos caras son rojas. Consideremos dos jugadores; uno de ellos saca al azar ( sin mirar ) una de las tres fichas de la bolsa y la deposita sobre la mesa, observando ambos jugadores el color que aparece en la cara que mira hacia arriba. A continuación, el otro jugador debe apostar por el color de la cara que queda oculta, de modo que gana si acierta y pierde en caso contrario ( el juego se repite alternando el papel de ambos jugadores y se lleva un recuento de los aciertos de cada uno de ellos ).

Pues bien, supongamos que el color que ha aparecido al sacar la ficha es rojo. ¿ A qué color debería apostar su compañero al objeto de tener ventaja ? Esto es, ¿ es mejor apostar por el color blanco o bien por el rojo ? ¿ Cuál es la mejor estrategia para ganar ( en la repetición indefinida de dicho juego ) ?.

SOLUCIÓN:
Calculemos, primero, cuál es la probabilidad de que aparezca el color rojo al extraer la ficha de la bolsa y ponerla ( sin mirar ) encima de la mesa. Basta la aplicación directa de la regla de Laplace, para ver que dicha probabilidad es $\dfrac{1}{2}$, ya que hay el mismo número de caras rojas que de caras blancas en el conjunto de todas las caras ( tres caras blancas y tres caras rojas en total ).

También podemos obtener este resultado razonando en términos del Teorema de la Probabilidad Total, pues ello nos llevará a resolver el problema con claridad recurriendo, al final, al Teorema de Bayes. Procedemos a ello.

El espacio muestral se puede particionar mediante el conjunto completo de sucesos: elegir la ficha A ( que denotaremos por $A$ ), elegir la ficha B ( que denotamos por $B$ ) o elegir la ficha C ( que designamos por $C$ ), los tres con la misma probabilidad, que es $\dfrac{1}{3}$. Luego, denotando por $R$ el suceso compuesto ( obtener el color rojo al poner la ficha sobre la mesa y observar el color del anverso ), podemos escribir que
$$P(R)=P(R|A)\,P(A)+P(R|B)\,P(B)+P(R|C)\,P(C)$$
y como
$P(R|A)=\dfrac{1}{2}$ ( por tener A una cara roja y otra blanca )
$P(R|B)=0$ ( por no tener B ninguna cara roja )
$P(R|A)=1$ ( por ser ambas caras de C de color rojo )
y
$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}$
obtenemos
$$P(R)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}+0 \cdot \dfrac{1}{3}+1 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$$

Mediante el Teorema de Bayes, calculemos ahora las siguientes probabilidades: $P(A|R)$ -- recordemos que A tiene una cara roja y otra blanca --; $P(B|R)$, que, naturalmente, es $0$ ( B no tiene ninguna cara roja ), y $P(C|R)$ -- recordemos que C tiene sus dos caras rojas --. Necesitamos conocer el valor de dichas probabilidades al objeto de apostar por el color ( blanco o bien rojo ) del reverso de la ficha, pues entendemos que si $P(A|R) \succ P(C|R)$ optaremos por el blanco ( una de las caras de A es blanca ) y, en caso contrario, por el rojo ( pues ninguna de las caras de C es blanca ). Veámoslo.

$P(A|R)=\dfrac{P(R|A)}{P(R)}=\dfrac{1/6}{1/2}=\dfrac{1}{3}$
y
$P(C|R)=\dfrac{P(R|C)}{P(R)}=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac{2}{3}$

Entonces, como $P(C|R) \succ P(A|R)$, nos conviene apostar por el color rojo.

De haber sido blanco ( en vez de rojo ) el color aparecido al depositar la ficha sobre la urna, es evidente que, ahora, deberíamos apostar por el blanco. Por lo tanto, podemos afirmar que la estrategia favorable es la de apostar por el mismo color que aparece ( en el anverso ) al extraer la ficha al objeto maximizar el éxito al intentar acertar el color del reverso de la misma.

OBSERVACIÓN: Si los dos jugadores adoptan esta estrategia ( en un número indefinido de jugadas sucesivas ), el número de partidas ganadas por uno y otro vendrá a ser el mismo ( salvo fluctuaciones debidas a las rachas ). Sin embargo, si uno de ellos no sigue la estrategia descrita, el número de partidas ganadas del mismo será muy inferior al número de partidas ganadas por su adversario.

$\square$

[nota del autor]