ENUNCIADO. La masa, en gramos, de la bandeja de salmón crudo que se vende en una pescadería, se puede aproximar por una variable aleatoria aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=25$ gramos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $10$ bandejas.
a) Si la media muestral de las masas ha sido $\bar{x}=505$ gramos, calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para la media poblacional $\mu$
b) Supóngase ahora que $\mu=500$ gramos. Calcúlese la probabilidad de que la masa total de esas $10$ bandejas sea mayor o igual a $5030$ gramos.
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de una bandeja". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,25)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=505$ gramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'99$, $\alpha=0'01$ y por tanto $\alpha/2=0'005$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'005=0'995$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2} \approx 2'57$
Así, $E=2'57 \cdot \dfrac{25}{\sqrt{10}} \approx 20'32$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(505-20'32\,,\,505+20'32)$ esto es $(484'68\,,\,525'32)$, intervalo que, en buena lógica, podemos aproximar a $(485\;,\;525)$ gramos.
b)
Partimos ahora del siguiente dato: $\mu=500$ gramos. Por el teorema Central del Límite, la variable $\bar{X}=\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ sigue una distribución $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual la variable aleatoria $Y:=X_1+\ldots+X_n$ sigue una distribución $N(n\cdot \mu\,,\,\sigma\cdot \sqrt{n}$. En el caso que nos ocupa, $n=10$, y deseamos calcular $P\{Y \ge 5030\}$. Tipificando la variable $Y$ mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-10\cdot 500}{25\,\sqrt{10}}$, donde $Z:N(0,1)$. Así,
$P\{Y \ge 5030\}=P\{Z \ge \dfrac{5030-500}{25\,\sqrt{10}}\}=P\{Z \ge 0'3795\}=$
$=1-P\{Z\le 0'3795\} \quad \quad (1)$
En las tablas de la distribución de probabilidad de $Z:N(0,1)$ encontramos que $F(0'37)=0'6443$ y $F(0'38)=0'6480$; no leemos exactamente $F(0,8660)$, por lo que procedemos a interpolar linealmente en el intervalo $(0'37\,,\,0'38)$ para calcular el valor aproximado de $F(0'3795)$; así, $$F(0'3795) \approx (0'6480-0'6443)\cdot \dfrac{0,3795-0,38}{0,38-0,37}+0'6480=0'6478$$
por consiguiente, sustituyendo en (1), encontramos la probabilidad pedida: $1-0'6478=0'3522 \approx 35\,\%$
$\square$
jueves, 29 de junio de 2017
Cálculo de probabilidades
ENUNCIADO. Una máquina tiene dos chips de control $A$ y $B$. Se sabe que al encener la máquina: la probabilidad de que falle el chip $A$ es de $0,2$; la probabilidad de que falle el chip $B$ es $0,3$, y la probabilidad de que fallen los dos es $0,015$. Calcúlese la probabilidad de que al encender la máquina:
a) Haya fallado el chip $A$ si se sabe que ha fallado el chip $B$
b) No falle ninguno de los dos chips
SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso 'falla el chip A' y por $B$ al suceso 'falla el chip B'. Entonces,
a) $P(A|B)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,015}{0,3}=0,05$
b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})\overset{\text{Morgan}}{=}P(\overline{A \cup B})=$
$=1-P(A\cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}1-(P(A+P(B)-P(A\cap B))=$
$=1-(0,2+0,3-0,015)$
$=0,515$
$\square$
a) Haya fallado el chip $A$ si se sabe que ha fallado el chip $B$
b) No falle ninguno de los dos chips
SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso 'falla el chip A' y por $B$ al suceso 'falla el chip B'. Entonces,
a) $P(A|B)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,015}{0,3}=0,05$
b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})\overset{\text{Morgan}}{=}P(\overline{A \cup B})=$
$=1-P(A\cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}1-(P(A+P(B)-P(A\cap B))=$
$=1-(0,2+0,3-0,015)$
$=0,515$
$\square$
Análisis de funciones
ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de una función real de variable real es $f'(x)=x^2+8x+15$
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1)=\dfrac{1}{3}$
b) Determínense los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los tiene
SOLUCIÓN.
a)
Por el primer teorema fundamental del cálculo $$f(x)=\int\,f'(x)\,dx + C$$ luego $$f(x)=\int\,(x^2+8x+15)\,dx+C=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x+C$$ Para determinar el valor de la constante de integración $C$ imponemos $f(1)=\dfrac{1}{3}$, con lo cual $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+4\cdot 1^2+15\cdot 1+C$$ y despejando $C$, llegamos a $C=-19$, por tanto $$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x-19$$
b)
La condición necesaria para que $x$ sea un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego $$x^2+8x+5=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-5\cdot 1\cdot 5} } {2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-4+\left|\sqrt{11}\right| \\ -4-\left|\sqrt{11}\right| \end{matrix}\right.$$ Así pues hay dos extremos relativos: $x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$ y $x_2=-4-\left|\sqrt{11}\right|$.
Veamos a continuación su naturaleza; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, $f''(x)=2x+8$.
$f''(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=2\,\left|\sqrt{11}\right| \succ 0 \Rightarrow x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$
$\, \text{es la abscisa de un mínimo local}$ y su ordenada es $f(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109-8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -27,5$
$f''(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-2\,\left|\sqrt{11}\right| \prec 0 \Rightarrow x_1=-4-\left|\sqrt{11}\right|$
$\, \text{es la abscisa de un máximo local}$ y su ordenada es $f(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109+8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -45,2$
Nota: No hay máximo absoluto ni mínimo absoluto, pues al ser la función $f(x)$ polinómica de grado $3$ no está acotada ni superior ni inferiormente.
$\square$
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1)=\dfrac{1}{3}$
b) Determínense los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los tiene
SOLUCIÓN.
a)
Por el primer teorema fundamental del cálculo $$f(x)=\int\,f'(x)\,dx + C$$ luego $$f(x)=\int\,(x^2+8x+15)\,dx+C=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x+C$$ Para determinar el valor de la constante de integración $C$ imponemos $f(1)=\dfrac{1}{3}$, con lo cual $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+4\cdot 1^2+15\cdot 1+C$$ y despejando $C$, llegamos a $C=-19$, por tanto $$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x-19$$
b)
La condición necesaria para que $x$ sea un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego $$x^2+8x+5=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-5\cdot 1\cdot 5} } {2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-4+\left|\sqrt{11}\right| \\ -4-\left|\sqrt{11}\right| \end{matrix}\right.$$ Así pues hay dos extremos relativos: $x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$ y $x_2=-4-\left|\sqrt{11}\right|$.
Veamos a continuación su naturaleza; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, $f''(x)=2x+8$.
$f''(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=2\,\left|\sqrt{11}\right| \succ 0 \Rightarrow x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$
$\, \text{es la abscisa de un mínimo local}$ y su ordenada es $f(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109-8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -27,5$
$f''(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-2\,\left|\sqrt{11}\right| \prec 0 \Rightarrow x_1=-4-\left|\sqrt{11}\right|$
$\, \text{es la abscisa de un máximo local}$ y su ordenada es $f(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109+8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -45,2$
Nota: No hay máximo absoluto ni mínimo absoluto, pues al ser la función $f(x)$ polinómica de grado $3$ no está acotada ni superior ni inferiormente.
$\square$
Un ejercicio sobre continuidad y derivabilidad. Determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.
ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}5x+1&\text{si}&x\le 0 \\ x^2+5x+1&\text{si}&x > 0\end{matrix}\right.$$
a) Determínese si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=3$
SOLUCIÓN.
a)
Para que una función sea derivable en un punto de su dominio de definición ésta ha de ser continua en dicho punto, además debe existir el límite con el que se define la derivada de la función en dicho punto. Veamos si se cumplen estas condiciones.
La función $f(x)$ es continua en $x=0$ pues la función está definida en $x=0$ y es igual a $f(0)=5\cdot 0+1=1$, y los límites por la izquierda y por la derecha existen y sus valores coinciden (existe el límite en el punto $x=0$) y son iguales a $f(0)=1$; en efecto,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=5\cdot 0+1=1$
y
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=c^2+5\cdot 0+1=1$
con lo cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,f(x)=1=f(0)$
Por otra parte los límites que definen las derivadas por la izquierda y por la derecha existen y coinciden en su valor ( que es el valor de la derivada en $x=0$ ): $((5x+1)')|_{x=0}=5$ y $((x^2+5x+1)')|_{x=0}=((2x+5))|_{x=0}=2\cdot 0+5=5$, luego la función $f(x)$ es derivable en $x=0$ y su derivada en ese punto es $5$.
b)
En $x=3$ podemos determinar la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ pues el tramo que corresponde a ese punto es continuo y derivable ( por ser un polinomio de segundo grado ). Sea la ecuación en forma explícita de la recta tangente $t:y=mx+k$ en dicho punto. Vamos a determinar los valores de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ).
$m\overset{\text{def}}{=}f'(3)=((x^2+5x+1)')|_{x=3}=(2x+5)|_{x=3}=2\cdot 3+5=11$, con lo cual podemos escribir $t:y=11\,x+k$, veamos ahora, cuál es el valor de $k$: como en $x=3$ se tiene que cumplir que $f(3)=(11\,x+k)_{x=3}$, vemos que $f(3)=11\cdot 3 +k$, luego $k=f(3)-33$, esto es, $k=(3^2+5\cdot 3+1)-33=-8$. Así concluimos que la ecuación de la recta tangente pedida es $t:y=11\,x-8$
$\square$
a) Determínese si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=3$
SOLUCIÓN.
a)
Para que una función sea derivable en un punto de su dominio de definición ésta ha de ser continua en dicho punto, además debe existir el límite con el que se define la derivada de la función en dicho punto. Veamos si se cumplen estas condiciones.
La función $f(x)$ es continua en $x=0$ pues la función está definida en $x=0$ y es igual a $f(0)=5\cdot 0+1=1$, y los límites por la izquierda y por la derecha existen y sus valores coinciden (existe el límite en el punto $x=0$) y son iguales a $f(0)=1$; en efecto,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=5\cdot 0+1=1$
y
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=c^2+5\cdot 0+1=1$
con lo cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,f(x)=1=f(0)$
Por otra parte los límites que definen las derivadas por la izquierda y por la derecha existen y coinciden en su valor ( que es el valor de la derivada en $x=0$ ): $((5x+1)')|_{x=0}=5$ y $((x^2+5x+1)')|_{x=0}=((2x+5))|_{x=0}=2\cdot 0+5=5$, luego la función $f(x)$ es derivable en $x=0$ y su derivada en ese punto es $5$.
b)
En $x=3$ podemos determinar la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ pues el tramo que corresponde a ese punto es continuo y derivable ( por ser un polinomio de segundo grado ). Sea la ecuación en forma explícita de la recta tangente $t:y=mx+k$ en dicho punto. Vamos a determinar los valores de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ).
$m\overset{\text{def}}{=}f'(3)=((x^2+5x+1)')|_{x=3}=(2x+5)|_{x=3}=2\cdot 3+5=11$, con lo cual podemos escribir $t:y=11\,x+k$, veamos ahora, cuál es el valor de $k$: como en $x=3$ se tiene que cumplir que $f(3)=(11\,x+k)_{x=3}$, vemos que $f(3)=11\cdot 3 +k$, luego $k=f(3)-33$, esto es, $k=(3^2+5\cdot 3+1)-33=-8$. Así concluimos que la ecuación de la recta tangente pedida es $t:y=11\,x-8$
$\square$
Discútase el sistema en función del parámetro $a$ y, finalmente, resuélvase para un valor fijado del mismo
ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$
SOLUCIÓN.
a)
La primera etapa del proceso de reducción nos lleva a
$$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right\}\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3\,;\,e_2-e_1\rightarrow e_1}{\sim}$$ $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&(a-3)\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$, y sustituyendo en la primera y en la tercera llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&(a-3)\,y&=&-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación vemos que si $a=3$, entonces llegamos a una contradicción $0=-\dfrac{1}{2}$; con lo cual, para $a=3$ el sistema es incompatible. Y en el caso de que $a\neq 3$, el sistema es compatible determinado, ya que el rango ( del sistema ) es $3$, que es igual al número de incógnitas.
b)
Si $a$ toma el valor $1$ el sistema es compatible determinado, pues $1\neq 3$. Habrá que resolver pues el sistema $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&-2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ Ya sabemos ( despejando de la segunda ecuación ) que $z=-\dfrac{1}{2}$; así que, sustituyendo este valor en las ecuaciones primera y tercera, llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&2\,y&=&\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ luego, de la segunda, obtenemos $$y=\dfrac{1}{4}$$ Y sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, encontramos $$-x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}$$ esto es $$x=-\dfrac{3}{4}$$
$\square$
a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$
SOLUCIÓN.
a)
La primera etapa del proceso de reducción nos lleva a
$$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right\}\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3\,;\,e_2-e_1\rightarrow e_1}{\sim}$$ $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&(a-3)\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$, y sustituyendo en la primera y en la tercera llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&(a-3)\,y&=&-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación vemos que si $a=3$, entonces llegamos a una contradicción $0=-\dfrac{1}{2}$; con lo cual, para $a=3$ el sistema es incompatible. Y en el caso de que $a\neq 3$, el sistema es compatible determinado, ya que el rango ( del sistema ) es $3$, que es igual al número de incógnitas.
b)
Si $a$ toma el valor $1$ el sistema es compatible determinado, pues $1\neq 3$. Habrá que resolver pues el sistema $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&-2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ Ya sabemos ( despejando de la segunda ecuación ) que $z=-\dfrac{1}{2}$; así que, sustituyendo este valor en las ecuaciones primera y tercera, llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&2\,y&=&\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ luego, de la segunda, obtenemos $$y=\dfrac{1}{4}$$ Y sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, encontramos $$-x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}$$ esto es $$x=-\dfrac{3}{4}$$
$\square$
Estimación de la media por intervalo de confianza
La producción diaria de cemento, media en toneladas, de una factoría cementera se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=9$ toneladas.
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$ tenga una amplitud a lo sumo de $2$ toneladas
b) Se toman los datos de producción de $16$ días escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $197,5$ toneladas si sabemos que $\mu=202$ toneladas
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de la producción diaria". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,9)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=2$ toneladas y $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ), y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} \approx 1'96$
Con todo esto, podemos calcular el valor mínimo de $n$, ya que si $E=2$, entonces $2=1'96 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{n}}$, de donde se desprende que el valor (mínimo) de $n$ es igual a $n \ge (\dfrac{9\cdot 1'96}{2})^2 = 78$
b)
Procedemos a calcular ahora $P\{\bar{X}\} \le 197'5$, teniendo en cuenta que, por el Teorema del Límite Central, $\bar{X}$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$. Disponemos de los siguientes datos: $\mu=202$ toneladas ( media de la población ), y $n=16$ días ( tamaño de la muestra ).
$P\{\bar{X}\le 197'5\}\overset{\text{tipificando la variable}}{=}P\{Z\le-2\}=P\{Z\ge 2 \}=1-P\{Z \prec 2\}=$
$\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}1-0'9772=0'0228$
$\square$
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$ tenga una amplitud a lo sumo de $2$ toneladas
b) Se toman los datos de producción de $16$ días escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $197,5$ toneladas si sabemos que $\mu=202$ toneladas
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de la producción diaria". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,9)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=2$ toneladas y $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ), y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} \approx 1'96$
Con todo esto, podemos calcular el valor mínimo de $n$, ya que si $E=2$, entonces $2=1'96 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{n}}$, de donde se desprende que el valor (mínimo) de $n$ es igual a $n \ge (\dfrac{9\cdot 1'96}{2})^2 = 78$
b)
Procedemos a calcular ahora $P\{\bar{X}\} \le 197'5$, teniendo en cuenta que, por el Teorema del Límite Central, $\bar{X}$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$. Disponemos de los siguientes datos: $\mu=202$ toneladas ( media de la población ), y $n=16$ días ( tamaño de la muestra ).
$P\{\bar{X}\le 197'5\}\overset{\text{tipificando la variable}}{=}P\{Z\le-2\}=P\{Z\ge 2 \}=1-P\{Z \prec 2\}=$
$\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}1-0'9772=0'0228$
$\square$
Cálculo de probabilidades
ENUNCIADO. El profesorado de cierta Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales está compuesto por profesores de Economía y de Empresa. El $60\,\%$ son de Economía y el $40\,\%$ de Empresa. Además, el $55\,\%$ del profesorado de dicha facultad son mujeres. De ellas, el $52\,\%$ son de Empresa. Calcúlese la probabilidad de que un miembro de dicha facultad elegido al azar:
a) Sea mujer si se sabe que es de Empresa
b) Sea de Economía y mujer
SOLUCIÓN. Designemos los siguientes sucesos:
$E=$ "la persona elegida es de Economía"
$R=$ "la persona elegida es de Empresa"
$M=$ "la persona elegida es mujer"
a)
Nos proponemos calcular $P(M|R)$. Disponemos de los siguientes datos: $P(E)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}$, $P(R)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(M)=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}$ y $P(R|M)=\dfrac{52}{100}=\dfrac{13}{25}$.
Desde luego, $P(M\cap R)=P(R\cap M)$; y por la definición de probabilidad condicionada, $P(M \cap R)=P(M|R)P(R)$ y $P(R \cap M)=P(R|M)P(M)$, luego $P(M|R)P(R)=P(R|M)P(M)$, y, por tanto $$P(M|R)=\dfrac{P(R|M)P(M)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{13}{25}\cdot \dfrac{11}{20}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{143}{200}=0,715$$
b)
Empleando otra vez la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir $$P(E\cap M)=\dfrac{P(E|M)}{P(M)}$$ donde $P(E|M)=P(\bar{R}|M)=1-P(R|M)$ luego $$P(E\cap M)=\dfrac{1-P(R|M)}{P(M)}=\dfrac{1-\dfrac{13}{25}}{\dfrac{11}{20}}=\dfrac{48}{55}\approx 0,8727$$
$\square$
a) Sea mujer si se sabe que es de Empresa
b) Sea de Economía y mujer
SOLUCIÓN. Designemos los siguientes sucesos:
$E=$ "la persona elegida es de Economía"
$R=$ "la persona elegida es de Empresa"
$M=$ "la persona elegida es mujer"
a)
Nos proponemos calcular $P(M|R)$. Disponemos de los siguientes datos: $P(E)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}$, $P(R)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(M)=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}$ y $P(R|M)=\dfrac{52}{100}=\dfrac{13}{25}$.
Desde luego, $P(M\cap R)=P(R\cap M)$; y por la definición de probabilidad condicionada, $P(M \cap R)=P(M|R)P(R)$ y $P(R \cap M)=P(R|M)P(M)$, luego $P(M|R)P(R)=P(R|M)P(M)$, y, por tanto $$P(M|R)=\dfrac{P(R|M)P(M)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{13}{25}\cdot \dfrac{11}{20}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{143}{200}=0,715$$
b)
Empleando otra vez la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir $$P(E\cap M)=\dfrac{P(E|M)}{P(M)}$$ donde $P(E|M)=P(\bar{R}|M)=1-P(R|M)$ luego $$P(E\cap M)=\dfrac{1-P(R|M)}{P(M)}=\dfrac{1-\dfrac{13}{25}}{\dfrac{11}{20}}=\dfrac{48}{55}\approx 0,8727$$
$\square$
Cálculo de áreas ( integración ) y análisis del crecimiento/decrecimiento de una función
ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $f(x)=x^3-4x^2+3x$
a) Calcúlese el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=0$ y $x=3$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) Al tratarse de un polinomio, el dominio de definición de la función es la totalidad de $\mathbb{R}$ y ésta es continua en todos los puntos. Veamos cuáles son las raíces de $f(x)$:
$0=x^3-4x^2+3x \Leftrightarrow x\,(x^2-4x+3)=0 \Leftrightarrow$
$ \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}0 \\ \\ \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
Entonces, el área pedida viene dada por:
$$\displaystyle |\int_{0}^{1} f(x)\,dx| + |\int_{1}^{3} f(x)\,dx|=|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)| \quad \quad (1)$$ siendo $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{4}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$ una función primitiva de $f(x)$. Teniendo en cuenta que $F(0)=0$, $F(1)=\dfrac{5}{12}$ y $F(3)=-\dfrac{9}{4}$, entonces (1) es igual a $|\dfrac{5}{12}-0|+|-\dfrac{9}{4}-\dfrac{5}{12}|=|\dfrac{5}{12}|+|-\dfrac{8}{3}|=$
$=\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{37}{12} \; \text{unidades de área}$
b) Veamos cuáles son los máximos y mínimos relativos de $f(x)$. Para ello, impongamos la condición necesaria de existencia de extremos relativos $f'(x)=0$, esto es $3x^2-8x+3=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \\ \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \end{matrix}\right.$
Para averiguar la naturaleza de estos valores, emplearemos el criterio de la segunda derivada:
Como $f''(x)=6x-8$, tenemos que $f''(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})=-2\sqrt{7}\prec 0$, luego la abscisa $\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un máximo local; por otra parte, $f''(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})=2\sqrt{7}\succ 0$, luego la abscisa $\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un mínimo local. Teniendo en cuenta que, por ser un polinomio, la función es continua en todos los puntos, y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$, deducimos de ello que los intervalos de crecimiento son $(-\infty\,,\,\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$ y $(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$ Por otra parte, hay un sólo intervalo de decrecimiento cuyos extremos inferior y superior corresponden a las abscisas del máximo local y la del mínimo local, respectivamente: $(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\,,\,\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$
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a) Calcúlese el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=0$ y $x=3$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) Al tratarse de un polinomio, el dominio de definición de la función es la totalidad de $\mathbb{R}$ y ésta es continua en todos los puntos. Veamos cuáles son las raíces de $f(x)$:
$0=x^3-4x^2+3x \Leftrightarrow x\,(x^2-4x+3)=0 \Leftrightarrow$
$ \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}0 \\ \\ \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
Entonces, el área pedida viene dada por:
$$\displaystyle |\int_{0}^{1} f(x)\,dx| + |\int_{1}^{3} f(x)\,dx|=|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)| \quad \quad (1)$$ siendo $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{4}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$ una función primitiva de $f(x)$. Teniendo en cuenta que $F(0)=0$, $F(1)=\dfrac{5}{12}$ y $F(3)=-\dfrac{9}{4}$, entonces (1) es igual a $|\dfrac{5}{12}-0|+|-\dfrac{9}{4}-\dfrac{5}{12}|=|\dfrac{5}{12}|+|-\dfrac{8}{3}|=$
$=\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{37}{12} \; \text{unidades de área}$
b) Veamos cuáles son los máximos y mínimos relativos de $f(x)$. Para ello, impongamos la condición necesaria de existencia de extremos relativos $f'(x)=0$, esto es $3x^2-8x+3=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \\ \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \end{matrix}\right.$
Para averiguar la naturaleza de estos valores, emplearemos el criterio de la segunda derivada:
Como $f''(x)=6x-8$, tenemos que $f''(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})=-2\sqrt{7}\prec 0$, luego la abscisa $\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un máximo local; por otra parte, $f''(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})=2\sqrt{7}\succ 0$, luego la abscisa $\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un mínimo local. Teniendo en cuenta que, por ser un polinomio, la función es continua en todos los puntos, y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$, deducimos de ello que los intervalos de crecimiento son $(-\infty\,,\,\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$ y $(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$ Por otra parte, hay un sólo intervalo de decrecimiento cuyos extremos inferior y superior corresponden a las abscisas del máximo local y la del mínimo local, respectivamente: $(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\,,\,\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$
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miércoles, 28 de junio de 2017
Un ejercicio de programación lineal
ENUNCIADO. Sea $S$ la región del plano definida por $S:\left\{\begin{matrix}x+y\ge 2 \\ 2x-y \le 4\\ 2y-x\le 4 \\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{matrix}\right.$
a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=-5x+3y$ en $S$, indicando los puntos de dicha región en los cuales se alcanzan los valores máximo y mínimo
SOLUCIÓN. Es conveniente expresar las ecuaciones de $S$ de la forma $$S:\left\{\begin{matrix}y&\ge&-x&+&2 \\ y&\ge&2x&-&4 \\ y&\le&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \end{matrix}\right.$$
con lo cual es fácil escribir las ecuaciones de la rectas que contienen los lados de la región factible
$$\left\{\begin{matrix}r_1:&y&=&-x&+&2 \\ r_2:&y&=&2x&-&4 \\ r_3:&y&=&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ r_4:&x&=&0 \\ r_5:&y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Procedemos ahora a representar la región factible. Las dos últimas restricciones nos limitan al primer cuadrante. Para representar las tres primeras rectas ( que contienen los lados de la región convexa ), encontremos una pareja de puntos para cada una de ellas: para $r_1$, tenemos $P_1(0,2)$ y $Q_1(2,0)$; para $r_2$, $P_2(0,-4)$ y $Q_2(2,0)$; y, para $r_3$, $P_3(0,2)$ y $Q_3(-4,0)$. Representando dichas rectas e interpretando correctamente el sentido de las desigualdades del sistema de restricciones, obtenemos la siguiente región factible:
En la figura aparecen las coordenadas de los vértices, que hemos calculado teniendo en cuenta que $A=r_1 \cap r_2$, y por tanto éstas deben satisfacer el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&2x&-&4 \end{matrix}\right.$; $B=r_1 \cap r_3$, debiéndose resolver el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$ y $C=r_2 \cap r_3$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&=&2\,x&-&4 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$. Es muy fácil resolver estos sistemas, por lo que se omite el cálculo.
b)
La familia de rectas asociada a la función obtetivo ( haz de rectas paralelas ) $f(x,y)=-5x+3y$ viene descrita por $k=-5x+3y$, donde hemos asignado a $f$ el parámetro $k$, esto es cada una de las rectas del haz tiene por ecuación explícita $y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{k}{3}$, con un valor concreto de $k$ para cada una.
En la figura hemos representado una de ellas en color rojo, cuya ecuación es $y=\dfrac{5}{3}x$ ( dando a $k$ el valor cero ). Desplazando dicha recta paralelamente a sí misma de forma que barra todos los puntos de la región factible, es evidente que $A(2,0)$ corresponde al mínimo de $f(x,y)$ y que $B(0,2)$ corresponde al máximo, pues $f$ alcanza el mínimo cuando la recta desplazada pasa por el punto $A$ y $f$ alcanza el máximo al pasar por el punto $B$, pues al acanzar $\dfrac{k}{3}$ el mínimo ( respectivamente, el mínimo ) $f(x,y)$ alcanza también el máximo ( respectivamente, el máximo):
Así, sustituyendo las coordenadas de sendos puntos en $f(x,y)=-5x+3y$, encontramos que el mínimo de $f$ ( que se alcanza en $A(2,0)$ ) es igual a $f(2,0)=-5\cdot 2 +3\cdot 0=-10$; y, el máximo de $f$ ( que se alcanza en $B(0,2)$ ) es igual a $f(0,2)=-5 \cdot 0 + 3\cdot 2=6$
Nota: Podemos comprobar que en el punto $C(4,4)$ se alcanza un valor comprendido entre el mínimo y el máximo; en efecto, $-10 \prec f(4,4)=-5\cdot 4 + 3\cdot 4=-8 \prec 6$
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a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=-5x+3y$ en $S$, indicando los puntos de dicha región en los cuales se alcanzan los valores máximo y mínimo
SOLUCIÓN. Es conveniente expresar las ecuaciones de $S$ de la forma $$S:\left\{\begin{matrix}y&\ge&-x&+&2 \\ y&\ge&2x&-&4 \\ y&\le&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \end{matrix}\right.$$
con lo cual es fácil escribir las ecuaciones de la rectas que contienen los lados de la región factible
$$\left\{\begin{matrix}r_1:&y&=&-x&+&2 \\ r_2:&y&=&2x&-&4 \\ r_3:&y&=&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ r_4:&x&=&0 \\ r_5:&y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Procedemos ahora a representar la región factible. Las dos últimas restricciones nos limitan al primer cuadrante. Para representar las tres primeras rectas ( que contienen los lados de la región convexa ), encontremos una pareja de puntos para cada una de ellas: para $r_1$, tenemos $P_1(0,2)$ y $Q_1(2,0)$; para $r_2$, $P_2(0,-4)$ y $Q_2(2,0)$; y, para $r_3$, $P_3(0,2)$ y $Q_3(-4,0)$. Representando dichas rectas e interpretando correctamente el sentido de las desigualdades del sistema de restricciones, obtenemos la siguiente región factible:
En la figura aparecen las coordenadas de los vértices, que hemos calculado teniendo en cuenta que $A=r_1 \cap r_2$, y por tanto éstas deben satisfacer el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&2x&-&4 \end{matrix}\right.$; $B=r_1 \cap r_3$, debiéndose resolver el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$ y $C=r_2 \cap r_3$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&=&2\,x&-&4 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$. Es muy fácil resolver estos sistemas, por lo que se omite el cálculo.
b)
La familia de rectas asociada a la función obtetivo ( haz de rectas paralelas ) $f(x,y)=-5x+3y$ viene descrita por $k=-5x+3y$, donde hemos asignado a $f$ el parámetro $k$, esto es cada una de las rectas del haz tiene por ecuación explícita $y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{k}{3}$, con un valor concreto de $k$ para cada una.
En la figura hemos representado una de ellas en color rojo, cuya ecuación es $y=\dfrac{5}{3}x$ ( dando a $k$ el valor cero ). Desplazando dicha recta paralelamente a sí misma de forma que barra todos los puntos de la región factible, es evidente que $A(2,0)$ corresponde al mínimo de $f(x,y)$ y que $B(0,2)$ corresponde al máximo, pues $f$ alcanza el mínimo cuando la recta desplazada pasa por el punto $A$ y $f$ alcanza el máximo al pasar por el punto $B$, pues al acanzar $\dfrac{k}{3}$ el mínimo ( respectivamente, el mínimo ) $f(x,y)$ alcanza también el máximo ( respectivamente, el máximo):
Así, sustituyendo las coordenadas de sendos puntos en $f(x,y)=-5x+3y$, encontramos que el mínimo de $f$ ( que se alcanza en $A(2,0)$ ) es igual a $f(2,0)=-5\cdot 2 +3\cdot 0=-10$; y, el máximo de $f$ ( que se alcanza en $B(0,2)$ ) es igual a $f(0,2)=-5 \cdot 0 + 3\cdot 2=6$
Nota: Podemos comprobar que en el punto $C(4,4)$ se alcanza un valor comprendido entre el mínimo y el máximo; en efecto, $-10 \prec f(4,4)=-5\cdot 4 + 3\cdot 4=-8 \prec 6$
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Cálculo con matrices
ENUNCIADO. Considérense las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 3&5&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}$
a) Calcúlese la matriz $D=A^{\top}B$. ¿ Existe la matriz $F=AB$ ?
b) Calcúlese la matriz $M=B^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz transpuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, luego la matriz $D$ pedida es $A^{\top}B=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15 \\ 9&26 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$A$ es una matriz $2 \times 3$ y $B$ es una matriz $2 \times 2$, luego no es posible realizar el producto $AB$ ( el número de columnas de $A$, que es $3$, no co coincide con el número de filas de $B$, que es $2$ ) y por tanto no existe la matriz $F$
b)
Observemos que el determinante de $B$ es distinto de cero, por lo que está garantizada la existencia de matriz inversa. Procedemos a calcularla, empleando el método de Gauss-Jordan
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) \overset{f_2-\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{f_1-\frac{2}{5}\cdot 3\,f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 0 & 8/5 & -6/5 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_1\,;\,\frac{2}{5}\,f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 4/5 & -3/5 \\
0 & 1 & -1/5 & 2/5
\end{array}\right)$
Así, pues, $B^{-1}=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}$
Comprobación: $BB^{-1}=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y
$B^{-1}B=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$
$\square$
a) Calcúlese la matriz $D=A^{\top}B$. ¿ Existe la matriz $F=AB$ ?
b) Calcúlese la matriz $M=B^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz transpuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, luego la matriz $D$ pedida es $A^{\top}B=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15 \\ 9&26 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$A$ es una matriz $2 \times 3$ y $B$ es una matriz $2 \times 2$, luego no es posible realizar el producto $AB$ ( el número de columnas de $A$, que es $3$, no co coincide con el número de filas de $B$, que es $2$ ) y por tanto no existe la matriz $F$
b)
Observemos que el determinante de $B$ es distinto de cero, por lo que está garantizada la existencia de matriz inversa. Procedemos a calcularla, empleando el método de Gauss-Jordan
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) \overset{f_2-\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{f_1-\frac{2}{5}\cdot 3\,f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 0 & 8/5 & -6/5 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_1\,;\,\frac{2}{5}\,f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 4/5 & -3/5 \\
0 & 1 & -1/5 & 2/5
\end{array}\right)$
Así, pues, $B^{-1}=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}$
Comprobación: $BB^{-1}=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y
$B^{-1}B=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$
$\square$
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