SOLUCIÓN.
[autoría]
martes, 27 de octubre de 2015
Resolver la ecuación
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\begin{vmatrix}x&1&1 &1\\1&x&1&1\\1&1&x&1\\1&1 &1&x\end{vmatrix}=0$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
domingo, 25 de octubre de 2015
Resolver por el método de Cramer
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema compatible determinado, empleando el método de Cramer
$$\left\{\begin{matrix}
x&-&y&+z&=&1 \\
&&y&-z&=&0 \\
-x&+&y&+z&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Expresemos el sistema en forma matricial $$AX=B$$ donde $$A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$
$$X=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \end{pmatrix}$$
y
$$X=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}$$
Entonces, aplicando el método de Cramer:
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}$$
donde $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=2$$
$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=1$$
$$\text{det}(A_y)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=1$$
y
$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=1$$
Por tanto
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=1$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}
x&-&y&+z&=&1 \\
&&y&-z&=&0 \\
-x&+&y&+z&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Expresemos el sistema en forma matricial $$AX=B$$ donde $$A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$$
$$X=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \end{pmatrix}$$
y
$$X=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}$$
Entonces, aplicando el método de Cramer:
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}$$
donde $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=2$$
$$\text{det}(A_x)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=1$$
$$\text{det}(A_y)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}=1$$
y
$$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0
\end{vmatrix}=1$$
Por tanto
$$x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=1$$
$$y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$$z=\dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}=\dfrac{1}{2}$$
$\square$
[autoría]
Resolver la siguiente ecuación matricial
ENUNCIADO. Determínese la matriz $X$ tal que $$\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X\,=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X$$
SOLUCIÓN.
Observemos ( para que sea posible realizar las operaciones que figuran en la ecuación ) que la matriz $X$ debe ser una matriz $2 \times 2$.
Denotemos las matrices de la siguiente forma:
$$A:=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$B:=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$$
$$C:=\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}$$
Así, podemos escribir la ecuación pedida de manera que sea más cómodo realizar los pasos de resolución de la misma: $$AX=B-CX$$
Entonces,
$AX+CX=B-CX+CX$
$AX+CX=B-O$
$(A+C)X=B$
Designemos $D:=A+C=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}$, con lo cual
$DX=B$
Ahora, como $\det{D}=1 \neq 0$, $D$ tiene matriz inversa, podemos multiplicar ambos miembros del último paso por la inversa de $D$ ( por la izquierda ):
$D^{-1}DX=D^{-1}B$
$I_{2}X=D^{-1}B$ ( siendo $I_2$ la matriz identidad )
$X=D^{-1}B$
Toca, pues, calcular $D^{-1}$; para ello, podemos emplear el método de la matriz inversa o bien el método de Gauss-Jordan. Vamos a hacerlo por el primer método $$(D|I) \overset{\text{operaciones elementales por filas}}{\rightarrow} (I|D^{-1})$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{-3f_1+4f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{-f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 0 & 4 & -4 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{4}\,f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right)$$
luego $$D^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}$$
Por lo tanto $$X=D^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-4\\-2&16\end{pmatrix}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Observemos ( para que sea posible realizar las operaciones que figuran en la ecuación ) que la matriz $X$ debe ser una matriz $2 \times 2$.
Denotemos las matrices de la siguiente forma:
$$A:=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$B:=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$$
$$C:=\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}$$
Así, podemos escribir la ecuación pedida de manera que sea más cómodo realizar los pasos de resolución de la misma: $$AX=B-CX$$
Entonces,
$AX+CX=B-CX+CX$
$AX+CX=B-O$
$(A+C)X=B$
Designemos $D:=A+C=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}$, con lo cual
$DX=B$
Ahora, como $\det{D}=1 \neq 0$, $D$ tiene matriz inversa, podemos multiplicar ambos miembros del último paso por la inversa de $D$ ( por la izquierda ):
$D^{-1}DX=D^{-1}B$
$I_{2}X=D^{-1}B$ ( siendo $I_2$ la matriz identidad )
$X=D^{-1}B$
Toca, pues, calcular $D^{-1}$; para ello, podemos emplear el método de la matriz inversa o bien el método de Gauss-Jordan. Vamos a hacerlo por el primer método $$(D|I) \overset{\text{operaciones elementales por filas}}{\rightarrow} (I|D^{-1})$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right) \overset{-3f_1+4f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{-f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{cc|cc}
4 & 0 & 4 & -4 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{4}\,f_2 \rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -3 & 4 \\
\end{array}\right)$$
luego $$D^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}$$
Por lo tanto $$X=D^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-4\\-2&16\end{pmatrix}$$
$\square$
[autoría]
Resolver la siguiente ecuación ...
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$\begin{vmatrix}1&1 &1\\1&x&1\\1&1 &x^2\end{vmatrix}=0$$
SOLUCIÓN. $$\begin{vmatrix}1&1 &1\\1&x&1\\1&1 &x^2\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x^3-x^2-x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)^2\,(x+1)=0$$ luego las solución de la ecuación ( las raíces del polinomio ) viene dada por $\{-1\,,\,1\}$
$\square$
SOLUCIÓN. $$\begin{vmatrix}1&1 &1\\1&x&1\\1&1 &x^2\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x^3-x^2-x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)^2\,(x+1)=0$$ luego las solución de la ecuación ( las raíces del polinomio ) viene dada por $\{-1\,,\,1\}$
$\square$
[autoría]
Algunas cuestiones sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices
ENUNCIADO. Responder dando los argumentos necesarios:
(1) Considérese un sistema de $3$ ecuaciones con $n=3$ incógnitas; compatible indeterminado, con $2$ variables secundarias. ¿ Cuál es el rango, $r$, del sistema ? ¿ Qué interpretación geométrica tienen las infinitas ternas de números que constituyen la solución del mismo ?
(2) ¿ A qué matriz es igual la matriz $(A^t)^{t}-A$ ?
(3) ¿ Puede ser incompatible un sistema homogéneo ?
SOLUCIÓN.
(1) Teniendo en cuenta que $n-r=$número de variables secundarias $$3-r=2 \Leftrightarrow r=1$$
(2) $(A^t)^t=A$, luego $(A^t)^{t}-A=A-A=O$ ( matriz nula )
(3) En un sistema homogéneo se tiene, por lo menos, la solución trivial ( $x=0$, $y=0$, $z=0$ ), por consiguiente no puede ser incompatible. Otra justificació válida: Como en un sistema homogéneo el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, podemos afirmar que es compatible.
$\square$
(1) Considérese un sistema de $3$ ecuaciones con $n=3$ incógnitas; compatible indeterminado, con $2$ variables secundarias. ¿ Cuál es el rango, $r$, del sistema ? ¿ Qué interpretación geométrica tienen las infinitas ternas de números que constituyen la solución del mismo ?
(2) ¿ A qué matriz es igual la matriz $(A^t)^{t}-A$ ?
(3) ¿ Puede ser incompatible un sistema homogéneo ?
SOLUCIÓN.
(1) Teniendo en cuenta que $n-r=$número de variables secundarias $$3-r=2 \Leftrightarrow r=1$$
(2) $(A^t)^t=A$, luego $(A^t)^{t}-A=A-A=O$ ( matriz nula )
(3) En un sistema homogéneo se tiene, por lo menos, la solución trivial ( $x=0$, $y=0$, $z=0$ ), por consiguiente no puede ser incompatible. Otra justificació válida: Como en un sistema homogéneo el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, podemos afirmar que es compatible.
$\square$
[autoría]
Discutir y resolver el sistema de ecuaciones
ENUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones
$$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema por Gauss
$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \quad \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\quad , \quad 2e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ & & (k+1)\,y&+&2z&=&0\\ & & (2k+1)y&+&2\,(k+1)\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \sim $
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & 2\,(k+1)z&+&(2k+1)\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.\quad \overset{-(k+1)\,e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $
$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & &&-k^2\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.$
Con esto vemos que el rango del sistema ( número de ecuaciones linealmente independientes ), $r$, es:
I) Si $k=0$, $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de variables del sistema ) con lo cual el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria
II) Si $k \neq 0$, $r=3=n$ y, por tanto, el sistema es compatible determinado.
-oOo-
Procedemos, ahora, a resolver el sistema en los dos casos:
I) Con $k=0$, el sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&y&=&0\\ \end{matrix}\right.$$ Escogiendo $y$ como variable secundaria, asignamos $\lambda:=-y$, con lo cual el sistema a resolver es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&=&\lambda\\ & & 2\,z&=&\lambda\\ \end{matrix}\right. \quad \sim \quad \left\{\begin{matrix}x & & &=&\dfrac{\lambda}{2}\\ & & z&=&\dfrac{\lambda}{2}\\ \end{matrix}\right. $$ Así, pues, la solución viene dada en este caso por las infinitas $3$-tuplas $$\{(x,y,z)=\left(\dfrac{\lambda}{2}\,,\,-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\right):\;\lambda \in \mathbb{R}\}$$ entre las cuales se cuenta la solución trivial $(x,y,z)=(0,0,0)$.
II) Con $k=0$, la solución es la trivial, y está formada únicamente por la $3$-tupla: $(x,y,z)=(0,0,0)$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Procedemos a reducir el sistema por Gauss
$\left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ -x & +& k\,y&+&z&=&0\\ 2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \quad \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\quad , \quad 2e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& y&+&z&=&0\\ & & (k+1)\,y&+&2z&=&0\\ & & (2k+1)y&+&2\,(k+1)\,z&=&0\\ \end{matrix}\right. \sim $
$ \sim \left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & 2\,(k+1)z&+&(2k+1)\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.\quad \overset{-(k+1)\,e_2+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $
$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&(k+1)\,y&=&0\\ & & &&-k^2\,y&&=&0\\ \end{matrix}\right.$
Con esto vemos que el rango del sistema ( número de ecuaciones linealmente independientes ), $r$, es:
I) Si $k=0$, $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de variables del sistema ) con lo cual el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria
II) Si $k \neq 0$, $r=3=n$ y, por tanto, el sistema es compatible determinado.
Procedemos, ahora, a resolver el sistema en los dos casos:
I) Con $k=0$, el sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&+&y&=&0\\ & & 2\,z&+&y&=&0\\ \end{matrix}\right.$$ Escogiendo $y$ como variable secundaria, asignamos $\lambda:=-y$, con lo cual el sistema a resolver es $$\left\{\begin{matrix}x & +& z&=&\lambda\\ & & 2\,z&=&\lambda\\ \end{matrix}\right. \quad \sim \quad \left\{\begin{matrix}x & & &=&\dfrac{\lambda}{2}\\ & & z&=&\dfrac{\lambda}{2}\\ \end{matrix}\right. $$ Así, pues, la solución viene dada en este caso por las infinitas $3$-tuplas $$\{(x,y,z)=\left(\dfrac{\lambda}{2}\,,\,-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\right):\;\lambda \in \mathbb{R}\}$$ entre las cuales se cuenta la solución trivial $(x,y,z)=(0,0,0)$.
II) Con $k=0$, la solución es la trivial, y está formada únicamente por la $3$-tupla: $(x,y,z)=(0,0,0)$
$\square$
[autoría]
miércoles, 21 de octubre de 2015
Discutir y resolver el sistema de ecuaciones ...
ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real $a$
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&ay&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de $a$
b) Resuélvase el sistema en el caso $a=2$
SOLUCIÓN.
a) Podemos expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial $$AX=B$$ siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -3 \\
3 & a & -2 \\
\end{array}\right)$ la matriz de los coeficientes, $X=\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de las incógnitas y $B=\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
5 \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de los términos independientes
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es $$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
2 & 2 & -3 & 3 \\
3 & a & -2 & 5 \\
\end{array}\right)$$ y es a partir de ella que vamos a realizar el estudio de rangos.
Observemos que el determinante de la submatriz formada por los elementos $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{22}$ y $a_{23}$ es $\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} =-1 \neq 0$, luego los rangos de la matriz $A$ y $A^*$ son mayores o iguales que $2$. Estudiemos, ahora para qué valores de $a$ dichos rangos pueden llegar a ser superiores a $2$ ( no pueden ser superiores a $3$, pues el número de incógnitas es $n=3$ ).
Orlando dicha submatriz, aparecen dos submatrices de orden tres ( la submatriz que corresponde a la matriz $A$; y la submatriz formada por las columnas segunda, tercera y cuarta ), cuyos determinantes respectivos son:
i) $\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & a & -2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a-3=0 \Leftrightarrow a=3$, de lo cual se deduce que:
$\text{rg}(A)=2$ si $a=3$, y $\text{rg}(A)=3$ si $a \neq 3$
ii) $\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 3 \\ a & -2 & 5 \end{vmatrix}=15 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A^*)=3$
Visto esto, y por el teorema de Rouché-Fröbenius, distinguimos los siguientes casos:
I) Si $a \neq 3$, los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden ( son igual a $3$ ) y este valor es igual al número de incógnitas ( que es $3$ ), luego el sistema es compatible determinado.
II) Si $a = 3$, $2=\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.
b) A continuación, procedemos a resolver el sistema de ecuaciones para $a=2$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&2y&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$ mediante las combinaciones entre filas $-2\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ y $-3\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&-&z&=&1\\&&-y&+&z&=&2\end{matrix}\right.$$ sumando ahora la primera y la tercera ( miembro a miembro ), $e_1+e_3 \rightarrow e_3$, se tiene este otro sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&&z&=&-1\\x&&&&&=&3\end{matrix}\right.$$ obteniendo los valores de la tercera y primera incóngitas ( $x=3$ y $z=-1$ ); finalmente, sustituyendo éstos en la primera ecuación, se llega al valor que corresponde a la segunda incógnita $3+y+1=1 \Leftrightarrow y=-3$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&ay&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema para los diferentes valores de $a$
b) Resuélvase el sistema en el caso $a=2$
SOLUCIÓN.
a) Podemos expresar el sistema de ecuaciones en forma matricial $$AX=B$$ siendo $A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -3 \\
3 & a & -2 \\
\end{array}\right)$ la matriz de los coeficientes, $X=\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de las incógnitas y $B=\left(\begin{array}{c}
1 \\
3 \\
5 \\
\end{array}\right)$ la matriz columna de los términos independientes
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es $$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 1 \\
2 & 2 & -3 & 3 \\
3 & a & -2 & 5 \\
\end{array}\right)$$ y es a partir de ella que vamos a realizar el estudio de rangos.
Observemos que el determinante de la submatriz formada por los elementos $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{22}$ y $a_{23}$ es $\begin{vmatrix}1 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} =-1 \neq 0$, luego los rangos de la matriz $A$ y $A^*$ son mayores o iguales que $2$. Estudiemos, ahora para qué valores de $a$ dichos rangos pueden llegar a ser superiores a $2$ ( no pueden ser superiores a $3$, pues el número de incógnitas es $n=3$ ).
Orlando dicha submatriz, aparecen dos submatrices de orden tres ( la submatriz que corresponde a la matriz $A$; y la submatriz formada por las columnas segunda, tercera y cuarta ), cuyos determinantes respectivos son:
i) $\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & a & -2 \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a-3=0 \Leftrightarrow a=3$, de lo cual se deduce que:
$\text{rg}(A)=2$ si $a=3$, y $\text{rg}(A)=3$ si $a \neq 3$
ii) $\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\ 2 & -3 & 3 \\ a & -2 & 5 \end{vmatrix}=15 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A^*)=3$
Visto esto, y por el teorema de Rouché-Fröbenius, distinguimos los siguientes casos:
I) Si $a \neq 3$, los rangos de $A$ y $A^*$ coinciden ( son igual a $3$ ) y este valor es igual al número de incógnitas ( que es $3$ ), luego el sistema es compatible determinado.
II) Si $a = 3$, $2=\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)=3$, luego el sistema es incompatible.
b) A continuación, procedemos a resolver el sistema de ecuaciones para $a=2$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\2x&+&2y&-&3z&=&3\\3x&+&2y&-&2z&=&5\end{matrix}\right.$$ mediante las combinaciones entre filas $-2\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ y $-3\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ obtenemos el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&-&z&=&1\\&&-y&+&z&=&2\end{matrix}\right.$$ sumando ahora la primera y la tercera ( miembro a miembro ), $e_1+e_3 \rightarrow e_3$, se tiene este otro sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&=&1\\&&&&z&=&-1\\x&&&&&=&3\end{matrix}\right.$$ obteniendo los valores de la tercera y primera incóngitas ( $x=3$ y $z=-1$ ); finalmente, sustituyendo éstos en la primera ecuación, se llega al valor que corresponde a la segunda incógnita $3+y+1=1 \Leftrightarrow y=-3$
$\square$
[autoría]
martes, 20 de octubre de 2015
Calcular el valor del determinante
ENUNCIADO. Demostrar que el determinante llamado de Vandermonde de orden tres es igual a la expresión del segundo miembro de la siguiente igualdad
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha1)$$
SOLUCIÓN.
Procedemos a reducir el determinante hasta escalonarlo superiormente ( empleando las propiedades de los determinantes );
hecho esto, el determinante reducido es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}\overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\;;\;-f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}\begin{vmatrix}1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{3}-\alpha_{1} & \alpha_{3}^{2}-\alpha_{1}^{2}\end{vmatrix}\overset{-\frac{\alpha_3-\alpha_1}{\alpha_2-\alpha_1}\cdot f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}$
$=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & 0 & (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)\end{vmatrix}=1\cdot (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$
NOTA:
Fácilmente, podemos generalizar esta fórmula a órdenes mayores, así:
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} \end{vmatrix}=(\alpha_4-\alpha_3)(\alpha_4-\alpha_2)(\alpha_4-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$$ Y, en general,
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3} & \ldots & \alpha_{1}^{n}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} & \ldots & \alpha_{2}^{n} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} & \ldots & \alpha_{3}^{n} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} & \ldots & \alpha_{4}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & \alpha_{n} & \alpha_{n}^{2} & \alpha_{n}^{3} & \ldots & \alpha_{n}^{n} \end{vmatrix}=$$
$=(\alpha_n-\alpha_{n-1})(\alpha_n-\alpha_{n-2})\ldots (\alpha_n-\alpha_1) \overset{\underbrace{\binom{n}{2}\; \text{factores}}}{\ldots} (\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$\displaystyle =\prod_{1\le i \le j \le n}^{n}\,(\alpha_j-\alpha_i)$
$\square$
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha1)$$
SOLUCIÓN.
Procedemos a reducir el determinante hasta escalonarlo superiormente ( empleando las propiedades de los determinantes );
hecho esto, el determinante reducido es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2}\\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2}\end{vmatrix}\overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\;;\;-f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}\begin{vmatrix}1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{3}-\alpha_{1} & \alpha_{3}^{2}-\alpha_{1}^{2}\end{vmatrix}\overset{-\frac{\alpha_3-\alpha_1}{\alpha_2-\alpha_1}\cdot f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{=}$
$=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2}\\ 0 & \alpha_{2}-\alpha_{1} & \alpha_{2}^{2}-\alpha_{1}^{2}\\ 0 & 0 & (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)\end{vmatrix}=1\cdot (\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$=(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$
NOTA:
Fácilmente, podemos generalizar esta fórmula a órdenes mayores, así:
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} \end{vmatrix}=(\alpha_4-\alpha_3)(\alpha_4-\alpha_2)(\alpha_4-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)$$ Y, en general,
$$\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_{1}^{2} & \alpha_{1}^{3} & \ldots & \alpha_{1}^{n}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_{2}^{2} & \alpha_{2}^{3} & \ldots & \alpha_{2}^{n} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \alpha_{3}^{3} & \ldots & \alpha_{3}^{n} \\ 1 & \alpha_{4} & \alpha_{4}^{2} & \alpha_{4}^{3} & \ldots & \alpha_{4}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & \alpha_{n} & \alpha_{n}^{2} & \alpha_{n}^{3} & \ldots & \alpha_{n}^{n} \end{vmatrix}=$$
$=(\alpha_n-\alpha_{n-1})(\alpha_n-\alpha_{n-2})\ldots (\alpha_n-\alpha_1) \overset{\underbrace{\binom{n}{2}\; \text{factores}}}{\ldots} (\alpha_3-\alpha_2)(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha_1)=$
$\displaystyle =\prod_{1\le i \le j \le n}^{n}\,(\alpha_j-\alpha_i)$
$\square$
jueves, 15 de octubre de 2015
Interpretar geométricamente ...
ENUNCIADO. Sea un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas; compatible indeterminado, con 1 variable secundaria. ¿ Cuál es el rango del sistema ? ¿ Qué interpretación geométrica tienen las infinitas ternas de números que constituyen la solución del mismo ?.
SOLUCIÓN. El número de variables secundarias es igual a $n-r$ ( donde $n$ denota el número de incógnitas y $r$ el rango del sistema de ecuaciones ), entonces $1=3-r$, de donde $r=3-1=2$; quiere decir esto que de las cuatro ecuaciones del sistema que tratamos sólo dos son linealmente independientes. Vamos a dar respuesta, ahora, a la segunda pregunta: como el número de variables secundarias es $1$ y esto se corresponde con el número de parámetros en la estructura de la solución, es decir, con el número de grados de libertad del objeto plano que representa la solución, éste debe ser una recta ( que justamente tiene un grado de libertad, esto es, dimensión geométrica $1$ ) en el espacio vectorial de dimensión $3$. $\square$
SOLUCIÓN. El número de variables secundarias es igual a $n-r$ ( donde $n$ denota el número de incógnitas y $r$ el rango del sistema de ecuaciones ), entonces $1=3-r$, de donde $r=3-1=2$; quiere decir esto que de las cuatro ecuaciones del sistema que tratamos sólo dos son linealmente independientes. Vamos a dar respuesta, ahora, a la segunda pregunta: como el número de variables secundarias es $1$ y esto se corresponde con el número de parámetros en la estructura de la solución, es decir, con el número de grados de libertad del objeto plano que representa la solución, éste debe ser una recta ( que justamente tiene un grado de libertad, esto es, dimensión geométrica $1$ ) en el espacio vectorial de dimensión $3$. $\square$
Estudiar según los valores del parámetro y, si procede, resolver el sistema
ENUNCIADO. Estudiar y resolver ( cuando proceda ) el sistema de ecuaciones, en función de los valores que tome el parámetro $k$:
$$\left\{\begin{matrix}k\,x&+&3\,y&=&4\\ 3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&k\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. La matriz ampliada del sistema es $$(A|B)=\left(\begin{array}{cc|c}
k & 3 & 4 \\
3 & -1 & 2 \\
2 & -1 & k \\
\end{array}\right)$$
Vamos a estudiar su rango ( así como el rango de la matriz $A$ ) por el método de los determinantes ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no-nulo ). Observemos que el determinante de la submatriz ( o menor ) formada por los elementos de la segunda y tercera filas y primera y segunda columnas es $$\begin{vmatrix}
3 & -1 \\
2 & -1 \\
\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2 \quad \text{y} \quad \text{rg}(A|B) \ge 2$$
Orlando, ahora, dicha submatriz nos encontramos con un único determinante de orden tres
$$\begin{vmatrix}
k&3 & 4 \\
3 & -1&2 \\
2 & -1&k \\
\end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow k^2+7k-8=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-8
\end{matrix}\right.
$$
Nos encontramos, pues, con dos casos posibles:
I) Si $k \in \{-8\,,\,1\}$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=2=n$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por lo que el sistema de compatible determinado
II) Si $k \notin \{-8\,,\,1\}$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A|B)=3$, por lo que el sistema es incompatible
A continuación, procedemos a resolver el sistema para el caso ( compatible determinado ) en que $k \in \{-8\,,\,1\}$. Para ello, tenemos en cuenta que las dos últimas ecuaciones son linealmente independients ( la primera ha de ser combinación lineal de éstas ), ya que la submatriz de los coeficientes del sistema de orden dos que corresponde a estas dos ecuaciones es distinto de cero ( tal como hemos visto al principio ) y ello garantiza la independencia lineal de estas dos últimas ecuaciones ( el rango del sistema es $2$ ).
Ia) Si $k=1$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}3&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&1\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$
Ib) Si $k=-8$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&-8\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}30&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&28\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}k\,x&+&3\,y&=&4\\ 3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&k\\ \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. La matriz ampliada del sistema es $$(A|B)=\left(\begin{array}{cc|c}
k & 3 & 4 \\
3 & -1 & 2 \\
2 & -1 & k \\
\end{array}\right)$$
Vamos a estudiar su rango ( así como el rango de la matriz $A$ ) por el método de los determinantes ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no-nulo ). Observemos que el determinante de la submatriz ( o menor ) formada por los elementos de la segunda y tercera filas y primera y segunda columnas es $$\begin{vmatrix}
3 & -1 \\
2 & -1 \\
\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2 \quad \text{y} \quad \text{rg}(A|B) \ge 2$$
Orlando, ahora, dicha submatriz nos encontramos con un único determinante de orden tres
$$\begin{vmatrix}
k&3 & 4 \\
3 & -1&2 \\
2 & -1&k \\
\end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow k^2+7k-8=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-8
\end{matrix}\right.
$$
Nos encontramos, pues, con dos casos posibles:
I) Si $k \in \{-8\,,\,1\}$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)=2=n$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por lo que el sistema de compatible determinado
II) Si $k \notin \{-8\,,\,1\}$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(A|B)=3$, por lo que el sistema es incompatible
A continuación, procedemos a resolver el sistema para el caso ( compatible determinado ) en que $k \in \{-8\,,\,1\}$. Para ello, tenemos en cuenta que las dos últimas ecuaciones son linealmente independients ( la primera ha de ser combinación lineal de éstas ), ya que la submatriz de los coeficientes del sistema de orden dos que corresponde a estas dos ecuaciones es distinto de cero ( tal como hemos visto al principio ) y ello garantiza la independencia lineal de estas dos últimas ecuaciones ( el rango del sistema es $2$ ).
Ia) Si $k=1$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}3&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&1\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$
Ib) Si $k=-8$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&-8\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}30&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&28\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$
$\square$
Estudiar el sistema homogéneo en función de los valores del parámetro ...
EUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
-x & +& k\,y&+&z&=&0\\
2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. El sistema es homogéneo. La matriz ampliada es $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right)$$
luego ( al ser homogéneo ), para cualquier valor de $k$, tendremos que $r:=\text{rg}(A|B)=\text{rg}(A)$ y, por tanto, el sistema es compatible.
Vamos a analizar ahora los posibles valores de $r$, pues si $r=n=3$ el sistema será compatible determinado y su solución será la trivial $(0,0,0)$; por otro lado, si $r \prec n=3$, el sistema será compatible indeterminado.
Reduciendo la matriz $(A|B)$ por Gauss ( obteniendo así matrices equivalentes en rango ) obtenemos
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\,;\, -2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $$
$$ \sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & -1 & 2\,(k-1) & 0 \\
\end{array}\right) \overset{(1+a)\,e_e+e_2 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) $$
Así, podemos distinguir dos casos:
I) Si $k=0$, sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes ( dos filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
II) Si $k \neq 0$, las tres ecuaciones son linealmente independientes ( tres filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=3=n$, luego el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial ( como ya hemos avanzado ): $(0,0,0)$
Vamos ahora a resolver el sistema en las condiciones de (I). El sistema equivalente es: $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
& & y&+&2\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
Eligiendo $z$ como variable secundaria, hacemos $\lambda:=-z$ y, por tanto, reescribimos el sistema así
$$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&=&\lambda\\\
& & y&=&2\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo $y=2\,\lambda$ en la primera ecuación: $x=-\lambda$. Por consiguiente, la solución del sistema ( para el caso I ) viene dado por infinitas ternas ( puntos ) $$\{(-\lambda\,,\, 2\,\lambda\,,\,-\lambda): \lambda \in \mathbb{R} \}$$
Y, al tener un sólo grado de libertad ( el parámetro $\lambda$ ) podemos interpretar esta solución como los infinitos puntos de una recta en el espacio de dimensión $3$.
$\square$
x & +& y&+&z&=&0\\
-x & +& k\,y&+&z&=&0\\
2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. El sistema es homogéneo. La matriz ampliada es $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right)$$
luego ( al ser homogéneo ), para cualquier valor de $k$, tendremos que $r:=\text{rg}(A|B)=\text{rg}(A)$ y, por tanto, el sistema es compatible.
Vamos a analizar ahora los posibles valores de $r$, pues si $r=n=3$ el sistema será compatible determinado y su solución será la trivial $(0,0,0)$; por otro lado, si $r \prec n=3$, el sistema será compatible indeterminado.
Reduciendo la matriz $(A|B)$ por Gauss ( obteniendo así matrices equivalentes en rango ) obtenemos
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\,;\, -2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $$
$$ \sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & -1 & 2\,(k-1) & 0 \\
\end{array}\right) \overset{(1+a)\,e_e+e_2 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) $$
Así, podemos distinguir dos casos:
I) Si $k=0$, sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes ( dos filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
II) Si $k \neq 0$, las tres ecuaciones son linealmente independientes ( tres filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=3=n$, luego el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial ( como ya hemos avanzado ): $(0,0,0)$
Vamos ahora a resolver el sistema en las condiciones de (I). El sistema equivalente es: $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
& & y&+&2\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
Eligiendo $z$ como variable secundaria, hacemos $\lambda:=-z$ y, por tanto, reescribimos el sistema así
$$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&=&\lambda\\\
& & y&=&2\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo $y=2\,\lambda$ en la primera ecuación: $x=-\lambda$. Por consiguiente, la solución del sistema ( para el caso I ) viene dado por infinitas ternas ( puntos ) $$\{(-\lambda\,,\, 2\,\lambda\,,\,-\lambda): \lambda \in \mathbb{R} \}$$
Y, al tener un sólo grado de libertad ( el parámetro $\lambda$ ) podemos interpretar esta solución como los infinitos puntos de una recta en el espacio de dimensión $3$.
$\square$
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