Se sabe que la renta anual ( en unidades monetarias arbitrarias, u.m) de los contribuyentes de una ciudad tiene una distribución de probabilidad normal de media desconocida, y desviación típica $\sigma = 2000$ u.m. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $40$ contribuyentes de esa localidad, observándose una media muestral de $20\,000$ u.m. Realizar un contraste estadístico de hipótesis, a nivel de significación $\alpha=0'05$, con el fin de valorar la validez de la siguiente afirmación: "La media de la población es de $18\,000$ u.m".

Enunciado:
Se sabe que la renta anual ( en unidades monetarias arbitrarias, u.m) de los contribuyentes de una ciudad tiene una distribución de probabilidad normal de media desconocida, y desviación típica $\sigma = 2000$ u.m. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $40$ contribuyentes de esa localidad, observándose una media muestral de $20\,000$ u.m. Realizar un contraste estadístico de hipótesis, a nivel de significación $\alpha=0'05$, con el fin de valorar la validez de la siguiente afirmación: "La media de la población es de $18\,000$ u.m."

Resolución:
Sea $X$ la variable aleatoria renta anual de los individuos de la población. Según el enunciado, debemos considerar que $X \sim N(\mu\,,\,2000)$, con media, $\mu$, desconocida. Entonces, es razonable plantear el siguiente contraste bilateral: la hipótesis nula ( o hipótesis estándar; estándar, en el sentido, que apunta la afirmación propuesta "La media de la población es de $18\,000$ u.m." ), que expresamos como $H_0:\,\mu=\mu_0$, con $\mu_0=18\,000$ u.m., frente a la hipótesis alternativa $H_1:\,\mu \neq 18\,000$ u.m., siendo el estadístico del contraste tal que su variable aleatoria es $\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ que es una v.a. con distribución $Z \sim N(0,1)$ en el muestreo ( Teorema Central del Límite ).

Recordemos que $z_{\alpha/2}=P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\alpha/2=F(1-\alpha / 2)$, donde $F(z)$ es la función de distribución de probabilidad de $Z \sim N(0,1)$ ( tablas ), con lo cual, al ser $\alpha=0'05$, se obtiene $\alpha/2=\alpha_{0'05/2}=\alpha_{0'025}=F(1-0'025)=F(0'975)=1'96$, luego los puntos críticos ( extremos del intervalo de aceptación de $H_0$ ) son $-1'96$ y $1'96$, es decir, el intervalo de aceptación de la hipótesis nula $H_0$ expresado en la variable $Z$ es $C_{Z}^{*}=[-1'96\,,\,1'96]$.

De la muestra, vemos que el valor observado de la variable tipificada del estadístico de contraste es $Z_{\text{observado}}=\dfrac{20\,000-18\,000}{2000/\sqrt{40}}=6'3246 \notin C^{*}$ y que, por tanto, cae en la región crítica, luego decidimos rechazar la hipótesis nula, aceptando la hipótesis alternativa y concluyendo que no corroboramos la afirmación propuesta a un nivel de significación $\alpha=0'05$.
$\blacksquare$

[nota del autor]