De una urna que contiene una bola blanca y dos bolas negras se hacen $5$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Denotamos por $X$ a la variable aleatoria número de bolas blancas extraídas. Se pide: a) ¿ Cuál es el modelo de distribución de probabilidad de $X$ ? b) ¿ Cuál es la media y la desviación típica de $X$ ? c) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener al menos una bola blanca ?

Enunciado:
De una urna que contiene una bola blanca y dos bolas negras se hacen $5$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Denotamos por $X$ a la variable aleatoria número de bolas blancas extraídas. Se pide:
  a) ¿ Cuál es el modelo de distribución de probabilidad de $X$ ?
  b) ¿ Cuál es la media y la desviación típica de $X$ ?
  c) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener al menos una bola blanca ?

Resolución:
a)
Por la naturaleza de la experiencia aleatoria que se describe en el enunciado, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria, $X$, es de tipo discreto; concretamente, sigue el modelo binomial $X \sim B(n,p)$, ya que se nos plantea una sucesión de extracciones independientes o pruebas de Bernoulli $B(1,p)$. Denotamos por $n$ al número de realizaciones (extracciones) y por $p$ la probabilidad de éxito ( sacar bola blanca en una realización ); en el problema, $n=5$ y, por el principio de Laplace, $p=1/3$

b)
La media $E[X]$ es en este modelo, igual a $n\cdot p$, y por tanto es igual a $5\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\approx 1'67$; la desviación típica $\text{Desv}(X)$, que es igual a la raíz cuadrada de la varianza $V(X)$, es en este modelo igual a $\sqrt{n\,p\,(1-p)}$ y, por tanto, tiene el siguiente valor ( con los datos del problema ): $\text{Desv}(X)=\sqrt{5\cdot \dfrac{1}{3}\,(1-\dfrac{1}{3})}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}\approx 1'05$

c)
    $P\{X \ge 1\}=1-P\{X=0\}$
En un modelo discreto ( como el m. binomial ), los valores de la función de masa corresponden a la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria $X$, es decir, $P\{X=x\}$, que suele representarse también de la forma $P_{X}(x)$, y que es igual a
    $P_{X}(x)=\binom{n}{x}\,p^{x}\,(1-p)^{n-x}$
luego
    $P\{X=0\}=\binom{5}{0}\cdot (1/3)^2 \cdot (1-1/3)^{5-0}$
con lo cual, por la propiedad del contrario, podemos escribir
    $P\{X \ge \}=1-\binom{5}{0}\cdot (1/3)^2 \cdot (1-1/3)^{5-0} = \dfrac{211}{243} \approx 0'8683$
$\blacksquare$

[nota del autor]