Las máquinas $A$ y $B$ producen $50$ y $250$ piezas por hora, con un porcentaje de fallos del $1\,\%$ y del $10\,\%$, respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas que se han fabricado en una hora y elegimos una al azar, que resulta no ser defectuosa. Hallar la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina $B$.

Enunciado:
Las máquinas $A$ y $B$ producen $50$ y $250$ piezas por hora, con un porcentaje de fallos del $1\,\%$ y del $10\,\%$, respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas que se han fabricado en una hora y elegimos una al azar, que resulta no ser defectuosa. Hallar la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina $B$.

Resolución:
Llamaremos $A$ al suceso "elegir una pieza que provenga de la máquina A"; $B$, al suceso "elegir una pieza que provenga de la maquina B; por $D$ al suceso "elegir una pieza defectuosa" y por $\overline{D}$ al suceso "elegir una pieza no defectuosa".

Entendemos el espacio muestral $\Omega$ formado por los sucesos elementales ( y por tanto incompatibles ) $A$ y $B$, es decir, $\Omega = A \cup B$. Siendo, pues, $\overline{D} \subset \Omega$, podemos escribir ( Teorema de la Probabilidad Total ): $$P(\overline{D})=P(\overline{D}|A)\,P(A)+P(\overline{D}|B)\,P(B)$$
y teniendo en cuenta los datos del problema

    $P(A)=50/300$
    $P(B)=250/300$
    $P(\overline{D}|A)=(100-1)/100=99/100$
    $P(\overline{D}|B)=(100-10)/100=90/100$

luego
$$P(\overline{D})=\dfrac{99}{100}\cdot \dfrac{50}{300}+\dfrac{90}{100}\cdot \dfrac{250}{300}=\dfrac{183}{200}=0'915$$

Finalmente, por el Teorema de Bayes, podemos escribir
$$P(B|\overline{D})=\dfrac{P(\overline{D}|B)\,P(B)}{P(\overline{D})}$$
y poniendo los datos
$$P(B|\overline{D})=\dfrac{(90/100)\cdot (250/300)}{183/200} \approx 0'8197$$

$\blacksquare$

[nota del autor]