Calcular los valores del parámetro $\lambda$ para los cuales la siguiente matriz cuadrada no tiene inversa. Calcular dicha matriz inversa para $\lambda=-1$

Enunciado:
Calcular los valores del parámetro $\lambda$ para los cuales la siguiente matriz cuadrada no tiene inversa. Calcular dicha matriz inversa para $\lambda=-1$

$$\begin{pmatrix} \lambda & -2\\ 2 & -\lambda\\ \end{pmatrix}$$

Resolución:
Es sabido que una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante es no nulo; el determinante de la matriz dada es $-\lambda^2+2^2$, luego la matriz dada no es invertible si y sólo si $-\lambda^2+2^2=0$, luego no es invertible para $\lambda=\pm2$; para cualquier otro valor de $\lambda$, sí tiene inversa. Así pues, existe matriz inversa para $\lambda=-1$. Sabemos también que si una matriz dada tiene inversa, ésta es única. Procedamos a encontrarla:

La matriz dada ( que denotamos por $A$ ), para $\lambda=-1$, es
$$A=\begin{pmatrix}-1 & -2\\ 2 & -(-1)\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\ 2 & 1\\\end{pmatrix}$$
Por el método de la matriz adjunta, sabemos que $$A^{-1}=\dfrac{1}{\text{det}(A)}\,\big(\text{Adj}(A^t)\big)$$
o lo que es lo mismo
$$A^{-1}=\dfrac{1}{\text{det}(A)}\,\big(\text{Adj}(A)\big)^t$$
y haciendo los cálculos
$$A^{-1}=\dfrac{1}{3}\,\begin{pmatrix}1 & -2\\ 2 & -1\\\end{pmatrix}^t=\dfrac{1}{3}\,\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & -1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3 & 2/3\\ -2/3 & -1/3\\\end{pmatrix}$$

Observación:   Si bien hemos calculado la matriz inversa por el método de la matriz adjunta, sería mejor - en este caso - utilizar el método de Gauss-Jordan, pues es más económico en cálculos. Recordemos que éste es un método de reducción, que consiste en realizar las operaciones elementales entre filas que nos lleven de $(A|I)$ a $(I|A^{-1})$, donde $I$ indica la matriz identidad. Entonces, partiendo de
$$\left(\begin{array}{cc|cc} -1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$$
y mediante la operación elemental $2\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos a
$$\left(\begin{array}{cc|cc} -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 1\\ \end{array}\right)$$
haciendo, ahora, $-2\,e_2+3\,e\,_1 \rightarrow e_1$, obtenemos
$$\left(\begin{array}{cc|cc} -3 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 2 & 1\\ \end{array}\right)$$
y, finalmente, para normalizar los coeficientes de la diagonal principal de la submatriz de la izquierda, haremos $-1 \cdot e_1 \rightarrow e_1$ y $-(1/3)\cdot e_2 \rightarrow e_2$, con lo cual
$$\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 & -2/3 & -1/3\\ \end{array}\right)$$
y de aquí, concluimos que
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1/3 & 2/3 \\ -2/3 & -1/3\\ \end{array}\right)$$

Nota:   Se comprueba sin dificualtad que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$
$\square$