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viernes, 21 de febrero de 2014

Realizar los siguientes cálculos de probabilidad, de acuerdo con los modelos de la variable aleatoria indicados en cada uno de los casos: a) Sea X \sim N(4'2\,,\,2'1), calcular: P\{2\le X \le 3\} b) Sea X \sim N(4'2\,,\,2'1), calcular: P\{|X| \le 2\} c) Sea X \sim N(4'2\,,\,2'1), calcular: P\{|X| \succ 2\} d) b) Sea X \sim B(600\,,\,0'6), calcular: P\{400 \le X \le 500\}

Enunciado:
Realizar los siguientes cálculos de probabilidad, de acuerdo con los modelos de la variable aleatoria indicados en cada uno de los casos:
a) Sea X \sim N(4'2\,,\,2'1), calcular: P\{2\le X \le 3\}
b) Sea X \sim N(4'2\,,\,2'1), calcular: P\{|X| \le 2\}
c) Sea X \sim N(4'2\,,\,2'1), calcular: P\{|X| \succ 2\}
d) b) Sea X \sim B(600\,,\,0'6), calcular: P\{400 \le X \le 500\}

Resolución:
a)
P\{2\le X \le 3\}=P\{X \le 3\}-P\{X \le 2\}
Haciendo la transformación X \sim N(\mu\,,\,\sigma) \rightarrow Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) ( tipificación de la variable ) nos queda
P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{3-4'2}{2'1} \}-P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{2-4'2}{2'1} \}
es decir
P\{2\le X \le 3\}=P\{ Z \le -0'5714 \}-P\{ Z \le -1'0476 \}
  =P\{ Z \ge 0'5714 \}-P\{ Z \ge 1'0476 \} ( por la simetría de la función de densidad f(z) )
  =(1-P\{ Z \le 0'5714 \})-(1-P\{ Z \le 1'0476 \}) ( por la propiedad del contrario )
  =P\{ Z \le 1'0476 \}-P\{ Z \le 0'5714 \}
  =F(1'0476)-F(0'5714) ( siendo F(z) la función de distribución de probabilidad, cuyos valores están están en las tablas )
  =0'8531-0'7157
  =0'1374 que es, aproximadamente, un 14 \,\text{%}

b)
P\{ |X|\le 2 \}=P\{ -2\le X \le 2\}=P\{ X \le 2 \}-P\{ X \le -2 \}
Haciendo la transformación X \sim N(\mu\,,\,\sigma) \rightarrow Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) ( tipificación de la variable ) nos queda
P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{2-4'2}{2'1} \}-P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{-2-4'2}{2'1} \}
es decir
P\{\|X|\le 2\}=P\{ Z \le -1'0476 \}-P\{ Z \le -2'9524 \}
  =P\{ Z \ge 1'0476 \}-P\{ Z \ge 2'9524 \} ( por la simetría de la función de densidad f(z) )
  =(1-P\{ Z \le 1'0476 \})-(1-P\{ Z \le 2'9524 \}) ( por la propiedad del contrario )
  =P\{ Z \le 2'9524 \}-P\{ Z \le 1'0476 \}
  =F(2'9524)-F(1'0476) ( siendo F(z) la función de distribución de probabilidad, cuyos valores están están en las tablas )
  =0'9984-0'8531
  =0'1453

c)
P\{ |X|\succ 2 \}=P\{X\succ 2\}+P\{X\prec -2\}
    =1-P\{ -2 \le X\le 2 \} ( por la propiedad del contrario )
es decir
P\{ |X|\succ 2 \}=1-P\{|X|\le 2\}
    =1-0'1453 = 0'8547

d)
Siendo X \sim B(600\,,\,0'6), al ser p \succ 0'5 y n\,p = 600 \cdot 0'6 = 360 \succ 5, podemos aproximar la variable aleatoria binomial X por una variable aleatoria normal Y \sim N(\mu\,,\,\sigma) con \mu=n\,p=600\cdot 0'6=360 y \sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}=\sqrt{600\cdot 0'6\cdot 0'4}=12. Así, pues,
P\{400 \prec X \prec 500\} \approx P\{400-0'5 \le Y \le 500+0'5\} ( donde se ha hecho aquí la corrección de continuidad )
luego
P\{400 \prec X \prec 500\} \approx P\{Y \le 500'5\}-P\{Y \le 399'5\}
y, tipificando la variable ( Z = \dfrac{Y-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) ), podemos expresar lo anterior de la forma
P\{\dfrac{Y-360}{12} \le \dfrac{500'5-360}{12}\}-P\{\dfrac{Y-360}{12} \le \dfrac{399'5-360}{12} \}
en otras palabras, como
P\{Z \le 11'71\}-P\{Z \le 3'29 \}=F(11'71)-F(3'29)
y teniendo en cuenta que F(11'71) es, prácticamente, igual a 1, obtenemos: 1-0'9995; es decir,
P\{400 \prec X \prec 500\} \approx 1-0'9995 = 0'0005
\blacksquare


[nota del autor]

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