Realizar los siguientes cálculos de probabilidad, de acuerdo con los modelos de la variable aleatoria indicados en cada uno de los casos: a) Sea $X \sim N(4'2\,,\,2'1)$, calcular: $P\{2\le X \le 3\}$ b) Sea $X \sim N(4'2\,,\,2'1)$, calcular: $P\{|X| \le 2\}$ c) Sea $X \sim N(4'2\,,\,2'1)$, calcular: $P\{|X| \succ 2\}$ d) b) Sea $X \sim B(600\,,\,0'6)$, calcular: $P\{400 \le X \le 500\}$

Enunciado:
Realizar los siguientes cálculos de probabilidad, de acuerdo con los modelos de la variable aleatoria indicados en cada uno de los casos:
a) Sea $X \sim N(4'2\,,\,2'1)$, calcular: $P\{2\le X \le 3\}$
b) Sea $X \sim N(4'2\,,\,2'1)$, calcular: $P\{|X| \le 2\}$
c) Sea $X \sim N(4'2\,,\,2'1)$, calcular: $P\{|X| \succ 2\}$
d) b) Sea $X \sim B(600\,,\,0'6)$, calcular: $P\{400 \le X \le 500\}$

Resolución:
a)
$P\{2\le X \le 3\}=P\{X \le 3\}-P\{X \le 2\}$
Haciendo la transformación $X \sim N(\mu\,,\,\sigma) \rightarrow Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ ( tipificación de la variable ) nos queda
$P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{3-4'2}{2'1} \}-P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{2-4'2}{2'1} \}$
es decir
$P\{2\le X \le 3\}=P\{ Z \le -0'5714 \}-P\{ Z \le -1'0476 \}$
  $=P\{ Z \ge 0'5714 \}-P\{ Z \ge 1'0476 \}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ )
  $=(1-P\{ Z \le 0'5714 \})-(1-P\{ Z \le 1'0476 \})$ ( por la propiedad del contrario )
  $=P\{ Z \le 1'0476 \}-P\{ Z \le 0'5714 \}$
  $=F(1'0476)-F(0'5714)$ ( siendo $F(z)$ la función de distribución de probabilidad, cuyos valores están están en las tablas )
  $=0'8531-0'7157$
  $=0'1374$ que es, aproximadamente, un $14 \,\text{%}$

b)
$P\{ |X|\le 2 \}=P\{ -2\le X \le 2\}=P\{ X \le 2 \}-P\{ X \le -2 \}$
Haciendo la transformación $X \sim N(\mu\,,\,\sigma) \rightarrow Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ ( tipificación de la variable ) nos queda
$P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{2-4'2}{2'1} \}-P\{ \dfrac{X-4'2}{2'1} \le \dfrac{-2-4'2}{2'1} \}$
es decir
$P\{\|X|\le 2\}=P\{ Z \le -1'0476 \}-P\{ Z \le -2'9524 \}$
  $=P\{ Z \ge 1'0476 \}-P\{ Z \ge 2'9524 \}$ ( por la simetría de la función de densidad $f(z)$ )
  $=(1-P\{ Z \le 1'0476 \})-(1-P\{ Z \le 2'9524 \})$ ( por la propiedad del contrario )
  $=P\{ Z \le 2'9524 \}-P\{ Z \le 1'0476 \}$
  $=F(2'9524)-F(1'0476)$ ( siendo $F(z)$ la función de distribución de probabilidad, cuyos valores están están en las tablas )
  $=0'9984-0'8531$
  $=0'1453$

c)
$P\{ |X|\succ 2 \}=P\{X\succ 2\}+P\{X\prec -2\}$
    $=1-P\{ -2 \le X\le 2 \}$ ( por la propiedad del contrario )
es decir
$P\{ |X|\succ 2 \}=1-P\{|X|\le 2\}$
    $=1-0'1453 = 0'8547 $

d)
Siendo $X \sim B(600\,,\,0'6)$, al ser $p \succ 0'5$ y $n\,p = 600 \cdot 0'6 = 360 \succ 5$, podemos aproximar la variable aleatoria binomial $X$ por una variable aleatoria normal $Y \sim N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\mu=n\,p=600\cdot 0'6=360$ y $\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}=\sqrt{600\cdot 0'6\cdot 0'4}=12$. Así, pues,
$P\{400 \prec X \prec 500\} \approx P\{400-0'5 \le Y \le 500+0'5\}$ ( donde se ha hecho aquí la corrección de continuidad )
luego
$P\{400 \prec X \prec 500\} \approx P\{Y \le 500'5\}-P\{Y \le 399'5\}$
y, tipificando la variable ( $Z = \dfrac{Y-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ ), podemos expresar lo anterior de la forma
$P\{\dfrac{Y-360}{12} \le \dfrac{500'5-360}{12}\}-P\{\dfrac{Y-360}{12} \le \dfrac{399'5-360}{12} \}$
en otras palabras, como
$P\{Z \le 11'71\}-P\{Z \le 3'29 \}=F(11'71)-F(3'29)$
y teniendo en cuenta que $F(11'71)$ es, prácticamente, igual a $1$, obtenemos: $1-0'9995$; es decir,
$P\{400 \prec X \prec 500\} \approx 1-0'9995 = 0'0005$
$\blacksquare$

[nota del autor]