Se desea estimar el tiempo de permanencia de los pacientes en un hospital; para ello, se ha seleccionado una muestra aleatoria simple de $800$ pacientes de dicho hospital y se ha observado una media muestral de la permanencia en el hospital de $4'5$ días, con una desviación típica ( de la muestra ) de $3'2$ días. Obtener un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media de la permanencia en dicho hospital.

Enunciado:
Se desea estimar el tiempo de permanencia de los pacientes en un hospital; para ello, se ha seleccionado una muestra aleatoria simple de $800$ pacientes de dicho hospital y se ha observado una media muestral de la permanencia en el hospital de $4'5$ días, con una desviación típica ( de la muestra ) de $3'2$ días. Obtener un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media de la permanencia en dicho hospital.

Resolución:
Se nos pide estimar la media, $\mu$, del tiempo de permanencia en el hospital, calculando un intervalo de confianza, con un coeficiente $1-\alpha=0'95$. A pesar de no conocer el tipo de modelo de distribución de probabilidad de la variable aleatoria permanencia en el hospital, al tratarse de una muestra grande ( $n=800$ ) y haber realizado un muestreo aleatorio simple, podemos suponer que la distribución en el muestreo del estimador de la media, $\mu$, correspondiente a la variable aleatoria permanencia en el hospital de la población, sigue una distribución aproximadamente normal ( Teorema Central del Límite ), por lo que un buen estimador de la media de la población es $\dfrac{\overline{x}-\mu}{\sigma(\overline{x})}$, siendo la desviación típica del estimador: $\sigma(\overline{x})=\sigma / \sqrt{n}$. Ahora bien, no conocemos tampoco la desviación típica de la población $\sigma$, con lo cual deberemos también estimarla a partir de la información de la muestra, y un buen estimador de la desviación típica de la población es la cuasidesviación típica $S$ ( que es un estimador centrado de $\sigma$ ), que se relaciona con la desviación típica de la muestra, $s$ ( estimador no centrado y cuyo valor es un dato del problema ), de la forma $S=s\,\sqrt{\frac{n}{n-1}}$, y con los datos del problema se obtiene una cuasidesviación típica $S=3'2\cdot \sqrt{\dfrac{800}{800-1}}=3'2020$ ( aproximando por redondeo simétrico con cuatro cifras decimales ).

Así, pues, el estimador $\overline{x}$ de la media $\mu$ de la población tiene una distribución en el muestreo tal que su variable tipificada $Z$ es $Z=\dfrac{\overline{x}-\mu}{S/\sqrt{n}} \approx N(0,1)$; por lo tanto, el intervalo de confianza de $\mu$ es $I=[\overline{x}-E\,,\,\overline{x}+E]$, donde $E$ denota el margen de error en la estimación y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{S}{\sqrt{n}}$, y siendo $z_{\alpha / 2}$ la abscisa de $f(z)$ tal que $P\{Z \ge \alpha/2 \}=\alpha/2=F(1-\alpha/2)$, denotando por $F(z)$ la función de distribución de probabilidad de $Z \sim N(0,1)$ ( tablas ). Entonces, al ser $1-\alpha=0'95$ vemos que $\alpha=0'05$ y, por tanto, $\alpha/2=0'025$, luego $F(1-0'025)=F(0'975)=1'96$ ( tablas ), luego $E=1'96 \cdot \dfrac{3'2020}{\sqrt{800}} = 0'2219$ ( es decir, $E \approx 22\,\%$ ), con lo cual obtenemos el intervalo de confianza $I=[4'5-0'2219\,,\,4'5+1'96 \cdot 0'2219]$, es decir, $I=[4'2781\,,\,4'7219]$

En conclusión: podemos afirmar que la media del tiempo de permanencia en el hospital, $\mu$, de la población es tal que $\mu \in [4'2781\,,\,4'7219]$ a nivel de confianza del $95\,\%$ y con un margen de error en la estimación igual a $E \approx 22\,\%$.

$\blacksquare$

[nota del autor]