Enunciado:
Sea la variable aleatoria normal $X \sim N(2\,,\,1'5)$. Se pide:
a) El valor de la abscisa $a$ tal que $P\{|X| \le a \}=0'4500$
b) El valor de la abscisa $b$ tal que $P\{|X| \ge b \}=0'3000$
c) $P\{|X+2| \le 1 \}$
d) $P\{|X-2| \ge 1 \}$
Resolución:
(a)
$P\{|X| \le a \}=0'4500$
tipificando la variables, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{|Z| \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500 \Rightarrow P\{Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=\dfrac{1-0'4500}{2}=0'2750$ ( probabilidad de la cola derecha )
por lo tanto
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=1-0'2750=0'7250$
y consultando las tablas de la función de distribución de $Z \sim N(0,1)$ encontramos
$\dfrac{a-2}{1'5}\approx 0'60$, de donde obtenemos $a \approx 0'60\cdot 1'5 + 2 = 2'90$
Otra manera de hacerlo:
$P\{|X| \le a \}=0'4500$
$P\{-a \le X \le a \}=0'4500$
$P\{X \le a \}-P\{X \le -a \}=0'4500$
$P\{X \le a \}-P\{-X \ge a \}=0'4500$
tipificando la variable, $Z = \dfrac{X-2}{1'5}$, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{-Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{Z \le -\dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-(1-P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \})=0'4500$
$2\,P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-1=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=F(\dfrac{a-2}{1'5})=\dfrac{1+0'4500}{2}=0'7250$
y de las tablas de la función de distribución $Z \sim N(0,1)$ vemos que
$\dfrac{a-2}{1'5} \approx 0'60$ con lo cual $a\approx 1'5\cdot 0'60+2=2'90$
(b)
$P\{|X| \ge b \}=0'3000 \Rightarrow P\{|X| \le b \}=1-0'3000=0'7000$
tipificando la variables, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{|Z| \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'7000 \Rightarrow P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=\dfrac{1-0'7000}{2}=0'1500$ ( probabilidad de la cola derecha )
por lo tanto
$P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=1-0'1500=0'8500$
y consultando las tablas de la función de distribución de $Z \sim N(0,1)$ encontramos
$\dfrac{b-2}{1'5}\approx 1'04$, de donde obtenemos $b \approx 1'04 \cdot 1'5 + 2 = 3'56$
Otra manera de hacerlo:
$P\{|X| \ge b \}=0'3000$
$P\{X \ge b \}+P\{X \le -b \}=0'3000$
$P\{X \ge b \}+P\{-X \ge b \}=0'3000$
tipificando la variable, $Z = \dfrac{X-2}{1'5}$, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{-Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
$P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{Z \le -\dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
$P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
$(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})+(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})=0'3000$
$2\,(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})=0'3000$
$1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'1500$
$P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=F(\dfrac{b-2}{1'5})=1-0'1500=0'8500$
y de las tablas de la función de distribución $Z \sim N(0,1)$ encontramos
$\dfrac{b-2}{1'5} \approx 1'04$ con lo cual $b \approx 1'5\cdot 1'04+2=3'56$
(c)
$P\{|X+2| \le 1 \}$
$=P\{-1 \le X+2 \le 1 \}$
$=P\{-1 - 2\le X \le 1 - 2 \}=P\{-3 \le X \le -1\}$
$=P\{\dfrac{-3-2}{1'5} \le \dfrac{X-2}{1'5} \le \dfrac{-1-2}{1'5}\}$
$= P\{ -\dfrac{10}{3} \le Z \le -2 \}=P\{Z\le -2\}-P\{Z\le -\dfrac{10}{3}\}$
$=P\{Z\ge 2\}-P\{Z\ge \dfrac{10}{3}\}$
$= (1-P\{Z\le 2\})-(1-P\{Z\le \dfrac{10}{3}\})=P\{Z \le \dfrac{10}{3}\})-P\{Z\le 2\})$
$=F(\dfrac{10}{3})-F(2) \approx 1 - 097772 = 0'0228$
(d)
$P\{|X-2| \le 1 \}$
$=P\{-1 \le X-2 \le 1 \}$
$=P\{-1 + 2 \le X \le 1 + 2 \}=P\{1 \le X \le 3\}$
$=P\{X \le 3\}-P\{X \le 1\}$
tipificando:
$=P\{Z \le \dfrac{3-2}{1'5}\}-P\{Z \le \dfrac{1-2}{1'5}\}$
$=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-P\{Z \le -\dfrac{2}{3}\}$
$=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-P\{Z \ge +\dfrac{2}{3}\}$
$=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-(1-P\{Z \le +\dfrac{2}{3}\})$
$=2\,P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-1$
$=2\,F(\dfrac{2}{3})-1$
$=2\cdot 0'7486-1=0'4972$
$\blacksquare$
lunes, 28 de abril de 2014
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide: a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ? b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.
Enunciado:
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide:
a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ?
b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada en la muestra es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.
Resolución:
(a)
Intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$:
$I_{\mu}=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\,,\,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}]$, esto es $\mu = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ representa el error máximo y, por tanto, la semiamplitud del intervalo de incertidumbre, con lo cual podemos escribir: $|\mu - \bar{x}|=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Siendo $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$, y encontramos, en las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$, que $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}=1'96$; así, pues, siendo $1'96\cdot \dfrac{1940}{\sqrt{n}} \prec 100$ ( según el enunciado ), vemos que, elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad, $n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 1940}{100}\big)^2 \approx 1446$, luego $n \succ 1446$.
(b)
El intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es, ahora, $I_{\mu}=[12415-z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}\,\,,\,\,12415+z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}]$. Y como $z_{0'10/2}=z_{0'05}$ es tal que $P\{Z \ge z_{0'05}\}=0'05$, es decir, $P\{Z \le z_{0'05}\}=F(z_{0'05})=1-0'05=0'95$, encontramos ( en el interior de las tablas de la función de distribución de la variable normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ ) que ( fila y columna ) $z_{0'05} \approx 1'65 $ ( aproximando a dos cifras decimales dicha abscisa ). Así, pues, el intervalo de confianza pedido es
$I_{\mu}=[12415-1'65\,\dfrac{1940}{15}\,\,,\,\,12415+1'65\,\dfrac{1940}{15}]$ y aproximando los extremos del mismo a las unidades: $I_{\mu}=[12202\,\,,\,\,12628]$
$\blacksquare$
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide:
a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ?
b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada en la muestra es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.
Resolución:
(a)
Intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$:
$I_{\mu}=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\,,\,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}]$, esto es $\mu = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ representa el error máximo y, por tanto, la semiamplitud del intervalo de incertidumbre, con lo cual podemos escribir: $|\mu - \bar{x}|=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Siendo $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$, y encontramos, en las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$, que $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}=1'96$; así, pues, siendo $1'96\cdot \dfrac{1940}{\sqrt{n}} \prec 100$ ( según el enunciado ), vemos que, elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad, $n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 1940}{100}\big)^2 \approx 1446$, luego $n \succ 1446$.
(b)
El intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es, ahora, $I_{\mu}=[12415-z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}\,\,,\,\,12415+z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}]$. Y como $z_{0'10/2}=z_{0'05}$ es tal que $P\{Z \ge z_{0'05}\}=0'05$, es decir, $P\{Z \le z_{0'05}\}=F(z_{0'05})=1-0'05=0'95$, encontramos ( en el interior de las tablas de la función de distribución de la variable normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ ) que ( fila y columna ) $z_{0'05} \approx 1'65 $ ( aproximando a dos cifras decimales dicha abscisa ). Así, pues, el intervalo de confianza pedido es
$I_{\mu}=[12415-1'65\,\dfrac{1940}{15}\,\,,\,\,12415+1'65\,\dfrac{1940}{15}]$ y aproximando los extremos del mismo a las unidades: $I_{\mu}=[12202\,\,,\,\,12628]$
$\blacksquare$
De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente: a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$
Enunciado:
De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente:
a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras
b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$
Resolución:
Sea $X$ la variable aleatoria "número de bolas blancas resultantes", cuyos valores posibles son $\{0,1,2,\ldots,100\}$. El experimento aleatorio consiste en un conjunto de pruebas de Bernoulli, por lo que $X$ sigue una distribución binomial $X \sim B(n,\,,p)$, donde $n=100$ y $p$ es la probabilidad de obtener bola blanca en cualquiera de esas pruebas ( probabilidad de 'éxito' ), que es $\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}$, y $1-p$ la probabilidad de obtener bola negra, que es $\dfrac{2}{5}$. Por otra parte al ser $p=\dfrac{3}{2+3} \succ 0'5$ y $n\,(1-p)=100\cdot \dfrac{2}{5} \succ 5$ podemos aproximar la variable aleatoria binomial discreta $X$ por una variable aleatoria continua, $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$, donde $\mu=np=60\cdot \dfrac{3}{5}=60$ y $\sigma=\sqrt{60\cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}} \approx 4'90$; cosa que es muy conveniente a efectos de cálculo, pues sin la ayuda de un ordenador sería inviable operar con la distribución binomial a la hora de dar una respuesta al segundo apartado.
(a)
Al interesarnos por obtener el mismo número de bolas blancas que de bolas negras ( $50$ para para cada una):
$P\{X=50)\approx P\{50-0'5 \le Y \le 50+0'5\}$ ( haciendo la corrección de continuidad )
= $P\{\dfrac{49'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{50'5-60}{4'90}\}$ ( realizando la tipificación de la variable $Y$, es decir, la transformación: $Y \rightarrow \dfrac{Y-60}{4'90}=Z$, con $Z \sim N(0,1)$ )
= $P\{-2'14 \le Z \le -1'94 \}$ ( operando las abscisas con dos cifras decimales )
= $P\{Z\le -1'94\}-P\{Z\le -2'14\}$
= $P\{Z\ge 1'94\}-P\{Z\ge 2'14\}$
= $(1-P\{Z\le 1'94\})-(1-P\{Z\le 2'14\})$
= $P\{Z\le 2'14\}-P\{Z\le 1'94\}$
= $F(2'14)-F(1'94)$ (consultando las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ )
= $0'9838-0'9738$
= $0'0100$
(b)
$P\{40 \prec X \prec 60) \approx P\{40-0'5 \le Y \le 60+0'5 \}$ ( aproximando $X \sim B(n,p)$ por $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$ y haciendo la corrección de continuidad )
$= P\{\dfrac{39'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{60'5-60}{4'90} \}$ ( tipificando la variable $Y$, donde $Z \sim N(0,1)$ )
$= P\{-4'18 \le Z \le 0'10 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \le -4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \ge 4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-( 1-P\{Z \le 4'18 \})$
$\approx P\{Z \le 0'10 \}-( 1-1)=P\{Z \le 0'10 \}$ ( al ser $P\{Z \le 4'18 \} \approx 1 $ )
$=0'5398$
$\blacksquare$
De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente:
a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras
b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$
Resolución:
Sea $X$ la variable aleatoria "número de bolas blancas resultantes", cuyos valores posibles son $\{0,1,2,\ldots,100\}$. El experimento aleatorio consiste en un conjunto de pruebas de Bernoulli, por lo que $X$ sigue una distribución binomial $X \sim B(n,\,,p)$, donde $n=100$ y $p$ es la probabilidad de obtener bola blanca en cualquiera de esas pruebas ( probabilidad de 'éxito' ), que es $\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}$, y $1-p$ la probabilidad de obtener bola negra, que es $\dfrac{2}{5}$. Por otra parte al ser $p=\dfrac{3}{2+3} \succ 0'5$ y $n\,(1-p)=100\cdot \dfrac{2}{5} \succ 5$ podemos aproximar la variable aleatoria binomial discreta $X$ por una variable aleatoria continua, $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$, donde $\mu=np=60\cdot \dfrac{3}{5}=60$ y $\sigma=\sqrt{60\cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}} \approx 4'90$; cosa que es muy conveniente a efectos de cálculo, pues sin la ayuda de un ordenador sería inviable operar con la distribución binomial a la hora de dar una respuesta al segundo apartado.
(a)
Al interesarnos por obtener el mismo número de bolas blancas que de bolas negras ( $50$ para para cada una):
$P\{X=50)\approx P\{50-0'5 \le Y \le 50+0'5\}$ ( haciendo la corrección de continuidad )
= $P\{\dfrac{49'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{50'5-60}{4'90}\}$ ( realizando la tipificación de la variable $Y$, es decir, la transformación: $Y \rightarrow \dfrac{Y-60}{4'90}=Z$, con $Z \sim N(0,1)$ )
= $P\{-2'14 \le Z \le -1'94 \}$ ( operando las abscisas con dos cifras decimales )
= $P\{Z\le -1'94\}-P\{Z\le -2'14\}$
= $P\{Z\ge 1'94\}-P\{Z\ge 2'14\}$
= $(1-P\{Z\le 1'94\})-(1-P\{Z\le 2'14\})$
= $P\{Z\le 2'14\}-P\{Z\le 1'94\}$
= $F(2'14)-F(1'94)$ (consultando las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ )
= $0'9838-0'9738$
= $0'0100$
(b)
$P\{40 \prec X \prec 60) \approx P\{40-0'5 \le Y \le 60+0'5 \}$ ( aproximando $X \sim B(n,p)$ por $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$ y haciendo la corrección de continuidad )
$= P\{\dfrac{39'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{60'5-60}{4'90} \}$ ( tipificando la variable $Y$, donde $Z \sim N(0,1)$ )
$= P\{-4'18 \le Z \le 0'10 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \le -4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \ge 4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-( 1-P\{Z \le 4'18 \})$
$\approx P\{Z \le 0'10 \}-( 1-1)=P\{Z \le 0'10 \}$ ( al ser $P\{Z \le 4'18 \} \approx 1 $ )
$=0'5398$
$\blacksquare$
Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$
Enunciado:
Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$
Dominio de continuidad: $\mathbb{R}$
Raíces de $f$:
$x:f(x)=0$, $x\,e^x=0 \Leftrightarrow x=0$
Ordenada en el origen de $f$:
$f(0)=0$
Extremos relativos de $f$:
$x:f'(x)=0$
$(x+1)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-1$, abscisa que corresponde a un mínimo relativo, pues $f''(x)=(x+2)\,e^x$ y $f''(-1)=\dfrac{1}{e} \succ 0$. La ordenada correspondiente a la abscisa de dicho mínimo es $f(-1)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}$, , luego hay un único mínimo local $M\big(-1\,,\,-\dfrac{1}{e}\big)$ ( es, además, el mínimo absoluto de la función ).
Hay un único intervalo de decrecimiento de $f$:
$(-\infty,-1)$
Hay un único intervalo de crecimiento de $f$:
$(-1,+\infty)$
Puntos de inflexión:
$x:f''(x)=0$
$(x+2)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-2$, con ordenada $f(-2)=-2\,e^{-2}=-\dfrac{2}{e^2}$, luego hay un único punto de inflexión $I\big(-2\,,\,-\dfrac{2}{e^2}\big)$
Hay un único intervalo de concavidad: $(-\infty,-2)$
Hay un único intervalo de convexidad: $(-2,+\infty)$
Tendencia de la función para $x \rightarrow \pm \infty$:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}\,(x+1)\,e^x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}\,(x+1)\,e^x=0$, luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal ( puede comprobarse que no hay otras asíntotas ).
Rango o recorrido de la función $f$: $\text{Rec}_f=(-\dfrac{1}{e},+\infty)\subset \mathbb{R}$ ( el mínimo local que hemos encontrado es, también, el mínimo absoluto de la función ).
$\blacksquare$
Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$
Dominio de continuidad: $\mathbb{R}$
Raíces de $f$:
$x:f(x)=0$, $x\,e^x=0 \Leftrightarrow x=0$
Ordenada en el origen de $f$:
$f(0)=0$
Extremos relativos de $f$:
$x:f'(x)=0$
$(x+1)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-1$, abscisa que corresponde a un mínimo relativo, pues $f''(x)=(x+2)\,e^x$ y $f''(-1)=\dfrac{1}{e} \succ 0$. La ordenada correspondiente a la abscisa de dicho mínimo es $f(-1)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}$, , luego hay un único mínimo local $M\big(-1\,,\,-\dfrac{1}{e}\big)$ ( es, además, el mínimo absoluto de la función ).
Hay un único intervalo de decrecimiento de $f$:
$(-\infty,-1)$
Hay un único intervalo de crecimiento de $f$:
$(-1,+\infty)$
Puntos de inflexión:
$x:f''(x)=0$
$(x+2)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-2$, con ordenada $f(-2)=-2\,e^{-2}=-\dfrac{2}{e^2}$, luego hay un único punto de inflexión $I\big(-2\,,\,-\dfrac{2}{e^2}\big)$
Hay un único intervalo de concavidad: $(-\infty,-2)$
Hay un único intervalo de convexidad: $(-2,+\infty)$
Tendencia de la función para $x \rightarrow \pm \infty$:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}\,(x+1)\,e^x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}\,(x+1)\,e^x=0$, luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal ( puede comprobarse que no hay otras asíntotas ).
Rango o recorrido de la función $f$: $\text{Rec}_f=(-\dfrac{1}{e},+\infty)\subset \mathbb{R}$ ( el mínimo local que hemos encontrado es, también, el mínimo absoluto de la función ).
$\blacksquare$
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.
Enunciado:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.
Resolución:
La ecuación en forma explícita de la recta tangente a la curva dada por $f(x)$ en un punto $P$ de abscisa $x_P$ de su dominio de definición viene dada por $\text{r.t.:}\,y=m_P\,x+k_P \quad (1)$ donde, com es bien conocido, $m_P$ representa la pendiente de dicha recta y $k_P$ la ordenada en el origen.
Procedemos en dos pasos:
(1)
Obtenemos la pendiente $m_P$ teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada de una función en un punto $P$, esto es, $m_P=f'(x_P)$. Como $f'(x)=4\,x^3$ y $f'(-1)=4\,(-1)^3=-4$, entonces $m_P=-4$
(2)
Conociendo ya el valor de la pendiente, obtendremos el valor de la ordenada en el origen $k_P$ teniendo en cuenta que la ordenada de la función $f(x)$ en el punto $P$, $f(x_P)$, debe tener el mismo valor la ordenada de la función que corresponde a la recta tangente en dicho punto, $y_P=m_P\,x_P+k$; por lo tanto, podremos escribir que $f(x_P)=m_P\,x_P+k_P$, ecuación en la que la incógnita es $k_P$. Así, pues, $(-1)^4=-4\cdot (-1)+k_P$, y de aquí, despejando $k_P$ se obtiene: $k_P=1-4=-3$.
Entonces ( de (1) ) podemos escribir la ecuación pedida, que es $\text{r.t.:}\,y=-4\,x-3$
$\blacksquare$
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.
Resolución:
La ecuación en forma explícita de la recta tangente a la curva dada por $f(x)$ en un punto $P$ de abscisa $x_P$ de su dominio de definición viene dada por $\text{r.t.:}\,y=m_P\,x+k_P \quad (1)$ donde, com es bien conocido, $m_P$ representa la pendiente de dicha recta y $k_P$ la ordenada en el origen.
Procedemos en dos pasos:
(1)
Obtenemos la pendiente $m_P$ teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada de una función en un punto $P$, esto es, $m_P=f'(x_P)$. Como $f'(x)=4\,x^3$ y $f'(-1)=4\,(-1)^3=-4$, entonces $m_P=-4$
(2)
Conociendo ya el valor de la pendiente, obtendremos el valor de la ordenada en el origen $k_P$ teniendo en cuenta que la ordenada de la función $f(x)$ en el punto $P$, $f(x_P)$, debe tener el mismo valor la ordenada de la función que corresponde a la recta tangente en dicho punto, $y_P=m_P\,x_P+k$; por lo tanto, podremos escribir que $f(x_P)=m_P\,x_P+k_P$, ecuación en la que la incógnita es $k_P$. Así, pues, $(-1)^4=-4\cdot (-1)+k_P$, y de aquí, despejando $k_P$ se obtiene: $k_P=1-4=-3$.
Entonces ( de (1) ) podemos escribir la ecuación pedida, que es $\text{r.t.:}\,y=-4\,x-3$
$\blacksquare$
Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital
Enunciado:
Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital:
a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}$
Resolución:
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\dfrac{0}{0}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{(x^2-2x+1)'}{(\ln x)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{2x-2}{1/x}=\dfrac{0}{1}=0$
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(3\,x^2)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6x}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( nos encontramos con el mismo tipo de indeterminación )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(6x)'}$ ( volvemos a aplicar la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6}=\dfrac{e^{+\infty}}{6}=\dfrac{+\infty}{6}=+\infty$
$\blacksquare$
Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital:
a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}$
Resolución:
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\dfrac{0}{0}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{(x^2-2x+1)'}{(\ln x)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{2x-2}{1/x}=\dfrac{0}{1}=0$
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(3\,x^2)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6x}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( nos encontramos con el mismo tipo de indeterminación )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(6x)'}$ ( volvemos a aplicar la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6}=\dfrac{e^{+\infty}}{6}=\dfrac{+\infty}{6}=+\infty$
$\blacksquare$
Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.
Enunciado:
Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.
Resolución:
(1)
Las rectas asíntotas verticales vienen dadas de la forma $\text{a.v.:\,x=k}$ donde $k$ representa el valor de las abscisas que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ); en nuestro caso, ésto ocurre para $x=0$, luego encontramos una única asíntota vertical: $\text{a.v.:\,x=0}$
(2)
Las rectas asíntotas oblícuas ( incluimos en ellas a las posibles a. horizontales ) son de la forma $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$ ( ecuación en forma explícita de dichas rectas ). Así, pues, debemos determinar las pendientes y las ordenadas en el origen de dichas rectas ( si dicha función las tiene ). Determinaremos, primero, el valor de $m$, y, a partir de ello, las ordenadas en el origen correspondientes; todo ello, pasando al límite cuando $x \rightarrow \pm \infty$ ( por el significado de contacto asintótico ). Procedamos:
(2.1) Cálculo de $m$:
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)$ o, de manera equivalente, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( por operar a distancia infinita del origen de coordenadas ), definición equivalente que, en este ejercicio, resulta bastante cómodo utilizar por la comodidad de cálculo que representa. Entonces,
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{x^2+1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$, ya que, por ser del mismo grado los polinomios del numerador y del denominador, el resultado del límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado de uno y otro, que son, ambos, iguales a $1$. Notemos que hay una única recta oblícua.
(2.2) Cálculo de $k$:
Conociendo ya el valor de la pendiente, que es $m=1$, podemos, ahora, calcular el valor de la ordenada en el origen $k$. Como continuamos operando a distancia infinita del origen de coordenadas, debemos involucrar el paso al límite en dicho cálculo; así, podemos despejar $k$ de la ecuación de la recta en forma explícita, $y=mx+k$, donde $y$ de dicha recta coincide con $f(x)$, pero, cuidado, pasando al límite a su vez: $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(f(x)-m\,x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{x^2+1}{x}-1\cdot x)$, y, operando obtenemos, $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{1}{x^2})=1/\infty=0$. Así, pues, solamente hay una recta oblícua: $\text{a.o.:}\,y=1\cdot x+0=x$, esto es, la bisectriz del primer y del tercer cuadrantes.
A partir de la información que hemos sacado de (1) y (2) podemos ya dibujar un esquema del trazo de la curva correspondiente a la función dada, que es el siguiente:
$\blacksquare$
Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.
Resolución:
(1)
Las rectas asíntotas verticales vienen dadas de la forma $\text{a.v.:\,x=k}$ donde $k$ representa el valor de las abscisas que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ); en nuestro caso, ésto ocurre para $x=0$, luego encontramos una única asíntota vertical: $\text{a.v.:\,x=0}$
(2)
Las rectas asíntotas oblícuas ( incluimos en ellas a las posibles a. horizontales ) son de la forma $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$ ( ecuación en forma explícita de dichas rectas ). Así, pues, debemos determinar las pendientes y las ordenadas en el origen de dichas rectas ( si dicha función las tiene ). Determinaremos, primero, el valor de $m$, y, a partir de ello, las ordenadas en el origen correspondientes; todo ello, pasando al límite cuando $x \rightarrow \pm \infty$ ( por el significado de contacto asintótico ). Procedamos:
(2.1) Cálculo de $m$:
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)$ o, de manera equivalente, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( por operar a distancia infinita del origen de coordenadas ), definición equivalente que, en este ejercicio, resulta bastante cómodo utilizar por la comodidad de cálculo que representa. Entonces,
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{x^2+1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$, ya que, por ser del mismo grado los polinomios del numerador y del denominador, el resultado del límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado de uno y otro, que son, ambos, iguales a $1$. Notemos que hay una única recta oblícua.
(2.2) Cálculo de $k$:
Conociendo ya el valor de la pendiente, que es $m=1$, podemos, ahora, calcular el valor de la ordenada en el origen $k$. Como continuamos operando a distancia infinita del origen de coordenadas, debemos involucrar el paso al límite en dicho cálculo; así, podemos despejar $k$ de la ecuación de la recta en forma explícita, $y=mx+k$, donde $y$ de dicha recta coincide con $f(x)$, pero, cuidado, pasando al límite a su vez: $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(f(x)-m\,x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{x^2+1}{x}-1\cdot x)$, y, operando obtenemos, $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{1}{x^2})=1/\infty=0$. Así, pues, solamente hay una recta oblícua: $\text{a.o.:}\,y=1\cdot x+0=x$, esto es, la bisectriz del primer y del tercer cuadrantes.
A partir de la información que hemos sacado de (1) y (2) podemos ya dibujar un esquema del trazo de la curva correspondiente a la función dada, que es el siguiente:
$\blacksquare$
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