Una apuesta con criterio

Consideremos un juego de azar en el que la probabilidad de ganar es $\dfrac{1}{3}$. Nos invitan a apostar una cierta cantidad $a$, de manera que, en el caso de que ganemos, nos quedamos con $a+1$ euros; y, en el caso de que perdamos, tenemos que ceder la cantidad apostada y nos quedamos con $-a$ euros. ¿Qué cantidad (entera) $a\ge 1$ máxima deberíamos apostar para que, en el caso de perder, ello no supusiera una ruina catastrófica?

Si bien es más probable perder que ganar, es evidente que si nos arriesgamos podemos ganar. Ahora bien, es necesario ser juicioso a la hora de establecer la cuantía de la apuesta para no abocarnos a una pérdida inasumible.

Denotemos por $a$ la cantidad (en euros) que queremos apostar. Entonces, para que la decisión que tomemos (el valor de lo que queremos apostar) no nos lleve a algo catastrófico (perdamos una cantidad apostada catastrófica), es necesario que la cantidad esperada, $G$, y que es igual la probabilidad de ganar multiplicada por $a+1$ (en el caso de ganar) más la probabilidad de perder multiplicada por la cantidad que tendríamos que ceder, esto es $-a$. Entonces la ganancia esperada es: $$G:=\dfrac{1}{3}\cdot (a+1) + (1-\dfrac{1}{3})\cdot (-a)=\dfrac{1-a}{3}\le 0\quad \text{ya que} \quad a\ge 1$$ Lo razonable sería no aceptar la apuesta, puesto que la ganancia esperada no es positiva. Sin embargo, si a pesar de eso, decidiésemos apostar, démonos cuenta de que si $a=1$ entonces $G=0$ -Comentario: Si estuviese permitido apostar una cantidad nula $a=0$, entonces $G=\dfrac{1}{3}$ (fuese cual fuese el resultado siempre ganaríamos $33$ céntimos de euro), pero eso, obviamente, no está permitido-. Si apostásemos dos euros, $a=2$, entonces $G=-\dfrac{1}{3}$ (esperaríamos perder $33$ céntimos), y para cantidades de apuesta mayores que $2$ euros, la cosa iría de mal en peor. Luego, aún queriendo apostar, considerásemos que una pérdida de $33$ céntimos de euro es asumible (más ya no) -notemos que si, por ejemplo, apostásemos una cantidad considerable, pongamos que $31$ euros, entonces la previsión sería cláramente catastrófica, pues $G=-10$ euros-. Si decidimos aceptar la apuesta, a pesar de que la ganancia esperada no puede ser positiva, no deberíamos apostar (razonablemente) más de $2$ euros en cualquier caso. $\diamond$