a) Calcúlense el dominio de definición y las asíntotas de $f(x)$
b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento
SOLUCIÓN.
a)
Si $x=-1$, se anula el denominador ( y no el numerador ), luego $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, y, además podemos afirmar que la función tiene una asíntota vertical: $\text{a.v.}\equiv x=-1$, puesto que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)=-\infty$
Vaeamos ahora si hay asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$ $$\displaystyle m=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^2}{x^2+2x+1}=1$$ $$\displaystyle k=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,f(x)-1\cdot x = \lim_{x\,\rightarrow\,\pm \infty}\,\dfrac{x^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=-2$$ por tanto $$\text{a.o.}\equiv y=x-2$$
Nota: No hay asíntotas horizantales, pues no hemos encontrado valores nulos para $m$
b)
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, vamos a determinar primero los extremos relativos, pues éstos nos serviran de guía para interpretar el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de cada uno de ellos.
La condición necesaria para que un valor de $x$ corresponda a la abscisa de un extremo relativo es $$f'(x)=0$$ y puede comprobarse -- por economía de espacio, omito aquí los cálculos -- que $$f'(x)=\dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}$$ así que $$\dfrac{x^2\,(x+3)}{(x+1)^2}=0 \Leftrightarrow x^2\,(x+3)=0 \Rightarrow x^{*}=\left\{\begin{matrix}-3 \\ 0\end{matrix}\right.$$
Veamos a qué tipo de extremo relativo corresponde cada una de las abscisas calculadas. Emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en esos puntos. Calculando la función segunda derivada, encontramos $$f''(x)=\dfrac{6x}{(x+1)^4}$$ Así pues, como $f(-3)\prec 0$, deducimos que $x^{*}=-3$ es la abscisa de un máximo local. Por otra parte $f''(0)=0$ y por tanto el criterio referido no nos permite decidir la naturaleza del extremo relativo en $x* =0$, por lo que recurrimos a calcular el signo de la primera derivada a ambos lados ( en puntos cercanos ) de dicha abscisa, $f'(0^{-})$ y $f'(0^+)$; así, encontramos que, por ejemplo en $x=-1/2 \prec 0$, $f'(-1/2) \succ 0$, y a la derecha de $x^*=0$, pongamos que en $x=1$ ( $1 \succ 0$ ), $f'(1) \succ 0$; ésto es, el signo de la primera derivada no cambia, luego deducimos que la función es creciente a ambos lados de $x^*=0$, por lo que sólo puede tratarse de un punto de inflexión con derivada primera nula.
De todo ello se desprende que la función es creciente en los siguientes intervalos: $I_{1}^{\uparrow}=(-\infty\,,\,3)$ y $I_{3}^{\uparrow}=(-1\,,\,+\infty)$, y es decreciente en el intervalo $I_{3}^{\downarrow}=(-3\,,\,-1)$
Nota. Aunque no se pida, es ilustrativo bosquejar la gráfica de la función, tal como aparece en la siguiente figura:
$\square$
