Tarea de progresión número 1 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre

Ejercicio número 19, apartado (b), de la página 24 del libro base

ENUNCIADO. Clasifica y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss
$$\left\{ \begin{matrix}x&&&+&z&=&3 \\ x&+&y&&&=&3\\ x&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
$\left\{ \begin{matrix}x&&&+&z&=&3 \\ x&+&y&&&=&3\\ x&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right. \overset{e_1 \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0\\ x&+&y&&&=&3\\ x&&&+&z&=&3 \end{matrix}\right.$

$\begin{matrix} \\ (-1)\cdot e_1+e_2 \rightarrow e_2 \\ (-1)\cdot e_1+e_3 \rightarrow e_3\end{matrix} \quad \left\{ \begin{matrix}x&&&+&z&=&3 \\ &&&&-z&=&3\\ &&-y&&&=&-3\end{matrix}\right.$

Llegados a este punto es claro que las tres ecuaciones del sistema equivalente son independientes ( el rango del sistema es $3$ ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

Procedemos a encontrar la solución. De la tercera ecuación se obtiene fácilmente $z=-3$; y, de la segund, $y=-3$. Y sustituyendo estos dos resultados en la primera se llega a $x-3-3=0$ y por tanto $z=6$
$\square$