Ejercicio A.4 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A|B)=\dfrac{1}{4}$, $P(B)=\dfrac{1}{6}$ y $P(A)=\dfrac{2}{3}$, Calcúlese:
a) $P(A \cup \bar{B})$
b) $P\left( (\bar{A} \cap B) \cup ( \bar{B} \cap A)\right)$
SOLUCIÓN.
a)
$P(A \cup \bar{B})=P(A)+P(\bar{B})-P(A\cap\bar{B})=$
  $=P(A)+(1-P(B))-(P(A)-P(A\cap{B}))$
    $=1-P(B)+P(A\cap B)$
      $=1-P(B)+P(A|B) \cdot P(B)$
        $=1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{6}$
          $=\dfrac{7}{8}$

b)
$P\left( (\bar{A} \cap B) \cup ( \bar{B} \cap A)\right)=$
  $=P(A\cup B) - P(A\cap B)$
    $=\left( P(A)+P(B)-P(A\cap B)\right) - P(A\cap B)$
      $=P(A)+P(B)-2\,P(A\cap B)$
        $=P(A)+P(B)-2\,P(A|B)\cdot P(B)$
          $=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}-2\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{6}$
            $=\dfrac{3}{4}$

$\square$