Ejercicio B.1 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependendite del parámetro $a\in \mathbb{R}$:
$$\left\{\begin{matrix}x&-&a\,y&&&=&1 \\ ax&-&4y&-&z&=&2 \\ 2x&+&ay&-&z&=&a-4 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$
b) Resuélvase el sistema para $a:=3$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz de los coeficientes, ampliada con los términos independientes es $$(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&-a&0&1 \\ a&-4&-1&2 \\ 2&a&-1&a-4\end{array}\right)$$ Procedemos al estudio de su rango. Observemos que el determinante de la submatriz formada por las elementos de las dos primeras filas y de la tercera y cuarta columna es distinto de cero $$\begin{vmatrix}0&1\\-1&2\end{vmatrix}=1\neq 0 \Rightarrow \text{rango}(A|b) \ge 2$$
Orlando dicha submatriz se obtienen dos submatrices de orden $3$:
$$\begin{vmatrix}1&0&1\\a&-1&2\\2&-1&a-4\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a=4$$
$$\begin{vmatrix}-a&0&1\\-4&-1&2\\a&-1&a-4\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a=\left\{\begin{matrix}1\\ \\ 4\end{matrix}\right.$$ De lo cual se desprende que si $a:=4$, entonces $\text{rango}(A|b)=2$, y si $a\neq4$, $\text{rango}(A|b)=3$

-oOo- Estudiemos ahora el rango de la matriz de los coeficientes $A=\left(\begin{array}{ccc}1&-a&0 \\ a&-4&-1 \\ 2&a&-1\end{array}\right)$
Observemos que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1&-a&0 \\ a&-4&-1 \\ 2&a&-1\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\ 4\end{matrix}\right.$
Por consiguiente, si $a:=4$, $\text{rango}(A)\prec 3$, y como uno de los menores complementarios de orden $2$, $\begin{vmatrix}1&-4\\4&-4\end{vmatrix}=12$, es distinto de $0$, se desprende de ello que, para dicho valor de $a$, $\text{rango}(A)=2$

-oOo-
Así, estamos ya en condiciones de concluir el análisis, teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Fröbenius. Distinguiremos entre los siguientes casos:

I) Si $a:=-1$, $\text{rango}(A)=2\neq\text{rango}(A|b)=3$, por consiguiente el sistema es incompatible

II) Si $a:=4$, $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=2\prec n=3$ ( $n$ representa el número de incógnitas ), luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales

III) Si $a \notin \{-1,4\}, r\overset{.}{=} \text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=3=n$, con lo cual el sistema es compatible determinado


b)
Para $a:=3$, nos encontramos en el caso (III), el sistema es compatible determinado ( existe un único valor para cada incógnita ). Procedamos a resolver el sistema en estas condiciones:
$\left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&&&=&1 \\ 3x&-&4y&-&z&=&2 \\ 2x&+&3y&-&z&=&-1 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}-z&+&3\,y&+&2x&=&-1 \\ -z&-&4y&+&3x&=&2 \\ &&-3y&+&x&=&1\end{matrix}\right.$
Restando la segunda ecuación de la primera y substituyendo la segunda ecuación original por la ecuación resultante, obtenemos el sistema equivalente:
$\left\{\begin{matrix}-z&+&3\,y&+&2x&=&-1 \\ &&-7y&-&x&=&-3 \\ &&-3y&+&x&=&1\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}-z&+&2x&+&3y&=&-1 \\ &&-x&+&7y&=&-3 \\ &&x&-&3y&=&1\end{matrix}\right.$
Sumando la segunda ecuación a la tercera y substituyendo la tercera ecuación de partida por la ecuación resultante, obtenemos el sistema equivalente escalonado:
$$\left\{\begin{matrix}-z&+&2x&+&3y&=&-1 \\ &&-x&+&7y&=&-3 \\ &&&&4y&=&-2\end{matrix}\right.$$ De la última ecuación se obtiene el valor de la tercera incógnita: $y=-\dfrac{1}{2}$; susbstituyendo ése resultado en la segunda ecuación, se llega a $x=-\dfrac{1}{2}$; y, poniendo estos dos resultados en el lugar de las respectivas variables en la primera ecuación obtenemos $z=-\dfrac{3}{2}$
$\square$