Ejercicio B.4 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. En un instituto se decide que los alumnos y alumnas sólo pueden utilizar un único color (azul o negro) al realizar los exámenes. Dos de cada tres exámenes están escritos en azul. La probabilidad de que un examen escrito en azul sea de una alumna es de $0,7$. La probabilidad de que un examen esté escrito en negro y sea de un alumno es $0,2$. Supóngase que se elige un examen al azar. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Sea el examen de un alumno
b) Sabiendo que está escrito en negro, sea de un alumno

SOLUCIÓN.
Denotemos por $V$ al suceso "el examen está escrito por un alumno"; por $F$, al suceso "el examen está escrito por una alumna"; por $N$ al suceso "el examen está escrito en negro", y por $A$ al suceso "el examen está escrito en azul".

Según los datos del enunciado: $P(A)=\dfrac{2}{3}$; $P(F|A)=0,7$ y $P(V\cap N)=0,2$
a)
Podemos escribir que
$P(V)=P\left(( V \cap A) \cup ( V \cap N)\right)$ y como los dos sucesos de la unión son incompatible, tenemos que
  $P(V)=P(V \cap A)+P(V \cap N)$
    $P(V)=P(V|A)\cdot P(A)+P(V \cap N)$
      $P(V)=P(\bar{F}|A)\cdot P(A)+P(V \cap N)$ ( teorema de la probabilidad total )
        $P(V)=\left(1-P(F|A)\right)\cdot P(A)+P(V \cap N)$
          $P(V)=(1-0,7)\cdot \dfrac{2}{3}+0,2$
            $P(V)=0,3\cdot \dfrac{2}{3}+0,2$
              $P(V)=\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{10}$
                $P(V)=2\cdot\dfrac{2}{10}$
                  $P(V)=\dfrac{2}{5}$

b)
$P(V|N)=\dfrac{P(V\cap N)}{P(N)}$ ( por definición de la probabilidad condicionada; en este caso, del suceso $V$ por el suceso $N$ )
    $P(V|N)=\dfrac{P(V\cap N)}{P(\bar{A})}$
      $P(V|N)=\dfrac{P(V\cap N)}{1-P(A)}$ ( propiedad de la probabilidad del suceso contrario, el del denominador )
        $P(V|N)=\dfrac{0,2}{1-0,7}$
          $P(V|N)=\dfrac{2/10}{3/10}$
            $P(V|N)=\dfrac{2}{3}$

$\square$