TEOREMAS BÁSICOS SOBRE CONTINUIDAD
Teorema de Weierstrass. Una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces dicha función está acotada y alcanza la menor de las cotas superiores ( supremo ) y la mayor de las cotas inferiores ( ínfimo ) dentro del mismo, es decir, alcanza los valores máximo y mínimo en puntos de dicho intervalo.
Nota: Por máximo y mínimo no debe entenderse necesariamente que éstos sean máximos y mínimos relativos.
Teorema de Bolzano. Sea una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado, y tal que en sus extremos los valores de función son de signos opuestos, entonces existe por lo menos una raíz de la función que pertenece a dicho intervalo.
Corolario (Teorema de los valores intermedios)
Con las premisas del teorema de Bolzano, se tiene que para cualquier $f(a) \le k \le f(b)$ existe al menos un valor $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=k$
TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN CIERTO INTERVALO
Teorema de Rolle. Sea una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces, si $f(a)=f(b)$ existe por lo menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.
Teorema del valor medio ( o de Lagrange ). Sea una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, esto es, $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Teorema de Cauchy. Sean dos funciones reales de variable real, $f$ y $g$, continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
Observación. Una consecuencia de este teorema es la regla de L'Hôpital, muy útil para trabajar con indeterminaciones en el cálculo de límites:
i) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=0$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$
ii) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\infty$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$
$\square$
miércoles, 22 de abril de 2015
Derivada de la función recíproca de una función biyectiva
Si una función $f$ es biyectiva, existe una función $f^{-1}$ ( f. recíproca de $f$ ) tal que $f\circ f^{-1} f^{-1}\circ f=id$, esto es $f^{-1}(f(x))=x$, $x \in D_f$. Derivando en los dos miembros de esa igualdad,
$$\left(f^{-1}(f(x)\right)\,f'(x)=(x)'$$
es decir
$$\left(f^{-1}(f(x)\right)\,f'(x)=1$$
despejando obtenemos
$$\left(f^{-1}(f(x))\right)'=\dfrac{1}{f'(x)}$$
y también
$$f'(x)=\dfrac{1}{\left(f^{-1}(f(x))\right)'}$$
EJEMPLO 1:
Sea la función biyectiva $f(x)=\sqrt[3]{x}$, ¿ cuál es la función derivada de dicha función ?
SOLUCIÓN. La función recíproca de $f$ es $f^{-1}(x)=x^3$, entonces $$f'(x)=\dfrac{1}{\left(f^{-1}(f(x))\right)'}=\dfrac{1}{3\,(f(x))^2}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}=\dfrac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}}$$
Nota. Estos dos resultados, suelen expresarse con una notación más sucinta de la siguiente forma: $x'_y=1/y'_x$ e $y'_x=1/x'_y$. Así, con esta notación, resolveríamos el ejercicio anterior de la siguiente forma. Como la función dada es $y_x=\sqrt[3]{x}$, la función recíproca puede expresarse como $x_y=y^3$; derivándola ( respecto de $y$, que hace, ahora, de variable independiente ), obtenemos $x'_y=\dfrac{1}{3\,y_{x}^{2}}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}=\dfrac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}}$
EJEMPLO 2:
Sea la función biyectiva $y=\ln(x)$. Calcular la función derivada de $f$ sabiendo que la derivada de la función exponencial $y=e^x$ es $y_{x}'=e^x$.
SOLUCIÓN. La función recíproca de la función $y=\ln{x}$ es $x=e^y$, cuya derivada es $x'_y=e^y$. Y como $y'_x=1/x'_y$, obtenemos $y'_x=1/e^y$; ahora bien, $e^y=e^{\ln{x}}=x$, luego $y'_x=1/x$, esto es $(f^{-1})'=\dfrac{1}{x}$
$\square$
$$\left(f^{-1}(f(x)\right)\,f'(x)=(x)'$$
es decir
$$\left(f^{-1}(f(x)\right)\,f'(x)=1$$
despejando obtenemos
$$\left(f^{-1}(f(x))\right)'=\dfrac{1}{f'(x)}$$
y también
$$f'(x)=\dfrac{1}{\left(f^{-1}(f(x))\right)'}$$
EJEMPLO 1:
Sea la función biyectiva $f(x)=\sqrt[3]{x}$, ¿ cuál es la función derivada de dicha función ?
SOLUCIÓN. La función recíproca de $f$ es $f^{-1}(x)=x^3$, entonces $$f'(x)=\dfrac{1}{\left(f^{-1}(f(x))\right)'}=\dfrac{1}{3\,(f(x))^2}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}=\dfrac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}}$$
Nota. Estos dos resultados, suelen expresarse con una notación más sucinta de la siguiente forma: $x'_y=1/y'_x$ e $y'_x=1/x'_y$. Así, con esta notación, resolveríamos el ejercicio anterior de la siguiente forma. Como la función dada es $y_x=\sqrt[3]{x}$, la función recíproca puede expresarse como $x_y=y^3$; derivándola ( respecto de $y$, que hace, ahora, de variable independiente ), obtenemos $x'_y=\dfrac{1}{3\,y_{x}^{2}}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}=\dfrac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}}$
EJEMPLO 2:
Sea la función biyectiva $y=\ln(x)$. Calcular la función derivada de $f$ sabiendo que la derivada de la función exponencial $y=e^x$ es $y_{x}'=e^x$.
SOLUCIÓN. La función recíproca de la función $y=\ln{x}$ es $x=e^y$, cuya derivada es $x'_y=e^y$. Y como $y'_x=1/x'_y$, obtenemos $y'_x=1/e^y$; ahora bien, $e^y=e^{\ln{x}}=x$, luego $y'_x=1/x$, esto es $(f^{-1})'=\dfrac{1}{x}$
$\square$
domingo, 19 de abril de 2015
martes, 14 de abril de 2015
Clasificación de puntos de discontinuidad de funciones reales de variable real
Esquema de clasificación de los posibles puntos de discontinuidad de una función real de variable real:
Nota: Hay bastantes ejemplos de cada tipo en este artículo de Wikipedia
- discontinuidad evitable: existe el límite de la función cuando la variable independiente tiene hacia la abscisa de dicho punto, pero el valor de dicho límite no coincide con el valor de función en dicho punto. Redefiniendo la función evitamos la discontinuidad ( de ahí su nombre ).
- discontinuidad no evitable ( o discontinuidad esencial ):
- discontinuidad de primera especie:
- discontinuidad de salto finito
- discontinuidad de salto infinito
- discontinuidad asintótica
- discontinuidad de salto finito
- discontinuidad de segunda especie: la función no está definida en alguno de los dos lados del punto, o bien no existe alguno de los dos límites laterales
- discontinuidad de primera especie:
Nota: Hay bastantes ejemplos de cada tipo en este artículo de Wikipedia
miércoles, 8 de abril de 2015
Basándose en anteriores comicios, un analista sostiene que ...
ENUNCIADO:
Basándose en anteriores comicios, un analista sostiene que si se celebrasen elecciones en este momento tan solo acudiría a votar el $48\,\%$ del censo electoral. Para apoyar o no esa afirmación, se realiza una encuesta preguntando si se tiene o no intención de votar; para ello se elige una muestra aleatoria simple de tamaño $n=1500$ y se observa que $800$ de las personas encuestadas responden afirmativamente. Plantear un contraste de hipótesis, a un nivel de significación del $5\,\%$. ¿ Está en lo cierto el analista, de acuerdo con el resultado del contraste realizado ?.
SOLUCIÓN:
El estadístico ( estimador ), $\hat{P}$, de la proporción $p$ ( electores dispuestos a votar ) de la población tiene una distribución ( Teorema Central del Límite ) que es $N\left(p,\sigma(\hat{P})\right)$, donde $\sigma(\hat{P})=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
Con dicho estadístico procederemos a realizar el contraste de hipótesis bilateral, al $5\,\%$ de nivel de significación:
$$ \left\{\begin{matrix}
H_0: & p=p_0:=0'48 \\
H_1: & p \neq 0'48 \\
\end{matrix}\right.$$
El intervalo de confianza expresado en la variable tipificada, $Z$ ( del estadístico $\hat{P}$ ) es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$, y teniendo en cuenta que $Z=\dfrac{\hat{P}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}$, el intervalo de aceptación de $H_0$ con respecto a la variable del estimador $\hat{P}$ es
$$I^{*}=\left(p_0-E\,,\,p_0+E\right)$$
donde el error en la estimación de $p$ ( o semiamplitud del intervalo de confianza de $p$ ) es $E=z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\hat{P})$, esto es, suponiendo cierta $H_0$ ( $p=p_0$ ), dicho error es
$$E=z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}$$
Con el fin de calcularlo, obtenemos la abscisa del punto crítico $z_{\alpha/2}$; siendo $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$, y consultando las tablas de la función de distribución de $Z$, resulta ser igual a $1'96$.
Así,
$$E=1'96\cdot \sqrt{\dfrac{0'48\cdot(1-0'48)}{1500}} \approx 0'03$$
con lo cual, el intervalo de aceptación de la hipótesis fundamental es
$I^{*}=(0'48-003\,,\,0'48+0,03)$
$=(0'45\,,\,0'51)$
Ahora bien, el valor observado, $\hat{p}$, de la proporción en la muestra es $\dfrac{800}{1500}=0'53 \notin I^{*}$, luego de acuerdo con el criterio del contraste deberemos rechazar $H_0$ y concluir que la afirmación del analista no es aceptable. $\square$
Basándose en anteriores comicios, un analista sostiene que si se celebrasen elecciones en este momento tan solo acudiría a votar el $48\,\%$ del censo electoral. Para apoyar o no esa afirmación, se realiza una encuesta preguntando si se tiene o no intención de votar; para ello se elige una muestra aleatoria simple de tamaño $n=1500$ y se observa que $800$ de las personas encuestadas responden afirmativamente. Plantear un contraste de hipótesis, a un nivel de significación del $5\,\%$. ¿ Está en lo cierto el analista, de acuerdo con el resultado del contraste realizado ?.
SOLUCIÓN:
El estadístico ( estimador ), $\hat{P}$, de la proporción $p$ ( electores dispuestos a votar ) de la población tiene una distribución ( Teorema Central del Límite ) que es $N\left(p,\sigma(\hat{P})\right)$, donde $\sigma(\hat{P})=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
Con dicho estadístico procederemos a realizar el contraste de hipótesis bilateral, al $5\,\%$ de nivel de significación:
$$ \left\{\begin{matrix}
H_0: & p=p_0:=0'48 \\
H_1: & p \neq 0'48 \\
\end{matrix}\right.$$
El intervalo de confianza expresado en la variable tipificada, $Z$ ( del estadístico $\hat{P}$ ) es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$, y teniendo en cuenta que $Z=\dfrac{\hat{P}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}$, el intervalo de aceptación de $H_0$ con respecto a la variable del estimador $\hat{P}$ es
$$I^{*}=\left(p_0-E\,,\,p_0+E\right)$$
donde el error en la estimación de $p$ ( o semiamplitud del intervalo de confianza de $p$ ) es $E=z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\hat{P})$, esto es, suponiendo cierta $H_0$ ( $p=p_0$ ), dicho error es
$$E=z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}$$
Con el fin de calcularlo, obtenemos la abscisa del punto crítico $z_{\alpha/2}$; siendo $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$, y consultando las tablas de la función de distribución de $Z$, resulta ser igual a $1'96$.
Así,
$$E=1'96\cdot \sqrt{\dfrac{0'48\cdot(1-0'48)}{1500}} \approx 0'03$$
con lo cual, el intervalo de aceptación de la hipótesis fundamental es
$I^{*}=(0'48-003\,,\,0'48+0,03)$
$=(0'45\,,\,0'51)$
Ahora bien, el valor observado, $\hat{p}$, de la proporción en la muestra es $\dfrac{800}{1500}=0'53 \notin I^{*}$, luego de acuerdo con el criterio del contraste deberemos rechazar $H_0$ y concluir que la afirmación del analista no es aceptable. $\square$
Se considera que el tiempo de reacción de los conductores ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal ...
ENUNCIADO:
Se considera que el tiempo de reacción de los conductores ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal, con desviación estándar $\sigma=0'05$ segundos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n$. Si, con esa muestra, se quiere conseguir que el error en la estimación de la media de la población no supere los $0'01$ segundos, con un nivel de confianza del $99\,\%$, ¿ cuál debe ser el valor mínimo de $n$ ?.
SOLUCIÓN:
De acuerdo con el Teorema Central del Límite, el estadístico ( estimador ) de la media $\mu$ del tiempo de reacción de la población sigue una distribución $N\left(\mu,\sigma(\bar{x}\right)$, donde la desviación estándar del estimador en el muestro es $\sigma(\bar{x})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Con dicho estadístico podemos construir el intervalo de confianza al $99\,\%$. Expresado en función de la variable tipificada, $Z$, es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$; y teniendo en cuenta que $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$, el intervalo de aceptación de $H_0$ con respecto a la variable del estimador $\bar{x}$ de $\mu$ es $I^{*}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, siendo $E$ el error en la estimación, que es igual a $z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\bar{x})$, esto es, $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}$ es la abscisa del punto crítico ( en la variable tipificada $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$, que es $N(0,1)$. Teniendo en cuenta que $\alpha=1-0'99=0'01$, consultando las tablas de la función distribución de $Z$ encontramos $P\lbrace \le z_{0'01/2}\rbrace = 1- 0'01/2 = 0'995$, con lo cual $z_{0'01/2} \approx 2'57$. Así, la expresión del error, $E$, es $2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}}$. Y de acuerdo con la condición del enunciado, $2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}} \le 0'01$; y elevando al cuadrado sendos miembros de la desigualdad y despejando $n$, llegamos a la siguiente desigualdad equivalente, $ n \ge \left(\dfrac{2'57\cdot 0'05}{0'11} \right)^2 \approx 165$. $\square$
Se considera que el tiempo de reacción de los conductores ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal, con desviación estándar $\sigma=0'05$ segundos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n$. Si, con esa muestra, se quiere conseguir que el error en la estimación de la media de la población no supere los $0'01$ segundos, con un nivel de confianza del $99\,\%$, ¿ cuál debe ser el valor mínimo de $n$ ?.
SOLUCIÓN:
De acuerdo con el Teorema Central del Límite, el estadístico ( estimador ) de la media $\mu$ del tiempo de reacción de la población sigue una distribución $N\left(\mu,\sigma(\bar{x}\right)$, donde la desviación estándar del estimador en el muestro es $\sigma(\bar{x})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Con dicho estadístico podemos construir el intervalo de confianza al $99\,\%$. Expresado en función de la variable tipificada, $Z$, es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$; y teniendo en cuenta que $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$, el intervalo de aceptación de $H_0$ con respecto a la variable del estimador $\bar{x}$ de $\mu$ es $I^{*}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, siendo $E$ el error en la estimación, que es igual a $z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\bar{x})$, esto es, $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}$ es la abscisa del punto crítico ( en la variable tipificada $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$, que es $N(0,1)$. Teniendo en cuenta que $\alpha=1-0'99=0'01$, consultando las tablas de la función distribución de $Z$ encontramos $P\lbrace \le z_{0'01/2}\rbrace = 1- 0'01/2 = 0'995$, con lo cual $z_{0'01/2} \approx 2'57$. Así, la expresión del error, $E$, es $2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}}$. Y de acuerdo con la condición del enunciado, $2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}} \le 0'01$; y elevando al cuadrado sendos miembros de la desigualdad y despejando $n$, llegamos a la siguiente desigualdad equivalente, $ n \ge \left(\dfrac{2'57\cdot 0'05}{0'11} \right)^2 \approx 165$. $\square$
La duración en el tiempo ( medida en horas ) de un determinado tipo de dispositivos ...
ENUNCIADO:
La duración en el tiempo ( medida en horas ) de un determinado tipo de dispositivos se distribuye de acuerdo al modelo normal, con una desviación estándar $\sigma$ desconocida. Se ha seleccionado una muestra de tamaño $n=16$ y se ha observado que la duración media en la misma es $\bar{x}=735$ horas, con desviación estándar de $12$ horas. Hallar el intervalo de confianza para la vida media de la población, $\mu$, al $95\,\%$ de confianza. ¿ Se puede aceptar afirmar que la media de la población es de $742$ horas, con un nivel de significación $\alpha=0'05$ ?.
SOLUCIÓN:
A pesar de tratar aquí con una muestra pequeña ( $n=16$ ), se nos informa que la variable de la característica en estudio es normal en la población, por lo que según el Teorema Central del Límite, el estadístico ( estimador ) de la media $\mu$ de la duración de dichos dispositivos sigue una distribución $N\left(\mu,\sigma(\bar{x}\right)$, donde la desviación estándar del estimador en el muestro es $\sigma(\bar{x})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Ahora bien, al desconocer la desviación estándar de la población $\sigma$, vamos a aproximar dicho parámetro -- otra vez, por ser normal la variable de la característica en estudio en la población -- por la cuasidesviación estándar de la muestra, $\hat{s}$. Como conocemos el valor de la desviación estándar de la muestra ( $s=12$ ), y mediante la relación $$\dfrac{\hat{s}}{s}=\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}$$
Así,
$$\dfrac{\hat{s}}{12}=\sqrt{\dfrac{16}{16-1}}$$
con lo cual
$$\hat{s}=12\,\sqrt{\dfrac{16}{16-1}} \approx 12'39$$
con ello, se puede decir que el estadístico estimador $\bar{x}$ de $\mu$ sigue -- con suficiente aproximación -- la distribución $N(\mu, \dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}})$
Mediante la transformación para tipificar la variable aleatoria de dicho estadístico
$$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}} \; \text{( que es}\, N(0,1) \text{)}$$ podemos construir el intervalo de confianza al $99\,\%$, que es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$, donde $z_{\alpha/2}$ es la abscisa del punto crítico, que encontramos en las tablas de la función de distribución $F(z)$.
Deshaciendo ahora la transformación $$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}}$$ vemos que el intervalo de confianza de $\mu$ es $I^{*}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, siendo $E$ el error en la estimación, que es igual a $z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\bar{x})$, esto es, $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Procedemos a calcular los valores concretos del intervalo de confianza. Como $\alpha=1-0'99=0'01$, al consultar las tablas de la función distribución de $Z$ encontramos $P\lbrace \le z_{0'05/2}\rbrace = 1- 0'05/2 = 0'975$, con lo cual $z_{0'01/2} \approx 1'96$. Así, pues, la expresión del error, $E$, es $1'96 \cdot \dfrac{12'39}{\sqrt{16}} \approx 6'07$ horas. Por consiguiente, $I^{*}=(735-6'07\,,\,735+6'07)$, esto es, $I^{*}=(729\,,\,741)$, donde se han aproximado los extremos al dígito de las unidades.
Finalmente, vamos a dar respuesta a la pregunta de si puede aceptarse o no el enunciado: "la media es $742$ horas" a nivel de significación ( riesgo ) del $5\,\%$, es decir con un nivel de confianza del $95\,\%$. Para ello, entendemos el intervalo de confianza de la media, $\mu$, como el intervalo de aceptación del test bilateral que se plantea al confrontar la hipótesis nula ( fundamental ) $H_0$: $\mu=\mu_0$, que corresponde a dicho enunciado; siendo la hipótesis alternativa, $H_1$, la que viene dada por $\mu \neq \mu_0 $. Como el valor postulado para la media, $\mu_0 = 742$ horas, no pertenece al intervalo de aceptación de la hipótesis nula ( intervalo de confianza $I^{*}$ ) -- esto es, $742 \notin (729\,,\,741)$ --, debemos rechazar la hipótesis nula y, aceptando por tanto la alternativa, concluir que dicha afirmación no es aceptable, de acuerdo con el test realizado. $\square$
- - -
Referencias:
[1] Compta, A., et. al., Matemàtiques II, Barcanova, Barcelona, 1993
[2] Guàrdia, J.; Viader, M., Estadística, Castellnou, Barcelona, 1999
[3] García Pérez, A., Estadística Básica con R, UNED, Madrid, 2010
[4] Allepús, J., et. al., Exercicis d'inferència estadística, Cossetània, Valls, 2002
[5] Gonick, L.; Smith, W, La Estadística en Cómic, Zendrera Zariquiey, Barcelona, 1999
La duración en el tiempo ( medida en horas ) de un determinado tipo de dispositivos se distribuye de acuerdo al modelo normal, con una desviación estándar $\sigma$ desconocida. Se ha seleccionado una muestra de tamaño $n=16$ y se ha observado que la duración media en la misma es $\bar{x}=735$ horas, con desviación estándar de $12$ horas. Hallar el intervalo de confianza para la vida media de la población, $\mu$, al $95\,\%$ de confianza. ¿ Se puede aceptar afirmar que la media de la población es de $742$ horas, con un nivel de significación $\alpha=0'05$ ?.
SOLUCIÓN:
A pesar de tratar aquí con una muestra pequeña ( $n=16$ ), se nos informa que la variable de la característica en estudio es normal en la población, por lo que según el Teorema Central del Límite, el estadístico ( estimador ) de la media $\mu$ de la duración de dichos dispositivos sigue una distribución $N\left(\mu,\sigma(\bar{x}\right)$, donde la desviación estándar del estimador en el muestro es $\sigma(\bar{x})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Ahora bien, al desconocer la desviación estándar de la población $\sigma$, vamos a aproximar dicho parámetro -- otra vez, por ser normal la variable de la característica en estudio en la población -- por la cuasidesviación estándar de la muestra, $\hat{s}$. Como conocemos el valor de la desviación estándar de la muestra ( $s=12$ ), y mediante la relación $$\dfrac{\hat{s}}{s}=\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}$$
Así,
$$\dfrac{\hat{s}}{12}=\sqrt{\dfrac{16}{16-1}}$$
con lo cual
$$\hat{s}=12\,\sqrt{\dfrac{16}{16-1}} \approx 12'39$$
con ello, se puede decir que el estadístico estimador $\bar{x}$ de $\mu$ sigue -- con suficiente aproximación -- la distribución $N(\mu, \dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}})$
Mediante la transformación para tipificar la variable aleatoria de dicho estadístico
$$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}} \; \text{( que es}\, N(0,1) \text{)}$$ podemos construir el intervalo de confianza al $99\,\%$, que es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$, donde $z_{\alpha/2}$ es la abscisa del punto crítico, que encontramos en las tablas de la función de distribución $F(z)$.
Deshaciendo ahora la transformación $$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}}$$ vemos que el intervalo de confianza de $\mu$ es $I^{*}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, siendo $E$ el error en la estimación, que es igual a $z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\bar{x})$, esto es, $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Procedemos a calcular los valores concretos del intervalo de confianza. Como $\alpha=1-0'99=0'01$, al consultar las tablas de la función distribución de $Z$ encontramos $P\lbrace \le z_{0'05/2}\rbrace = 1- 0'05/2 = 0'975$, con lo cual $z_{0'01/2} \approx 1'96$. Así, pues, la expresión del error, $E$, es $1'96 \cdot \dfrac{12'39}{\sqrt{16}} \approx 6'07$ horas. Por consiguiente, $I^{*}=(735-6'07\,,\,735+6'07)$, esto es, $I^{*}=(729\,,\,741)$, donde se han aproximado los extremos al dígito de las unidades.
Finalmente, vamos a dar respuesta a la pregunta de si puede aceptarse o no el enunciado: "la media es $742$ horas" a nivel de significación ( riesgo ) del $5\,\%$, es decir con un nivel de confianza del $95\,\%$. Para ello, entendemos el intervalo de confianza de la media, $\mu$, como el intervalo de aceptación del test bilateral que se plantea al confrontar la hipótesis nula ( fundamental ) $H_0$: $\mu=\mu_0$, que corresponde a dicho enunciado; siendo la hipótesis alternativa, $H_1$, la que viene dada por $\mu \neq \mu_0 $. Como el valor postulado para la media, $\mu_0 = 742$ horas, no pertenece al intervalo de aceptación de la hipótesis nula ( intervalo de confianza $I^{*}$ ) -- esto es, $742 \notin (729\,,\,741)$ --, debemos rechazar la hipótesis nula y, aceptando por tanto la alternativa, concluir que dicha afirmación no es aceptable, de acuerdo con el test realizado. $\square$
Referencias:
[1] Compta, A., et. al., Matemàtiques II, Barcanova, Barcelona, 1993
[2] Guàrdia, J.; Viader, M., Estadística, Castellnou, Barcelona, 1999
[3] García Pérez, A., Estadística Básica con R, UNED, Madrid, 2010
[4] Allepús, J., et. al., Exercicis d'inferència estadística, Cossetània, Valls, 2002
[5] Gonick, L.; Smith, W, La Estadística en Cómic, Zendrera Zariquiey, Barcelona, 1999
sábado, 4 de abril de 2015
Dos personas, $A$ y $B$, juegan a cara o cruz con una moneda ...
ENUNCIADO:
Dos personas, $A$ y $B$, juegan a cara o cruz con una moneda. Al cabo de $100$ partidas, el jugador $A$, que eligió cara, ha ganado $62$ veces, por lo cual el jugador $B$ afirma que la moneda está trucada, que la probabilidad que aparezca cara al lanzarla una vez es superior a $\dfrac{1}{2}$ y que, por lo menos, es igual a $\dfrac{2}{3}$. El jugador $A$ sostiene que la moneda no está trucada. Nos preguntamos quién tiene razón. Por ello, se pide:
a) Plantear un contraste de hipótesis para dilucidar -- desde el punto de vista estadístico -- esta cuestión, a un nivel de significación $\alpha=0'05$
b) Calcular el error de tipo II, $\beta$
c) Calcular la potencia del test
SOLUCIÓN:
a)
Utilizaremos el siguiente contraste unilateral, con intervalo de aceptación, $I_0$ de $H_0$ a la izquierda ( e intervalo de rechazo de $H_0$, $I_a$, y por tanto de aceptación de $H_a$, a la derecha ):
Hipótesis fundamental: $H_0:\, p=\dfrac{1}{2}$
Hipótesis alternativa: $H_a:\, p \succ \dfrac{1}{2}$
-oOo- INDICACIÓN PRELIMINAR:
Como el juego acaba en la partida número cien, podemos utilizar todas las realizaciones y, por tanto, no hará falta realizar un contraste sobre la proporción, $p$, de la población mediante el estadístico $\hat{P}$, que, como sabemos, sigue una distribución en el muestreo $N\left( p, \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)$ -- recordemos que el valor observado ( medido ) en la muestra se designa por $\hat{p}$ --. Por supuesto, podríamos también resolver el problema de esta otra forma ( estándar ), llegando así a resultados equivalentes a los que vamos a encontrar. Sin embargo esta forma alternativa de resolver este problema en concreto me ha parecido que reviste un cierto interés. Referencia: Cuadras, Carles M., Problemas de Probabilidades y Estadística ( Vol. 2, páginas 112-114), PPU, Barcelona, 1991.
-oOo- Pongámonos pues a ello:
La naturaleza del experimento conlleva el que la variable aleatoria "número de caras aparecidas", $X$, es una binomial $B(n,p)$, por tratarse de un conjunto de pruebas sucesivas independientes de Bernoulli. Observemos, además, que la hipótesis fundamental, $H_0$ ( la probabilidad de salir cara o salir cruz es la misma en cada lanzamiento ), nos lleva a que, concretamente, $X$ sigue una distribución binomial $B\left(n=100,\frac{1}{2}\right)$, y según el Teorema de De Moivre-Laplace ( habida cuenta de que la probabilidad de éxito, $p=\frac{1}{2}$, no es pequeña y cumpliéndose además que $np = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 \succ 5$ ), podemos aproximar $X$ a una distribución $N(np=50,\sqrt{npq}=5)$
Considerando ahora ( como se nos indica en el enunciado ) que el nivel de significación, $\alpha$, del test representa el menor error de tipo I observado con el cual poder rechazar $H_0$ siendo ésta cierta, podemos escribir
$$P(X \succ z_{\alpha} | H_0 ) = \alpha$$
a partir de lo cual, tipificando la variable, $P\lbrace Z \le z_{\alpha}\rbrace=1-\alpha=0'95$
Consultando las tablas $N(0,1)$, obtenemos la abscisa que corresponde al extremo superior del intervalo de aceptación de $H_0$ en la variable $Z$ ( que es $N(0,1)$ ), encontramos $z_{\alpha}=\approx 1'64$. Deshaciendo ahora el cambio de variable $Z=\dfrac{X-\frac{1}{2}}{5}$, encontramos la abscisa, $a$, correspondiente al extremo superior del intervalo de aceptación de $H_0$ en la variable $X \sim N(50,5)$:
$$1'64=\dfrac{a-50}{5} \Rightarrow a=5 \cdot 1'64 + 50 = 58'2$$
Así pues, como el intervalo crítico ( de rechazo de $H_0$ a nivel de significación $\alpha=0'05$ ) en la variable $X$ es $I_a=(58'2,100)$ y el resultado observado ( $62$ caras ), es tal que $62 \in I_a$, siguiendo el criterio de decisión, rechazaremos $H_0$, aceptando por tanto la hipótesis alternativa $H_a$, concluyendo que la moneda está trucada -- según el test planeado y desarrollado -- y que, por tanto, el jugador $B$ lleva razón.
b)
El error de tipo II, que denotamos por $\beta$, se define como la probabilidad de aceptar la hipótesis fundamental, $H_0$, no siendo ésta cierta. Así, fijado el error de tipo I ( que es igual $\alpha=0'05$ ), debemos calcular
$$\beta:=P(x \notin I_a|H_a)=P\lbrace X \prec 58'2 | H_a\rbrace$$
Para ello, tendremos que cuenta que, al suponer cierta $H_a$ y teniendo en cuenta la juiciosa afirmación del jugador $B$ ( esto es, $p \ge \frac{2}{3}$ ), $X$ sigue ahora una distribución $B\left(100,\frac{2}{3}\right)$; y aproximando otra vez por el Teorema de De Moivre-Laplace, $X \approx N\left(100\cdot \frac{2}{3} \approx 66, \sqrt{100\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}} \approx 4,71 \right) $. Así, tipificando la variable $X$, podremos trabajar con la variable $Z=\dfrac{X-66}{4,71}$, que es $N(0,1)$
Así, encontramos que
$$P\lbrace X \prec 58'2 | H_a\rbrace = P\lbrace Z \prec -1'66 | H_a\rbrace = P\lbrace Z \succ 1'66 | H_a\rbrace = 1-P\lbrace Z \le 1'66 | H_a\rbrace $$
$=1-0'9515=0'0485$
Por tanto, el error de tipo II es
$\beta=0'0485$ ( que, en este caso, es parecido al error de tipo I )
c)
Se define la potencia del test como la probabilidad de aceptar la hipótesis alternativa siendo ésta cierta. Como esta probabilidad es la probabilidad del contrario de rechazar la hipótesis alternativa ( es decir, aceptar la hipótesis fundamental $H_0$ ) siendo $H_a$ cierta ( es decir, siendo $H_0$ falsa ), la potencia del test es $1-\beta$, es decir $1-0'0485=0'9515$
NOTA:
No debemos confundir la potencia del test, $1-\beta$ ( que en nuestro caso acabamos de ver que es igual a $0'9515$ ), con el nivel de confianza del test ( probabilidad de aceptar la hipótesis fundamental siendo ésta cierta ), esto es $1-\alpha$ y que en este caso es igual a $1-0'05=0'95$, valor parecido a la potencia del test ( en este caso ).
$\square$
- - -
Referencias:
[1] Compta, A., et. al., Matemàtiques II, Barcanova, Barcelona, 1993
[2] Guàrdia, J.; Viader, M., Estadística, Castellnou, Barcelona, 1999
[3] García Pérez, A., Estadística Básica con R, UNED, Madrid, 2010
[4] Allepús, J., et. al., Exercicis d'inferència estadística, Cossetània, Valls, 2002
[5] Gonick, L.; Smith, W, La Estadística en Cómic, Zendrera Zariquiey, Barcelona, 1999
Dos personas, $A$ y $B$, juegan a cara o cruz con una moneda. Al cabo de $100$ partidas, el jugador $A$, que eligió cara, ha ganado $62$ veces, por lo cual el jugador $B$ afirma que la moneda está trucada, que la probabilidad que aparezca cara al lanzarla una vez es superior a $\dfrac{1}{2}$ y que, por lo menos, es igual a $\dfrac{2}{3}$. El jugador $A$ sostiene que la moneda no está trucada. Nos preguntamos quién tiene razón. Por ello, se pide:
a) Plantear un contraste de hipótesis para dilucidar -- desde el punto de vista estadístico -- esta cuestión, a un nivel de significación $\alpha=0'05$
b) Calcular el error de tipo II, $\beta$
c) Calcular la potencia del test
SOLUCIÓN:
a)
Utilizaremos el siguiente contraste unilateral, con intervalo de aceptación, $I_0$ de $H_0$ a la izquierda ( e intervalo de rechazo de $H_0$, $I_a$, y por tanto de aceptación de $H_a$, a la derecha ):
Hipótesis fundamental: $H_0:\, p=\dfrac{1}{2}$
Hipótesis alternativa: $H_a:\, p \succ \dfrac{1}{2}$
Como el juego acaba en la partida número cien, podemos utilizar todas las realizaciones y, por tanto, no hará falta realizar un contraste sobre la proporción, $p$, de la población mediante el estadístico $\hat{P}$, que, como sabemos, sigue una distribución en el muestreo $N\left( p, \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)$ -- recordemos que el valor observado ( medido ) en la muestra se designa por $\hat{p}$ --. Por supuesto, podríamos también resolver el problema de esta otra forma ( estándar ), llegando así a resultados equivalentes a los que vamos a encontrar. Sin embargo esta forma alternativa de resolver este problema en concreto me ha parecido que reviste un cierto interés. Referencia: Cuadras, Carles M., Problemas de Probabilidades y Estadística ( Vol. 2, páginas 112-114), PPU, Barcelona, 1991.
La naturaleza del experimento conlleva el que la variable aleatoria "número de caras aparecidas", $X$, es una binomial $B(n,p)$, por tratarse de un conjunto de pruebas sucesivas independientes de Bernoulli. Observemos, además, que la hipótesis fundamental, $H_0$ ( la probabilidad de salir cara o salir cruz es la misma en cada lanzamiento ), nos lleva a que, concretamente, $X$ sigue una distribución binomial $B\left(n=100,\frac{1}{2}\right)$, y según el Teorema de De Moivre-Laplace ( habida cuenta de que la probabilidad de éxito, $p=\frac{1}{2}$, no es pequeña y cumpliéndose además que $np = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 \succ 5$ ), podemos aproximar $X$ a una distribución $N(np=50,\sqrt{npq}=5)$
Considerando ahora ( como se nos indica en el enunciado ) que el nivel de significación, $\alpha$, del test representa el menor error de tipo I observado con el cual poder rechazar $H_0$ siendo ésta cierta, podemos escribir
$$P(X \succ z_{\alpha} | H_0 ) = \alpha$$
a partir de lo cual, tipificando la variable, $P\lbrace Z \le z_{\alpha}\rbrace=1-\alpha=0'95$
Consultando las tablas $N(0,1)$, obtenemos la abscisa que corresponde al extremo superior del intervalo de aceptación de $H_0$ en la variable $Z$ ( que es $N(0,1)$ ), encontramos $z_{\alpha}=\approx 1'64$. Deshaciendo ahora el cambio de variable $Z=\dfrac{X-\frac{1}{2}}{5}$, encontramos la abscisa, $a$, correspondiente al extremo superior del intervalo de aceptación de $H_0$ en la variable $X \sim N(50,5)$:
$$1'64=\dfrac{a-50}{5} \Rightarrow a=5 \cdot 1'64 + 50 = 58'2$$
Así pues, como el intervalo crítico ( de rechazo de $H_0$ a nivel de significación $\alpha=0'05$ ) en la variable $X$ es $I_a=(58'2,100)$ y el resultado observado ( $62$ caras ), es tal que $62 \in I_a$, siguiendo el criterio de decisión, rechazaremos $H_0$, aceptando por tanto la hipótesis alternativa $H_a$, concluyendo que la moneda está trucada -- según el test planeado y desarrollado -- y que, por tanto, el jugador $B$ lleva razón.
b)
El error de tipo II, que denotamos por $\beta$, se define como la probabilidad de aceptar la hipótesis fundamental, $H_0$, no siendo ésta cierta. Así, fijado el error de tipo I ( que es igual $\alpha=0'05$ ), debemos calcular
$$\beta:=P(x \notin I_a|H_a)=P\lbrace X \prec 58'2 | H_a\rbrace$$
Para ello, tendremos que cuenta que, al suponer cierta $H_a$ y teniendo en cuenta la juiciosa afirmación del jugador $B$ ( esto es, $p \ge \frac{2}{3}$ ), $X$ sigue ahora una distribución $B\left(100,\frac{2}{3}\right)$; y aproximando otra vez por el Teorema de De Moivre-Laplace, $X \approx N\left(100\cdot \frac{2}{3} \approx 66, \sqrt{100\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}} \approx 4,71 \right) $. Así, tipificando la variable $X$, podremos trabajar con la variable $Z=\dfrac{X-66}{4,71}$, que es $N(0,1)$
Así, encontramos que
$$P\lbrace X \prec 58'2 | H_a\rbrace = P\lbrace Z \prec -1'66 | H_a\rbrace = P\lbrace Z \succ 1'66 | H_a\rbrace = 1-P\lbrace Z \le 1'66 | H_a\rbrace $$
$=1-0'9515=0'0485$
Por tanto, el error de tipo II es
$\beta=0'0485$ ( que, en este caso, es parecido al error de tipo I )
c)
Se define la potencia del test como la probabilidad de aceptar la hipótesis alternativa siendo ésta cierta. Como esta probabilidad es la probabilidad del contrario de rechazar la hipótesis alternativa ( es decir, aceptar la hipótesis fundamental $H_0$ ) siendo $H_a$ cierta ( es decir, siendo $H_0$ falsa ), la potencia del test es $1-\beta$, es decir $1-0'0485=0'9515$
NOTA:
No debemos confundir la potencia del test, $1-\beta$ ( que en nuestro caso acabamos de ver que es igual a $0'9515$ ), con el nivel de confianza del test ( probabilidad de aceptar la hipótesis fundamental siendo ésta cierta ), esto es $1-\alpha$ y que en este caso es igual a $1-0'05=0'95$, valor parecido a la potencia del test ( en este caso ).
$\square$
Referencias:
[1] Compta, A., et. al., Matemàtiques II, Barcanova, Barcelona, 1993
[2] Guàrdia, J.; Viader, M., Estadística, Castellnou, Barcelona, 1999
[3] García Pérez, A., Estadística Básica con R, UNED, Madrid, 2010
[4] Allepús, J., et. al., Exercicis d'inferència estadística, Cossetània, Valls, 2002
[5] Gonick, L.; Smith, W, La Estadística en Cómic, Zendrera Zariquiey, Barcelona, 1999
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