Se considera que el tiempo de reacción de los conductores ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal ...

ENUNCIADO:
Se considera que el tiempo de reacción de los conductores ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal, con desviación estándar $\sigma=0'05$ segundos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $n$. Si, con esa muestra, se quiere conseguir que el error en la estimación de la media de la población no supere los $0'01$ segundos, con un nivel de confianza del $99\,\%$, ¿ cuál debe ser el valor mínimo de $n$ ?.

SOLUCIÓN:
De acuerdo con el Teorema Central del Límite, el estadístico ( estimador ) de la media $\mu$ del tiempo de reacción de la población sigue una distribución $N\left(\mu,\sigma(\bar{x}\right)$, donde la desviación estándar del estimador en el muestro es $\sigma(\bar{x})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Con dicho estadístico podemos construir el intervalo de confianza al $99\,\%$. Expresado en función de la variable tipificada, $Z$, es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$; y teniendo en cuenta que $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$, el intervalo de aceptación de $H_0$ con respecto a la variable del estimador $\bar{x}$ de $\mu$ es $I^{*}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, siendo $E$ el error en la estimación, que es igual a $z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\bar{x})$, esto es, $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}$ es la abscisa del punto crítico ( en la variable tipificada $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$, que es $N(0,1)$. Teniendo en cuenta que $\alpha=1-0'99=0'01$, consultando las tablas de la función distribución de $Z$ encontramos $P\lbrace \le z_{0'01/2}\rbrace = 1- 0'01/2 = 0'995$, con lo cual $z_{0'01/2} \approx 2'57$. Así, la expresión del error, $E$, es $2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}}$. Y de acuerdo con la condición del enunciado, $2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}} \le 0'01$; y elevando al cuadrado sendos miembros de la desigualdad y despejando $n$, llegamos a la siguiente desigualdad equivalente, $ n \ge \left(\dfrac{2'57\cdot 0'05}{0'11} \right)^2 \approx 165$. $\square$

[nota del autor]