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miércoles, 8 de abril de 2015

Se considera que el tiempo de reacción de los conductores ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal ...

ENUNCIADO:
Se considera que el tiempo de reacción de los conductores ante un obstáculo imprevisto sigue una distribución normal, con desviación estándar \sigma=0'05 segundos. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n. Si, con esa muestra, se quiere conseguir que el error en la estimación de la media de la población no supere los 0'01 segundos, con un nivel de confianza del 99\,\%, ¿ cuál debe ser el valor mínimo de n ?.

SOLUCIÓN:
De acuerdo con el Teorema Central del Límite, el estadístico ( estimador ) de la media \mu del tiempo de reacción de la población sigue una distribución N\left(\mu,\sigma(\bar{x}\right), donde la desviación estándar del estimador en el muestro es \sigma(\bar{x})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Con dicho estadístico podemos construir el intervalo de confianza al 99\,\%. Expresado en función de la variable tipificada, Z, es (z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2}); y teniendo en cuenta que Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}, el intervalo de aceptación de H_0 con respecto a la variable del estimador \bar{x} de \mu es I^{*}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E), siendo E el error en la estimación, que es igual a z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\bar{x}), esto es, E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, donde z_{\alpha/2} es la abscisa del punto crítico ( en la variable tipificada Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}, que es N(0,1). Teniendo en cuenta que \alpha=1-0'99=0'01, consultando las tablas de la función distribución de Z encontramos P\lbrace \le z_{0'01/2}\rbrace = 1- 0'01/2 = 0'995, con lo cual z_{0'01/2} \approx 2'57. Así, la expresión del error, E, es 2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}}. Y de acuerdo con la condición del enunciado, 2'57 \cdot \dfrac{0'05}{\sqrt{n}} \le 0'01; y elevando al cuadrado sendos miembros de la desigualdad y despejando n, llegamos a la siguiente desigualdad equivalente, n \ge \left(\dfrac{2'57\cdot 0'05}{0'11} \right)^2 \approx 165. \square

[nota del autor]

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