La duración en el tiempo ( medida en horas ) de un determinado tipo de dispositivos ...

ENUNCIADO:
La duración en el tiempo ( medida en horas ) de un determinado tipo de dispositivos se distribuye de acuerdo al modelo normal, con una desviación estándar $\sigma$ desconocida. Se ha seleccionado una muestra de tamaño $n=16$ y se ha observado que la duración media en la misma es $\bar{x}=735$ horas, con desviación estándar de $12$ horas. Hallar el intervalo de confianza para la vida media de la población, $\mu$, al $95\,\%$ de confianza. ¿ Se puede aceptar afirmar que la media de la población es de $742$ horas, con un nivel de significación $\alpha=0'05$ ?.

SOLUCIÓN:
A pesar de tratar aquí con una muestra pequeña ( $n=16$ ), se nos informa que la variable de la característica en estudio es normal en la población, por lo que según el Teorema Central del Límite, el estadístico ( estimador ) de la media $\mu$ de la duración de dichos dispositivos sigue una distribución $N\left(\mu,\sigma(\bar{x}\right)$, donde la desviación estándar del estimador en el muestro es $\sigma(\bar{x})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Ahora bien, al desconocer la desviación estándar de la población $\sigma$, vamos a aproximar dicho parámetro -- otra vez, por ser normal la variable de la característica en estudio en la población -- por la cuasidesviación estándar de la muestra, $\hat{s}$. Como conocemos el valor de la desviación estándar de la muestra ( $s=12$ ), y mediante la relación $$\dfrac{\hat{s}}{s}=\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}$$
Así,
$$\dfrac{\hat{s}}{12}=\sqrt{\dfrac{16}{16-1}}$$
con lo cual
$$\hat{s}=12\,\sqrt{\dfrac{16}{16-1}} \approx 12'39$$
con ello, se puede decir que el estadístico estimador $\bar{x}$ de $\mu$ sigue -- con suficiente aproximación -- la distribución $N(\mu, \dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}})$

Mediante la transformación para tipificar la variable aleatoria de dicho estadístico
$$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}} \; \text{( que es}\, N(0,1) \text{)}$$ podemos construir el intervalo de confianza al $99\,\%$, que es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$, donde $z_{\alpha/2}$ es la abscisa del punto crítico, que encontramos en las tablas de la función de distribución $F(z)$.
Deshaciendo ahora la transformación $$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}}}$$ vemos que el intervalo de confianza de $\mu$ es $I^{*}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, siendo $E$ el error en la estimación, que es igual a $z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\bar{x})$, esto es, $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.


Procedemos a calcular los valores concretos del intervalo de confianza. Como $\alpha=1-0'99=0'01$, al consultar las tablas de la función distribución de $Z$ encontramos $P\lbrace \le z_{0'05/2}\rbrace = 1- 0'05/2 = 0'975$, con lo cual $z_{0'01/2} \approx 1'96$. Así, pues, la expresión del error, $E$, es $1'96 \cdot \dfrac{12'39}{\sqrt{16}} \approx 6'07$ horas. Por consiguiente, $I^{*}=(735-6'07\,,\,735+6'07)$, esto es, $I^{*}=(729\,,\,741)$, donde se han aproximado los extremos al dígito de las unidades.

Finalmente, vamos a dar respuesta a la pregunta de si puede aceptarse o no el enunciado: "la media es $742$ horas" a nivel de significación ( riesgo ) del $5\,\%$, es decir con un nivel de confianza del $95\,\%$. Para ello, entendemos el intervalo de confianza de la media, $\mu$, como el intervalo de aceptación del test bilateral que se plantea al confrontar la hipótesis nula ( fundamental ) $H_0$: $\mu=\mu_0$, que corresponde a dicho enunciado; siendo la hipótesis alternativa, $H_1$, la que viene dada por $\mu \neq \mu_0$. Como el valor postulado para la media, $\mu_0 = 742$ horas, no pertenece al intervalo de aceptación de la hipótesis nula ( intervalo de confianza $I^{*}$ ) -- esto es, $742 \notin (729\,,\,741)$ --, debemos rechazar la hipótesis nula y, aceptando por tanto la alternativa, concluir que dicha afirmación no es aceptable, de acuerdo con el test realizado. $\square$


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Referencias:
  [1] Compta, A., et. al., Matemàtiques II, Barcanova, Barcelona, 1993
  [2] Guàrdia, J.; Viader, M., Estadística, Castellnou, Barcelona, 1999
  [3] García Pérez, A., Estadística Básica con R, UNED, Madrid, 2010
  [4] Allepús, J., et. al., Exercicis d'inferència estadística, Cossetània, Valls, 2002
  [5] Gonick, L.; Smith, W, La Estadística en Cómic, Zendrera Zariquiey, Barcelona, 1999