Derivada de la función recíproca de una función biyectiva

Si una función $f$ es biyectiva, existe una función $f^{-1}$ ( f. recíproca de $f$ ) tal que $f\circ f^{-1} f^{-1}\circ f=id$, esto es $f^{-1}(f(x))=x$, $x \in D_f$. Derivando en los dos miembros de esa igualdad,
$$\left(f^{-1}(f(x)\right)\,f'(x)=(x)'$$
es decir
$$\left(f^{-1}(f(x)\right)\,f'(x)=1$$
despejando obtenemos
$$\left(f^{-1}(f(x))\right)'=\dfrac{1}{f'(x)}$$
y también
$$f'(x)=\dfrac{1}{\left(f^{-1}(f(x))\right)'}$$

EJEMPLO 1:
Sea la función biyectiva $f(x)=\sqrt[3]{x}$, ¿ cuál es la función derivada de dicha función ?

SOLUCIÓN. La función recíproca de $f$ es $f^{-1}(x)=x^3$, entonces $$f'(x)=\dfrac{1}{\left(f^{-1}(f(x))\right)'}=\dfrac{1}{3\,(f(x))^2}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}=\dfrac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}}$$

Nota. Estos dos resultados, suelen expresarse con una notación más sucinta de la siguiente forma: $x'_y=1/y'_x$ e $y'_x=1/x'_y$. Así, con esta notación, resolveríamos el ejercicio anterior de la siguiente forma. Como la función dada es $y_x=\sqrt[3]{x}$, la función recíproca puede expresarse como $x_y=y^3$; derivándola ( respecto de $y$, que hace, ahora, de variable independiente ), obtenemos $x'_y=\dfrac{1}{3\,y_{x}^{2}}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}=\dfrac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}}$

EJEMPLO 2:
Sea la función biyectiva $y=\ln(x)$. Calcular la función derivada de $f$ sabiendo que la derivada de la función exponencial $y=e^x$ es $y_{x}'=e^x$.

SOLUCIÓN. La función recíproca de la función $y=\ln{x}$ es $x=e^y$, cuya derivada es $x'_y=e^y$. Y como $y'_x=1/x'_y$, obtenemos $y'_x=1/e^y$; ahora bien, $e^y=e^{\ln{x}}=x$, luego $y'_x=1/x$, esto es $(f^{-1})'=\dfrac{1}{x}$
$\square$

[nota del autor]