Dos personas, $A$ y $B$, juegan a cara o cruz con una moneda ...

ENUNCIADO:
Dos personas, $A$ y $B$, juegan a cara o cruz con una moneda. Al cabo de $100$ partidas, el jugador $A$, que eligió cara, ha ganado $62$ veces, por lo cual el jugador $B$ afirma que la moneda está trucada, que la probabilidad que aparezca cara al lanzarla una vez es superior a $\dfrac{1}{2}$ y que, por lo menos, es igual a $\dfrac{2}{3}$. El jugador $A$ sostiene que la moneda no está trucada. Nos preguntamos quién tiene razón. Por ello, se pide:
a) Plantear un contraste de hipótesis para dilucidar -- desde el punto de vista estadístico -- esta cuestión, a un nivel de significación $\alpha=0'05$
b) Calcular el error de tipo II, $\beta$
c) Calcular la potencia del test

SOLUCIÓN:
a)
Utilizaremos el siguiente contraste unilateral, con intervalo de aceptación, $I_0$ de $H_0$ a la izquierda ( e intervalo de rechazo de $H_0$, $I_a$, y por tanto de aceptación de $H_a$, a la derecha ):
Hipótesis fundamental: $H_0:\, p=\dfrac{1}{2}$
Hipótesis alternativa: $H_a:\, p \succ \dfrac{1}{2}$

-oOo-INDICACIÓN PRELIMINAR:
Como el juego acaba en la partida número cien, podemos utilizar todas las realizaciones y, por tanto, no hará falta realizar un contraste sobre la proporción, $p$, de la población mediante el estadístico $\hat{P}$, que, como sabemos, sigue una distribución en el muestreo $N\left( p, \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right)$ -- recordemos que el valor observado ( medido ) en la muestra se designa por $\hat{p}$ --. Por supuesto, podríamos también resolver el problema de esta otra forma ( estándar ), llegando así a resultados equivalentes a los que vamos a encontrar. Sin embargo esta forma alternativa de resolver este problema en concreto me ha parecido que reviste un cierto interés. Referencia: Cuadras, Carles M., Problemas de Probabilidades y Estadística ( Vol. 2, páginas 112-114), PPU, Barcelona, 1991.
-oOo-Pongámonos pues a ello:

La naturaleza del experimento conlleva el que la variable aleatoria "número de caras aparecidas", $X$, es una binomial $B(n,p)$, por tratarse de un conjunto de pruebas sucesivas independientes de Bernoulli. Observemos, además, que la hipótesis fundamental, $H_0$ ( la probabilidad de salir cara o salir cruz es la misma en cada lanzamiento ), nos lleva a que, concretamente, $X$ sigue una distribución binomial $B\left(n=100,\frac{1}{2}\right)$, y según el Teorema de De Moivre-Laplace ( habida cuenta de que la probabilidad de éxito, $p=\frac{1}{2}$, no es pequeña y cumpliéndose además que $np = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 \succ 5$ ), podemos aproximar $X$ a una distribución $N(np=50,\sqrt{npq}=5)$

Considerando ahora ( como se nos indica en el enunciado ) que el nivel de significación, $\alpha$, del test representa el menor error de tipo I observado con el cual poder rechazar $H_0$ siendo ésta cierta, podemos escribir
$$P(X \succ z_{\alpha} | H_0 ) = \alpha$$
a partir de lo cual, tipificando la variable, $P\lbrace Z \le z_{\alpha}\rbrace=1-\alpha=0'95$
Consultando las tablas $N(0,1)$, obtenemos la abscisa que corresponde al extremo superior del intervalo de aceptación de $H_0$ en la variable $Z$ ( que es $N(0,1)$ ), encontramos $z_{\alpha}=\approx 1'64$. Deshaciendo ahora el cambio de variable $Z=\dfrac{X-\frac{1}{2}}{5}$, encontramos la abscisa, $a$, correspondiente al extremo superior del intervalo de aceptación de $H_0$ en la variable $X \sim N(50,5)$:
$$1'64=\dfrac{a-50}{5} \Rightarrow a=5 \cdot 1'64 + 50 = 58'2$$
Así pues, como el intervalo crítico ( de rechazo de $H_0$ a nivel de significación $\alpha=0'05$ ) en la variable $X$ es $I_a=(58'2,100)$ y el resultado observado ( $62$ caras ), es tal que $62 \in I_a$, siguiendo el criterio de decisión, rechazaremos $H_0$, aceptando por tanto la hipótesis alternativa $H_a$, concluyendo que la moneda está trucada -- según el test planeado y desarrollado -- y que, por tanto, el jugador $B$ lleva razón.

b)
El error de tipo II, que denotamos por $\beta$, se define como la probabilidad de aceptar la hipótesis fundamental, $H_0$, no siendo ésta cierta. Así, fijado el error de tipo I ( que es igual $\alpha=0'05$ ), debemos calcular
$$\beta:=P(x \notin I_a|H_a)=P\lbrace X \prec 58'2 | H_a\rbrace$$
Para ello, tendremos que cuenta que, al suponer cierta $H_a$ y teniendo en cuenta la juiciosa afirmación del jugador $B$ ( esto es, $p \ge \frac{2}{3}$ ), $X$ sigue ahora una distribución $B\left(100,\frac{2}{3}\right)$; y aproximando otra vez por el Teorema de De Moivre-Laplace, $X \approx N\left(100\cdot \frac{2}{3} \approx 66, \sqrt{100\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}} \approx 4,71 \right)$. Así, tipificando la variable $X$, podremos trabajar con la variable $Z=\dfrac{X-66}{4,71}$, que es $N(0,1)$

Así, encontramos que
$$P\lbrace X \prec 58'2 | H_a\rbrace = P\lbrace Z \prec -1'66 | H_a\rbrace = P\lbrace Z \succ 1'66 | H_a\rbrace = 1-P\lbrace Z \le 1'66 | H_a\rbrace$$
$=1-0'9515=0'0485$
Por tanto, el error de tipo II es
$\beta=0'0485$ ( que, en este caso, es parecido al error de tipo I )

c)
Se define la potencia del test como la probabilidad de aceptar la hipótesis alternativa siendo ésta cierta. Como esta probabilidad es la probabilidad del contrario de rechazar la hipótesis alternativa ( es decir, aceptar la hipótesis fundamental $H_0$ ) siendo $H_a$ cierta ( es decir, siendo $H_0$ falsa ), la potencia del test es $1-\beta$, es decir $1-0'0485=0'9515$

NOTA:
No debemos confundir la potencia del test, $1-\beta$ ( que en nuestro caso acabamos de ver que es igual a $0'9515$ ), con el nivel de confianza del test ( probabilidad de aceptar la hipótesis fundamental siendo ésta cierta ), esto es $1-\alpha$ y que en este caso es igual a $1-0'05=0'95$, valor parecido a la potencia del test ( en este caso ).

$\square$

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Referencias:
  [1] Compta, A., et. al., Matemàtiques II, Barcanova, Barcelona, 1993
  [2] Guàrdia, J.; Viader, M., Estadística, Castellnou, Barcelona, 1999
  [3] García Pérez, A., Estadística Básica con R, UNED, Madrid, 2010
  [4] Allepús, J., et. al., Exercicis d'inferència estadística, Cossetània, Valls, 2002
  [5] Gonick, L.; Smith, W, La Estadística en Cómic, Zendrera Zariquiey, Barcelona, 1999