Basándose en anteriores comicios, un analista sostiene que ...

ENUNCIADO:
Basándose en anteriores comicios, un analista sostiene que si se celebrasen elecciones en este momento tan solo acudiría a votar el $48\,\%$ del censo electoral. Para apoyar o no esa afirmación, se realiza una encuesta preguntando si se tiene o no intención de votar; para ello se elige una muestra aleatoria simple de tamaño $n=1500$ y se observa que $800$ de las personas encuestadas responden afirmativamente. Plantear un contraste de hipótesis, a un nivel de significación del $5\,\%$. ¿ Está en lo cierto el analista, de acuerdo con el resultado del contraste realizado ?.

SOLUCIÓN:
El estadístico ( estimador ), $\hat{P}$, de la proporción $p$ ( electores dispuestos a votar ) de la población tiene una distribución ( Teorema Central del Límite ) que es $N\left(p,\sigma(\hat{P})\right)$, donde $\sigma(\hat{P})=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
Con dicho estadístico procederemos a realizar el contraste de hipótesis bilateral, al $5\,\%$ de nivel de significación:
$$\left\{\begin{matrix} H_0: & p=p_0:=0'48 \\ H_1: & p \neq 0'48 \\ \end{matrix}\right.$$
El intervalo de confianza expresado en la variable tipificada, $Z$ ( del estadístico $\hat{P}$ ) es $(z_{-\alpha/2}\,,\,z_{\alpha/2})$, y teniendo en cuenta que $Z=\dfrac{\hat{P}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}$, el intervalo de aceptación de $H_0$ con respecto a la variable del estimador $\hat{P}$ es
$$I^{*}=\left(p_0-E\,,\,p_0+E\right)$$
donde el error en la estimación de $p$ ( o semiamplitud del intervalo de confianza de $p$ ) es $E=z_{\alpha/2}\cdot \sigma(\hat{P})$, esto es, suponiendo cierta $H_0$ ( $p=p_0$ ), dicho error es
$$E=z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}$$
Con el fin de calcularlo, obtenemos la abscisa del punto crítico $z_{\alpha/2}$; siendo $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$, y consultando las tablas de la función de distribución de $Z$, resulta ser igual a $1'96$.
Así,
$$E=1'96\cdot \sqrt{\dfrac{0'48\cdot(1-0'48)}{1500}} \approx 0'03$$
con lo cual, el intervalo de aceptación de la hipótesis fundamental es
$I^{*}=(0'48-003\,,\,0'48+0,03)$
    $=(0'45\,,\,0'51)$

Ahora bien, el valor observado, $\hat{p}$, de la proporción en la muestra es $\dfrac{800}{1500}=0'53 \notin I^{*}$, luego de acuerdo con el criterio del contraste deberemos rechazar $H_0$ y concluir que la afirmación del analista no es aceptable. $\square$

[nota del autor]