ENUNCIADO:
Justificar que la derivada de la función $f(x)=e^x$ es la propia función exponencial; y que, teniendo en cuenta este resultado, la derivada de la función $\ln(x)$ es $\dfrac{1}{x}$
SOLUCIÓN:
(1)
Por la definición de derivada $$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ tenemos que $$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x+\Delta x}-e^{\Delta x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x}\,e^{\Delta x}-e^{\Delta x}}{\Delta x}=e^{x}\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$ al pasar ahora al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$, que deshacemos teniendo en cuenta que $e^{\Delta x}-1$ y $\Delta x$ son infinitésimos equivalentes, con lo cual el valor del límite es $1$, y, por tanto, obtenemos $f'(x)=e^x$, como queríamos probar.
(2)
Teniendo en cuenta, ahora, este resultado, vamos a probar que $(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$. En efecto, las funciones $\ln{x}$ y $e^{x}$ son mutuamente recíprocas; esto es, si $y=e^x$, entonces $x=\ln{y}$. Y, por la propiedad de la derivada de la función recíproca, $x'_y=\dfrac{1}{y'_x}$, y, por tanto, $x'_y=\dfrac{1}{(e^x)'}=\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{1}{e^{\ln{y}}}=\dfrac{1}{x}$
$\square$
lunes, 18 de mayo de 2015
miércoles, 13 de mayo de 2015
Dibujar la gráfica de la siguiente función y describir los elementos del análisis de la misma
ENUNCIADO:
Dibujar la gráfica de la función $f(x)=(x-1)^3+2$ empleando transformaciones geométricas de la gráfica de la parábola semicúbica $y=x^3$. A continuación, y a la vista del gráfico, hacer una descripción de los siguientes elementos de dicha función: dominio de existencia y recorrido, raíces, ordenada en el origen, puntos de inflexión, extremos relativos, intervalos de crecimiento/decrecimiento, intervalos de concavidad/convexidad, etcétera.
SOLUCIÓN:
a) Al tratarse de una función polinómica, $D_f=\mathbb{R}$ y $\text{Recorrido}_f=\mathbb{R}$; es continua en todos los puntos de su dominio de existencia - y por tanto no tiene asíntotas -, y es derivable en todos los puntos de su dominio de existencia ( Nota: Para darnos cuenta de lo que acabamos de decir, no es necesario visualizar la gráfica ).
Procedemos, ahora, a realizar la representación gráfica, tal como se nos ha indicado en el enunciado:
1º) Gráfica de $y=x^3$ ( parábola semicúbica centrada en el origen de coordenadas )
2º) Gráfica del trazo anterior, trasladado una unidad a la derecha, en la dirección del eje de abscisas
3º) Gráfica del trazo anterior, trasladado dos unidades en la dirección del eje de ordenadas ( en el sentido positivo )
Describiendo la gráfica resultante ( la última ), podemos afirmar que:
b) La función tiene una única raíz, en el intervalo $[-0'5,0]$
c) Tiene un punto de inflexión en el punto $(1,2)$
d) No tiene extremos relativos
e) La función es creciente en todo los puntos de su dominio de definición
f) Es cóncava en el intervalo $(-\infty\,,\,1)$
g) Es convexa en el intervalo $(1\,,\,+\infty)$
$\square$
Dibujar la gráfica de la función $f(x)=(x-1)^3+2$ empleando transformaciones geométricas de la gráfica de la parábola semicúbica $y=x^3$. A continuación, y a la vista del gráfico, hacer una descripción de los siguientes elementos de dicha función: dominio de existencia y recorrido, raíces, ordenada en el origen, puntos de inflexión, extremos relativos, intervalos de crecimiento/decrecimiento, intervalos de concavidad/convexidad, etcétera.
SOLUCIÓN:
a) Al tratarse de una función polinómica, $D_f=\mathbb{R}$ y $\text{Recorrido}_f=\mathbb{R}$; es continua en todos los puntos de su dominio de existencia - y por tanto no tiene asíntotas -, y es derivable en todos los puntos de su dominio de existencia ( Nota: Para darnos cuenta de lo que acabamos de decir, no es necesario visualizar la gráfica ).
Procedemos, ahora, a realizar la representación gráfica, tal como se nos ha indicado en el enunciado:
1º) Gráfica de $y=x^3$ ( parábola semicúbica centrada en el origen de coordenadas )
2º) Gráfica del trazo anterior, trasladado una unidad a la derecha, en la dirección del eje de abscisas
3º) Gráfica del trazo anterior, trasladado dos unidades en la dirección del eje de ordenadas ( en el sentido positivo )
Describiendo la gráfica resultante ( la última ), podemos afirmar que:
b) La función tiene una única raíz, en el intervalo $[-0'5,0]$
c) Tiene un punto de inflexión en el punto $(1,2)$
d) No tiene extremos relativos
e) La función es creciente en todo los puntos de su dominio de definición
f) Es cóncava en el intervalo $(-\infty\,,\,1)$
g) Es convexa en el intervalo $(1\,,\,+\infty)$
$\square$
Decir razonadamente si la función dada es continua y derivable en el siguiente punto ...
ENUNCIADO:
Decir, razonadamente, si la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2& \text{si}&x \le 1 \\
1& \text{si}&x = 1 \\
\end{matrix}\right.$$
es:
a) continua en el punto de abscisa $x=1$
b) derivable en el punto de abscisa $x=1$
SOLUCIÓN:
Representando la función definida a trozos, obtenemos la siguiente gráfica
con lo cual, la respuesta a la primera pregunta es afirmativa, por ser dicho trazo continuo. En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta es NO. En efecto, la pendiente de la recta tangente al trazo a la izquierda de $x=1$ ( tramo de parábola ) en el punto $(1,f(1))$ es $f'(1)=2x |_{x=1}=2\cdot 1 = 2$; sin embargo, la pendiente de la recta tangente a la derecha de $x=1$ es $0$, por tratarse de un tramo con ordenada constante. Así, al no coincidir en dicho punto ambas pendientes de las respectivas rectas tangentes, podemos afirmar que no existe la derivada en dicho punto. $\square$
Decir, razonadamente, si la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2& \text{si}&x \le 1 \\
1& \text{si}&x = 1 \\
\end{matrix}\right.$$
es:
a) continua en el punto de abscisa $x=1$
b) derivable en el punto de abscisa $x=1$
SOLUCIÓN:
Representando la función definida a trozos, obtenemos la siguiente gráfica
con lo cual, la respuesta a la primera pregunta es afirmativa, por ser dicho trazo continuo. En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta es NO. En efecto, la pendiente de la recta tangente al trazo a la izquierda de $x=1$ ( tramo de parábola ) en el punto $(1,f(1))$ es $f'(1)=2x |_{x=1}=2\cdot 1 = 2$; sin embargo, la pendiente de la recta tangente a la derecha de $x=1$ es $0$, por tratarse de un tramo con ordenada constante. Así, al no coincidir en dicho punto ambas pendientes de las respectivas rectas tangentes, podemos afirmar que no existe la derivada en dicho punto. $\square$
Demostrar que la siguiente función tiene por lo menos una raíz en ...
ENUNCIADO:
Utilizar el Teorema de Bolzano para demostrar que la función $f(x)=x^4-2$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $[0,2] \subset \mathbb{R}$
SOLUCIÓN:
Al ser $f(x)$ una función polinómica, es continua y derivable en todos los puntos de la recta numérica, luego se cumplen las condiciones de validez del Teorema de Bolzano en todo intervalo de la recta numérica y, en particular, en el intervalo pedido. Observemos que $f(0) \prec 0$ y $f(2) \succ 0$ ( la función toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo ), de lo cual podemos deducir que la gráfica de la función tiene que cortar al eje de abscisas al menos una vez en dicho intervalo, esto es, $f(x)$ posee al menos una raíz comprendida entre $0$ y $2$. $\square$
Utilizar el Teorema de Bolzano para demostrar que la función $f(x)=x^4-2$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $[0,2] \subset \mathbb{R}$
SOLUCIÓN:
Al ser $f(x)$ una función polinómica, es continua y derivable en todos los puntos de la recta numérica, luego se cumplen las condiciones de validez del Teorema de Bolzano en todo intervalo de la recta numérica y, en particular, en el intervalo pedido. Observemos que $f(0) \prec 0$ y $f(2) \succ 0$ ( la función toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo ), de lo cual podemos deducir que la gráfica de la función tiene que cortar al eje de abscisas al menos una vez en dicho intervalo, esto es, $f(x)$ posee al menos una raíz comprendida entre $0$ y $2$. $\square$
Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad/convexidad de la siguiente función
ENUNCIADO:
Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad/convexidad de la función $f(x)=x^3-2x$
SOLUCIÓN:
En un punto de inflexión se cumple que $f''(x)=0$. Calculando, pues, la segunda derivada ( $f'(x) = 3x^2 \rightarrow f''(x) = 6x$ ) e imponiendo esta condición: $6x = 0 \Leftrightarrow x=0$. Encontramos un sólo punto de inflexión, cuya abscisa es $x=0$; y, por tanto, su ordenada ( valor de función en dicho punto ) es $f(0)=0$. A la izquierda de $x=0$, $f''(x) \prec 0 $, por lo que la función es cóncava en el intervalo $(-\infty\,,\,0)$; a la derecha de $x=0$, $f''(x) \succ 0$, indicando ello que la función es convexa en el intervalo $(0\,,\,\infty)$. $\square$
Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad/convexidad de la función $f(x)=x^3-2x$
SOLUCIÓN:
En un punto de inflexión se cumple que $f''(x)=0$. Calculando, pues, la segunda derivada ( $f'(x) = 3x^2 \rightarrow f''(x) = 6x$ ) e imponiendo esta condición: $6x = 0 \Leftrightarrow x=0$. Encontramos un sólo punto de inflexión, cuya abscisa es $x=0$; y, por tanto, su ordenada ( valor de función en dicho punto ) es $f(0)=0$. A la izquierda de $x=0$, $f''(x) \prec 0 $, por lo que la función es cóncava en el intervalo $(-\infty\,,\,0)$; a la derecha de $x=0$, $f''(x) \succ 0$, indicando ello que la función es convexa en el intervalo $(0\,,\,\infty)$. $\square$
Demostrar que la siguiente función tiene exactamente una raíz ...
ENUNCIADO:
Demostrar que la función $f(x)=x^5+x-5$ tiene exactamente una raíz.
SOLUCIÓN:
Observemos que si intentamos resolver la ecuación $f(x)=0$ para encontrar las raíces de la función pedida, no podemos hacerlo de forma exacta; debería, pues, hacerse de forma aproximada; de ahí la pregunta formulada, aunque no nos piden que encontremos el valor de la raíz sino simplemente se nos pide que justifiquemos la afirmación del enunciado: "la función pedida sólo tiene una raíz". Para ello, vamos a utilizar el Teorema de Rolle y el Teorema de Bolzano.
Según el Teorema de Rolle, el número de raíces de una función continua en un intervalo $[a,b]$ ( en este caso en toda la recta numérica ) y derivable en $(a,b)$ ( en este caso es derivable en toda la recta numérica ) es igual, a lo sumo, al número de ráices de la función derivada más uno. Veamos, pues, cuántas raíces tiene la función derivada
$f'(x)=5x^4+1$; para ello, igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: $5x^4+1=0$. Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto, el número de raíces, $n$, de $f'(x)$ es cero ( $n=0$ ). Entonces, como ya hemos comentado, por el Teorema de Rolle, el máximo número de raíces de $f(x)$ es $n+1$, que en el caso que nos ocupa es $0+1=1$.
Sólo nos queda, ahora, demostrar que existe dicha raíz. Observemos que $f(0)=-5 \prec 0$ y $f(2) \succ 0$, presentado un cambio de signo en el intervalo $[0,2]$, de lo cual deducimos que, al ser continua la función, según el teorema de Bolzano, ésta corta al eje de abscisas al menos en un punto de dicho intervalo. Y como hemos visto, por el Teorema de Rolle, que el número máximo de dichos puntos de corte ( raíces ) es $1$, queda probado que la función pedida tiene exactamente una raíz. $\square$
Demostrar que la función $f(x)=x^5+x-5$ tiene exactamente una raíz.
SOLUCIÓN:
Observemos que si intentamos resolver la ecuación $f(x)=0$ para encontrar las raíces de la función pedida, no podemos hacerlo de forma exacta; debería, pues, hacerse de forma aproximada; de ahí la pregunta formulada, aunque no nos piden que encontremos el valor de la raíz sino simplemente se nos pide que justifiquemos la afirmación del enunciado: "la función pedida sólo tiene una raíz". Para ello, vamos a utilizar el Teorema de Rolle y el Teorema de Bolzano.
Según el Teorema de Rolle, el número de raíces de una función continua en un intervalo $[a,b]$ ( en este caso en toda la recta numérica ) y derivable en $(a,b)$ ( en este caso es derivable en toda la recta numérica ) es igual, a lo sumo, al número de ráices de la función derivada más uno. Veamos, pues, cuántas raíces tiene la función derivada
$f'(x)=5x^4+1$; para ello, igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: $5x^4+1=0$. Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto, el número de raíces, $n$, de $f'(x)$ es cero ( $n=0$ ). Entonces, como ya hemos comentado, por el Teorema de Rolle, el máximo número de raíces de $f(x)$ es $n+1$, que en el caso que nos ocupa es $0+1=1$.
Sólo nos queda, ahora, demostrar que existe dicha raíz. Observemos que $f(0)=-5 \prec 0$ y $f(2) \succ 0$, presentado un cambio de signo en el intervalo $[0,2]$, de lo cual deducimos que, al ser continua la función, según el teorema de Bolzano, ésta corta al eje de abscisas al menos en un punto de dicho intervalo. Y como hemos visto, por el Teorema de Rolle, que el número máximo de dichos puntos de corte ( raíces ) es $1$, queda probado que la función pedida tiene exactamente una raíz. $\square$
Demostrar que la siguiente función tiene una sóla raíz ...
ENUNCIADO:
Demostrar que la función $f(x)=x^5-5$ tiene exactamente una raíz, sin calcularla explícitamente.
SOLUCIÓN:
La función dada es de tipo polinómico y, por tanto, su dominio de definición es toda la recta real. Veamos si tiene extremos relativos. La condición necesaria para la existencia de dichos puntos es $f'(x)=0$; luego, derivando e igualando a cero: $5x^4=0$, de donde se sigue que sólo hay un extremo relativo: $x=0$. Si empleamos el criterio de la segunda derivada, nos encontramos que en este caso no decide, ya que al ser $f''(x)=20\,x^3$, $f''(0)=0$ ( no es ni positiva ni negativa ). Recurrimos por tanto al criterio de la primera derivada, encontrando que $\text{signo}(f'(0^{-}))=\text{signo}(f'(-1))=\text{signo}(5)$, que es positivo; y $\text{signo}(f'(0^{+}))=\text{signo}(f'(+1))=\text{signo}(5)$, que también es positivo; por tanto, la abscisa $x=0$ corresponde a un punto de inflexión de la gráfica de $f(x)$, luego ésta no puede cortar al eje de abscisas en más de un punto, con lo cual, podemos afirmar que de tener $f(x)$ alguna raíz, sólo puede ser una. Veamos ahora si existe dicha raíz: observemos que $f(1) \prec 0 $ y $f(2) \succ 0$, luego por el Teorema de Bolzano ( $f$ es continua y derivable, en este caso, en todo el dominio de definición ), la gráfica de $f$ corta al eje de abscisas entre $x=1$ y $x=2$. Y por lo dicho anteriormente, este punto de corte tiene que ser único; es decir, $f(x)$ tiene una única raíz ( exactamente una raíz ). $\square$
Demostrar que la función $f(x)=x^5-5$ tiene exactamente una raíz, sin calcularla explícitamente.
SOLUCIÓN:
La función dada es de tipo polinómico y, por tanto, su dominio de definición es toda la recta real. Veamos si tiene extremos relativos. La condición necesaria para la existencia de dichos puntos es $f'(x)=0$; luego, derivando e igualando a cero: $5x^4=0$, de donde se sigue que sólo hay un extremo relativo: $x=0$. Si empleamos el criterio de la segunda derivada, nos encontramos que en este caso no decide, ya que al ser $f''(x)=20\,x^3$, $f''(0)=0$ ( no es ni positiva ni negativa ). Recurrimos por tanto al criterio de la primera derivada, encontrando que $\text{signo}(f'(0^{-}))=\text{signo}(f'(-1))=\text{signo}(5)$, que es positivo; y $\text{signo}(f'(0^{+}))=\text{signo}(f'(+1))=\text{signo}(5)$, que también es positivo; por tanto, la abscisa $x=0$ corresponde a un punto de inflexión de la gráfica de $f(x)$, luego ésta no puede cortar al eje de abscisas en más de un punto, con lo cual, podemos afirmar que de tener $f(x)$ alguna raíz, sólo puede ser una. Veamos ahora si existe dicha raíz: observemos que $f(1) \prec 0 $ y $f(2) \succ 0$, luego por el Teorema de Bolzano ( $f$ es continua y derivable, en este caso, en todo el dominio de definición ), la gráfica de $f$ corta al eje de abscisas entre $x=1$ y $x=2$. Y por lo dicho anteriormente, este punto de corte tiene que ser único; es decir, $f(x)$ tiene una única raíz ( exactamente una raíz ). $\square$
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