ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$, se pide:
a) Los valores del parámetro $a$ para que se verifique la igualdad $A^2-5A=-I$, siendo $I$ la matriz identidad
b) La matriz inversa $A^{-1}$ para $a:=-1$
SOLUCIÓN.
a) Según el enunciado, deberá cumplirse que
$\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}-5\,\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
luego
$\begin{pmatrix}5a^2+4 & 25\,a \\ 5\,a & 5\,a^2+9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-10 & -25\,a \\ -5\,a & -15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$
esto es
$\begin{pmatrix}5a^2-6 & 0 \\ 0 & 5\,a^2-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \Leftrightarrow 5\,a^2-6=-1 \Leftrightarrow 5\,a^2=5 \Leftrightarrow a=\pm1$
b) Para $a:=-1$ se tiene que $A=\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 & \end{pmatrix}$ y $\text{det}(A)=3\cdot 2- (-5)\cdot (-1)=1 \neq 0$, luego hay una matriz inversa $A^{-1}$ asociada a $A$ ( que, como se sabe, es única)
Procedamos a calcular $A^{-1}$ por el método de Gauss-Jordan:
$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & -5 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad \overset{f_1+2\cdot f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \quad \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \overset{f_1+5\cdot f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow} \quad$
$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 0 & 6 & 10 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \overset{\dfrac{1}{2}\cdot f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow} \quad \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \Rightarrow \quad A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$
Nota: Puede comprobarse que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$, como debe ser.
$\square$
miércoles, 16 de septiembre de 2020
jueves, 13 de junio de 2019
Un ejercicio más sobre intervalos de confianza
ENUNCIADO. La masa de las mochilas escolares de los niños de quinto y sexto de primaria, medido kilogramos, puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ kilogramos y desviación típica $\sigma=1,5$ kilogramos.
a) En un estudio se tomó una muestra aleatoria simple ( m.a.s. ) de dichas mochilas escolares y se estimó la masa media utilizando un intervalo de confianza del $95\,\%$. La amplitud de este intervalo resultó ser de $0,49$ kilogramos. Obténgase el número de mochilas seleccionadas en dicha muestra.
b) Supóngase que $\mu=6$ kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de $225$ mochilas escolares, calcúlese la probabilidad de que el peso medio muestral supere los $5,75$ kilogramos, que es la cantidad máxima recomendada para los escolares de de estos cursos.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "masa de la mochila". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=1,5$ kilogramos. Entonces, por el teorema del Límite Central, el estimador de la media muestral sigue una distribución $$N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$$
El tamaño de la muestra, $n$, es desconocido, y nos proponemos determinarlo.
El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) es igual a $0,49$ kilogramos
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, podemos escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$ . Así, $0,49=1,96\cdot \dfrac{1,5}{\sqrt{n}}$ y despejando $n$ se llega a $$n=\left( \dfrac{1,96\cdot 1,5}{0,49}\right)^2=36$$
b)
Supongamos ahora que $\mu:=6$ kilogramos y que $n:=225$ ( tamaño de la m.a.s.). Por el teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(6\,;\,1,5/\sqrt{225})$. Entonces, $P\{\bar{X} \ge 5,75\}=P\{ Z \ge -2,5\} \quad \quad (1)$
puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $5,75 \rightarrow \dfrac{5,75-6}{1,5/\sqrt{225}}=-2,5$.
Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{\bar{X} \ge 5,75\}=$
$=P\{Z \ge -2,5\}$
$=P\{Z \le 2,5\}$ ( por la simetría con respecto al eje de ordenadas de la función $f(z)$ )
$=F(2,5)\overset{\text{tablas}\; N(0,1)}{=} 0,9938$
$\square$
a) En un estudio se tomó una muestra aleatoria simple ( m.a.s. ) de dichas mochilas escolares y se estimó la masa media utilizando un intervalo de confianza del $95\,\%$. La amplitud de este intervalo resultó ser de $0,49$ kilogramos. Obténgase el número de mochilas seleccionadas en dicha muestra.
b) Supóngase que $\mu=6$ kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de $225$ mochilas escolares, calcúlese la probabilidad de que el peso medio muestral supere los $5,75$ kilogramos, que es la cantidad máxima recomendada para los escolares de de estos cursos.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "masa de la mochila". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=1,5$ kilogramos. Entonces, por el teorema del Límite Central, el estimador de la media muestral sigue una distribución $$N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$$
El tamaño de la muestra, $n$, es desconocido, y nos proponemos determinarlo.
El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) es igual a $0,49$ kilogramos
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, podemos escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$ . Así, $0,49=1,96\cdot \dfrac{1,5}{\sqrt{n}}$ y despejando $n$ se llega a $$n=\left( \dfrac{1,96\cdot 1,5}{0,49}\right)^2=36$$
b)
Supongamos ahora que $\mu:=6$ kilogramos y que $n:=225$ ( tamaño de la m.a.s.). Por el teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(6\,;\,1,5/\sqrt{225})$. Entonces, $P\{\bar{X} \ge 5,75\}=P\{ Z \ge -2,5\} \quad \quad (1)$
puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $5,75 \rightarrow \dfrac{5,75-6}{1,5/\sqrt{225}}=-2,5$.
Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{\bar{X} \ge 5,75\}=$
$=P\{Z \ge -2,5\}$
$=P\{Z \le 2,5\}$ ( por la simetría con respecto al eje de ordenadas de la función $f(z)$ )
$=F(2,5)\overset{\text{tablas}\; N(0,1)}{=} 0,9938$
$\square$
Un ejercicio de cálculo de probabilidades ( teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes )
ENUNCIADO. De un estudio realizado en una región, se deduce que la probabilidad de que un niño de primaria juegue con consoloas de videojuegos más tiempo del recomendado por los especialistas es $0,60$. Entre estos niños, la probabilidad de fracaso escolar es $0,30$ mientras que, si no juegan más tiempo del recomendado, la probabilidad de fracaso escolar es $0,15$. Seleccionado un niño al azar de esta región, se pide:
a) Obténgase la probabilidad de que tenga fracaso escolar
b) Si tiene fracaso escolar, determínese cuál es la probabilidad de que no juegue con estas consolas más tiempo del recomendado.
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $\bar{R}$ al suceso dedicar más tiempo del recomendado a los videojuegos"; por $R$, al suceso "dedicar un tiempo que no exceda del recomendado a los videojuegos", y por $F$ al suceso "presentar problemas de fracaso escolar". Entonces, teniendo en cuenta que $P(\bar{R})=0,60$, $P(R)=1-P(\bar{R})=0,40$; $P(F|\bar{R})=0,30$ y $P(F|R)=0,15$:
a) Por el teorema de la probabilidad total, $P(F)=P(F|\bar{R})\,P(\bar{R})+P(F|R)\,P(R)=0,30\cdot 0,60+0,15\cdot 0,40=0,24$
b) Por el teorema de Bayes, $P(R|F)=\dfrac{P(F|R)\,P(R)}{P(F)}=\dfrac{0,15 \cdot 0,40}{0,24}=\dfrac{0,06}{0,24}=0,25$
$\square$
a) Obténgase la probabilidad de que tenga fracaso escolar
b) Si tiene fracaso escolar, determínese cuál es la probabilidad de que no juegue con estas consolas más tiempo del recomendado.
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $\bar{R}$ al suceso dedicar más tiempo del recomendado a los videojuegos"; por $R$, al suceso "dedicar un tiempo que no exceda del recomendado a los videojuegos", y por $F$ al suceso "presentar problemas de fracaso escolar". Entonces, teniendo en cuenta que $P(\bar{R})=0,60$, $P(R)=1-P(\bar{R})=0,40$; $P(F|\bar{R})=0,30$ y $P(F|R)=0,15$:
a) Por el teorema de la probabilidad total, $P(F)=P(F|\bar{R})\,P(\bar{R})+P(F|R)\,P(R)=0,30\cdot 0,60+0,15\cdot 0,40=0,24$
b) Por el teorema de Bayes, $P(R|F)=\dfrac{P(F|R)\,P(R)}{P(F)}=\dfrac{0,15 \cdot 0,40}{0,24}=\dfrac{0,06}{0,24}=0,25$
$\square$
Otro ejercicio de análisis de funciones
ENUNCIADO. Se consdiera la función real de variable real, $f(x)$, que se define de la siguiente manera:
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^x+k & \text{si} & x\le 0 \\ \\ 1-x^2 & \text{si} & 0\prec x \le 3 \\ \\ \dfrac{1}{x-3} & \text{si} & x \succ 3\end{matrix}\right.$$
a) Analícese la continuidad de la función en todo su dominio según los valores de $k$
b) Considerando $k=0$, obténgase el área del recinto acotado delimitado por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=-1$ y $x=1$
SOLUCIÓN.
a) La función $f(x)$ así definida puede presentar problemas de continuidad en $x=0$ y en $x=3$. Vamos a estudiar qué ocurre en estos puntos. En los demás puntos, la función es continua.
Veamos para qué valores del parámetro $k$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$. El límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)$ existe si los límites laterales existen y tienen el mismo valor:
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(e^x+k)=e^0+k=1+k$$
y
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(1-x^2)=1-0=1$$
luego el límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)$ existe si $k+1=1$, esto es, si $k=0$; y, en tal caso, $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)=1$
Por otra parte, para que la función sea continua en $x=0$, el valor del límite ha de ser igual al valor de la función en $x=0$; y así es, pues según la definición, con $k=0$, $f(0)=e^0+0=1$
En consecuencia, $f(x)$ es continua en $x=0$ si $k=0$.
Examinemos ahora la continuidad de la función $f(x)$ en $x=3$, que, según la definición, no depende ahora de $k$ ya que dicho parámetro sólo aparece en la definición del primer tramo, y no en la de los dos últimos. Recordemos que el límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,f(x)$ existe si los límites laterales existen y tienen el mismo valor:
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3^{-}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,(1-x^2)=1-3^2=-8$$
y
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3^{+}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,\dfrac{1}{x-3}=+\infty$$
Como el límite lateral por la derecha diverge, la función no es continua en $x=3$
b) Siendo $k:=0$, calculemos ahora el área pedida:
$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{-1}^{0}\,(e^x+0)\,dx\,\right|+\left|\int_{0}^{1}\,(1-x^2)\,dx\,\right|=$
$\displaystyle =\left| \left[ e^x \right]_{-1}^{0} \right|+\left| \left[x-\dfrac{1}{3}\,x^3\right]_{0}^{1}\right|$
$\displaystyle =\left| e^0-e^{-1} \right|+\left| \left(1-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3\right) - \left(0-\dfrac{1}{3}\cdot 0\right)\right|$
$=1-\dfrac{1}{e}+\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{e}\,(\text{unidades de longitud})^2$
$\square$
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}e^x+k & \text{si} & x\le 0 \\ \\ 1-x^2 & \text{si} & 0\prec x \le 3 \\ \\ \dfrac{1}{x-3} & \text{si} & x \succ 3\end{matrix}\right.$$
a) Analícese la continuidad de la función en todo su dominio según los valores de $k$
b) Considerando $k=0$, obténgase el área del recinto acotado delimitado por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=-1$ y $x=1$
SOLUCIÓN.
a) La función $f(x)$ así definida puede presentar problemas de continuidad en $x=0$ y en $x=3$. Vamos a estudiar qué ocurre en estos puntos. En los demás puntos, la función es continua.
Veamos para qué valores del parámetro $k$ la función $f(x)$ es continua en $x=0$. El límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)$ existe si los límites laterales existen y tienen el mismo valor:
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(e^x+k)=e^0+k=1+k$$
y
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(1-x^2)=1-0=1$$
luego el límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)$ existe si $k+1=1$, esto es, si $k=0$; y, en tal caso, $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0}\,f(x)=1$
Por otra parte, para que la función sea continua en $x=0$, el valor del límite ha de ser igual al valor de la función en $x=0$; y así es, pues según la definición, con $k=0$, $f(0)=e^0+0=1$
En consecuencia, $f(x)$ es continua en $x=0$ si $k=0$.
Examinemos ahora la continuidad de la función $f(x)$ en $x=3$, que, según la definición, no depende ahora de $k$ ya que dicho parámetro sólo aparece en la definición del primer tramo, y no en la de los dos últimos. Recordemos que el límite $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,f(x)$ existe si los límites laterales existen y tienen el mismo valor:
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3^{-}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,(1-x^2)=1-3^2=-8$$
y
$$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3^{+}}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,3}\,\dfrac{1}{x-3}=+\infty$$
Como el límite lateral por la derecha diverge, la función no es continua en $x=3$
b) Siendo $k:=0$, calculemos ahora el área pedida:
$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{-1}^{0}\,(e^x+0)\,dx\,\right|+\left|\int_{0}^{1}\,(1-x^2)\,dx\,\right|=$
$\displaystyle =\left| \left[ e^x \right]_{-1}^{0} \right|+\left| \left[x-\dfrac{1}{3}\,x^3\right]_{0}^{1}\right|$
$\displaystyle =\left| e^0-e^{-1} \right|+\left| \left(1-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3\right) - \left(0-\dfrac{1}{3}\cdot 0\right)\right|$
$=1-\dfrac{1}{e}+\dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{e}\,(\text{unidades de longitud})^2$
$\square$
Un ejercicio de análisis de funciones y de aplicaciones geométricas de la derivada de una función en un punto
ENUNCIADO. Se considera la función $$f(x)=\dfrac{8}{x^2+4}$$
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y obténganse sus asíntotas verticales y horizontales, si las tuviese
b) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=2$
SOLUCIÓN.
a) Para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, proporciona mucha información la posición de los extremos relativos, así como la naturaleza de los mismos ( máximos/mínimos ... ). La condición necesaria para encontrar extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función se obtiene $$f'(x)=\left( 8\,(x^2+4)^{-1}\right)'=-\dfrac{16\,x}{(x^2+4)^2}$$ e igualando a $0$, $$-\dfrac{16\,x}{(x^2+4)^2}=0 \Leftrightarrow x^*=0$$ así que la función tiene un sólo extremos relativo. Observemos que $f'(-1\prec 0) \succ 0$ y $f'(1\succ 0) \prec 0$, razón por la cual $x^*=0$ es la abscisa de un máximo relativo; por otra parte, $\text{Dom}\,f(x)=(-\infty,+\infty)$. De todo ello deduciomos que hay un único intervalo de crecimiento, $I^{\uparrow}=(-\infty,0)$, y un único intervalo de decrecimiento, $I^{\downarrow}=(0,+\infty)$
No hay asíntotas verticales, puesto que no existe ningún número real $k$ tal que $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,k}\,f(x)=\pm\,\infty$.
Veamos ahora si la función tiene alguna asíntota horizontal: $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,\pm\,\infty}\,f(x)= \lim_{x\,\rightarrow\,\pm\,\infty}\,\dfrac{8}{x^2+4}=\dfrac{8}{\infty}=0$, en consecuencia la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal cuya ecuación es $y=0$
b) Consideremos la ecuación de una recta tangente en un punto genérico: $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$, donde $m$ es el valor de la derivada de la función $f'(x)$ en el punto de abscisa $x$ y $k$ es la ordenada en el origen de dicha recta. Si particularizamos en $x:=2$, sabemos que:
i) $m=f'(2)$ luego $m=-\dfrac{16\cdot 2}{(2^2+4)^2}=-\dfrac{1}{2}$, con lo cual $\text{r.t. (en x=2)}\equiv y=-\dfrac{1}{2}\,x+k$
ii) Teniendo en cuenta ahora que $f(2)=\left( -\dfrac{1}{2}\,x+k \right)_{x:=2}$ se tiene que $\dfrac{8}{2^2+4}=-\dfrac{1}{2}\cdot 2+k \Rightarrow k=2$
En consecuencia, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=2$ es $\text{r.t. (en x=2)}\equiv y=-\dfrac{1}{2}\,x+2$
$\square$
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y obténganse sus asíntotas verticales y horizontales, si las tuviese
b) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=2$
SOLUCIÓN.
a) Para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, proporciona mucha información la posición de los extremos relativos, así como la naturaleza de los mismos ( máximos/mínimos ... ). La condición necesaria para encontrar extremos relativos es $f'(x)=0$. Derivando la función se obtiene $$f'(x)=\left( 8\,(x^2+4)^{-1}\right)'=-\dfrac{16\,x}{(x^2+4)^2}$$ e igualando a $0$, $$-\dfrac{16\,x}{(x^2+4)^2}=0 \Leftrightarrow x^*=0$$ así que la función tiene un sólo extremos relativo. Observemos que $f'(-1\prec 0) \succ 0$ y $f'(1\succ 0) \prec 0$, razón por la cual $x^*=0$ es la abscisa de un máximo relativo; por otra parte, $\text{Dom}\,f(x)=(-\infty,+\infty)$. De todo ello deduciomos que hay un único intervalo de crecimiento, $I^{\uparrow}=(-\infty,0)$, y un único intervalo de decrecimiento, $I^{\downarrow}=(0,+\infty)$
No hay asíntotas verticales, puesto que no existe ningún número real $k$ tal que $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,k}\,f(x)=\pm\,\infty$.
Veamos ahora si la función tiene alguna asíntota horizontal: $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,\pm\,\infty}\,f(x)= \lim_{x\,\rightarrow\,\pm\,\infty}\,\dfrac{8}{x^2+4}=\dfrac{8}{\infty}=0$, en consecuencia la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal cuya ecuación es $y=0$
b) Consideremos la ecuación de una recta tangente en un punto genérico: $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$, donde $m$ es el valor de la derivada de la función $f'(x)$ en el punto de abscisa $x$ y $k$ es la ordenada en el origen de dicha recta. Si particularizamos en $x:=2$, sabemos que:
i) $m=f'(2)$ luego $m=-\dfrac{16\cdot 2}{(2^2+4)^2}=-\dfrac{1}{2}$, con lo cual $\text{r.t. (en x=2)}\equiv y=-\dfrac{1}{2}\,x+k$
ii) Teniendo en cuenta ahora que $f(2)=\left( -\dfrac{1}{2}\,x+k \right)_{x:=2}$ se tiene que $\dfrac{8}{2^2+4}=-\dfrac{1}{2}\cdot 2+k \Rightarrow k=2$
En consecuencia, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=2$ es $\text{r.t. (en x=2)}\equiv y=-\dfrac{1}{2}\,x+2$
$\square$
Un ejercicio sobre sistemas de ecuaciones lineales
ENUNCIADO. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro real $m$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&0\\x&+&my&-&z&=&0\\ x&-&y&-&mz&=&0\end{matrix}\right.$$
a) Determínense los valores del parámetro real $m$ para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial $x=y=z=0$
b) Resuélvase el sistema para $m=1$
SOLUCIÓN.
a) Un sistema homogéneo no puede ser incompatible, ya que los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ( con la columna de los términos independientes, con ceros en todos sus elementos ) tienen el mismo rango. Ahora bien, puede suceder que dicho rango, $r$, sea igual al número de incógnitas $n$, en cuyo caso la solución es única ( solución trivial $x=y=\ldots=0$ ); o bien puede suceder que $r \prec n$, con lo cual el sistema es c. indeterminado, y la solución consta de infinitas $n$-tuplas, con una determinada estructura algebraica. Veamos cuál de los dos casos se da en función de los valores que tome $m$.
Escalonemos la matriz por reducción de Gauss para obtener una matriz equivalente en rango en la que se pueda contabilizar el número de filas no indenticamente nulas:
$\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -1 & -m\end{pmatrix} \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\sim} \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-m\end{pmatrix}$ Así pues:
i) Si $m\notin \{-1,1\}$, $r=3=n$, con lo cual el sistema es compatible determinado, y la solución es única ( la trivial ): $x=y=z=0$
ii) Si $m\in \{-1,1\}$, $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-4=3-2=1$ variable secundaria, constando la solución de infinitas ternas. Y este es el caso por el que estamos interesados, de acuerdo con el enunciado.
b) Al ser $m:=1$, estamos en el caso (ii) y por tanto el sistema es compatible indeterminado. La matriz de los coeficientes es ahora: $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}$, que reducida por Gauss queda $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, por lo que un sistema equivalente en solución es: $\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&0\\&&2y&&&=&0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0\\&&y&&&=&0\end{matrix}\right. \overset{z\overset{.}{=}\lambda}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda\\&&y&&&=&0\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right. \quad \forall\,\lambda \in \mathbb{R} $
La solución viene dada pues por las infinitas ternas $$\{(x,y,z)=\lambda\,(1,0,1):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
a) Determínense los valores del parámetro real $m$ para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial $x=y=z=0$
b) Resuélvase el sistema para $m=1$
SOLUCIÓN.
a) Un sistema homogéneo no puede ser incompatible, ya que los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ( con la columna de los términos independientes, con ceros en todos sus elementos ) tienen el mismo rango. Ahora bien, puede suceder que dicho rango, $r$, sea igual al número de incógnitas $n$, en cuyo caso la solución es única ( solución trivial $x=y=\ldots=0$ ); o bien puede suceder que $r \prec n$, con lo cual el sistema es c. indeterminado, y la solución consta de infinitas $n$-tuplas, con una determinada estructura algebraica. Veamos cuál de los dos casos se da en función de los valores que tome $m$.
Escalonemos la matriz por reducción de Gauss para obtener una matriz equivalente en rango en la que se pueda contabilizar el número de filas no indenticamente nulas:
$\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -1 & -m\end{pmatrix} \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_1+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\sim} \begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-m\end{pmatrix}$ Así pues:
i) Si $m\notin \{-1,1\}$, $r=3=n$, con lo cual el sistema es compatible determinado, y la solución es única ( la trivial ): $x=y=z=0$
ii) Si $m\in \{-1,1\}$, $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-4=3-2=1$ variable secundaria, constando la solución de infinitas ternas. Y este es el caso por el que estamos interesados, de acuerdo con el enunciado.
b) Al ser $m:=1$, estamos en el caso (ii) y por tanto el sistema es compatible indeterminado. La matriz de los coeficientes es ahora: $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}$, que reducida por Gauss queda $\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$, por lo que un sistema equivalente en solución es: $\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&0\\&&2y&&&=&0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0\\&&y&&&=&0\end{matrix}\right. \overset{z\overset{.}{=}\lambda}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda\\&&y&&&=&0\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right. \quad \forall\,\lambda \in \mathbb{R} $
La solución viene dada pues por las infinitas ternas $$\{(x,y,z)=\lambda\,(1,0,1):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
Un ejercicio rutinario sobre intervalos de confianza
ENUNCIADO. El precio mensual de las clases de Pilates en una región se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y varianza $\sigma^2=49\, \text{euros}^2$. Se pide:
a) Seleccionada una muestra aleatoria simple de $64$ centros en los que se imparte este tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de $34$ euros. Obténgase un intervalo de confianza al $99,2\,\%$ para estimar el precio medio mensual, $\mu$, de las clases de Pilates.
b) Determínese el tamaño muestral mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de $3$ euros, con una confianza del $95\,\%$
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "precio de las clases". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=\sqrt{49}=7$ euros y $\mu$ desconocida. Entonces, por el teorema del Límite Central, el estimador de la media muestral sigue una distribución $$N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$$ donde el tamaño de la muestra es $n=64$ centros.
El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $$(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad [1]$$ donde $$E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad \quad [2]$$
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,992$, $\alpha=0,008$ y por tanto $\alpha/2=0,004$, podemos escribir: $$P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,004=0,996$$ por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=2,65$, por lo que, de [2], obtenemos $$E=2,65\cdot \dfrac{7}{\sqrt{64}}\approx 2,32\;\text{euros}$$.
Teniendo en cuenta además que $\bar{x}=34$ euros, de [1], se llega al siguiente intervalo de confianza para la estimación de $\mu$ al $99,2\,\%$ de confianza: $$(34-2,32\,;\,34+2,32)=(31,68\;;\;36,32)\,\text{euros}$$
b)
El tamaño de la muestra, $n$, es ahora desconocido, y nos proponemos determinarlo.
El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) es igual a $3$ euros
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, podemos escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$.
Así, $E=1,96\cdot \dfrac{7}{\sqrt{n}}\prec 3\,\text{euros}$ en consecuencia $$n \succ \left( \dfrac{1,96\cdot 7}{3}\right)^2\approx 21\,\text{centros}$$
$\square$
a) Seleccionada una muestra aleatoria simple de $64$ centros en los que se imparte este tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de $34$ euros. Obténgase un intervalo de confianza al $99,2\,\%$ para estimar el precio medio mensual, $\mu$, de las clases de Pilates.
b) Determínese el tamaño muestral mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de $3$ euros, con una confianza del $95\,\%$
SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "precio de las clases". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=\sqrt{49}=7$ euros y $\mu$ desconocida. Entonces, por el teorema del Límite Central, el estimador de la media muestral sigue una distribución $$N(\mu_{\bar{X}}=\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$$ donde el tamaño de la muestra es $n=64$ centros.
El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $$(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E) \quad \quad [1]$$ donde $$E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad \quad [2]$$
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,992$, $\alpha=0,008$ y por tanto $\alpha/2=0,004$, podemos escribir: $$P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,004=0,996$$ por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=2,65$, por lo que, de [2], obtenemos $$E=2,65\cdot \dfrac{7}{\sqrt{64}}\approx 2,32\;\text{euros}$$.
Teniendo en cuenta además que $\bar{x}=34$ euros, de [1], se llega al siguiente intervalo de confianza para la estimación de $\mu$ al $99,2\,\%$ de confianza: $$(34-2,32\,;\,34+2,32)=(31,68\;;\;36,32)\,\text{euros}$$
b)
El tamaño de la muestra, $n$, es ahora desconocido, y nos proponemos determinarlo.
El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) es igual a $3$ euros
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$, podemos escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$.
Así, $E=1,96\cdot \dfrac{7}{\sqrt{n}}\prec 3\,\text{euros}$ en consecuencia $$n \succ \left( \dfrac{1,96\cdot 7}{3}\right)^2\approx 21\,\text{centros}$$
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