ENUNCIADO. Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A)=0,6$, $P(B)=0,8$ y $P(A\cap \bar{B})=0,1$. Se pide:
a) Calcúlese la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ si se sabe que no ha ocurrido el suceso $B$ y determínese si los sucesos $A$ y $\bar{B}$ son independientes.
b) Obténgase la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos
SOLUCIÓN.
a) $P(A|\bar{B})\overset{\text{Def. de p. condicionada}}{=}\dfrac{P(A \cap \bar{B}}{P(\bar{B}}=\dfrac{0,1}{1-0,8}=0,5$, y como $0,6=P(A)\neq P(A|\bar{B})=0,5 \Rightarrow A$ y $\bar{B}$ no son sucesos independientes.
b) $P(A\cup B)\overset{\text{formula de inclusión-exclusión}}{=}P(A)+P(B)-P(A \cap B) \quad \quad [1]$
Por otra parte $P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B) \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)-P(A\cap \bar{B})=$
$=0,6-0,1=0,5$ y sustituyendo este resultado en [1] llegamos a: $$P(A \cup B)=0,6+0,8-0,5=0,9$$
$\square$
jueves, 13 de junio de 2019
Un ejercicio rutinario de análisis de funciones que incluye la interpretación del primer teorema fundamental del cálculo, y la determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad convexidad.
ENUNCIADO. La derivada de una función real de variable real, $f(x)$, viene dada por $$f(x)=2\,x^2-4\,x-6$$
a) Obténgase la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0,3)$
b) Determínense los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y determínense los intervalos de concavidad y convexidad de esta función
SOLUCIÓN.
a) $f(x)=\displaystyle \,\int\,f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}\,x^3-2\,x^2-6\,x+C$ y como $f(0)=3$, $3=\dfrac{2}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0^2-6\cdot 0+C \Rightarrow C=3$, por consiguiente: $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x^3-2\,x^2-6\,x+3$$
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, encontramos $2\,x^2-4\,x-6=0$, esto es $$x^2-2\,x-3=0 \Leftrightarrow x^{*}=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ -1\end{matrix}\right.$$
Para ver si se trata de máximos o mínimos, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada. La segunda derivada de $f(x)$ es $f''(x)=4x-4$.
Entonces, como $f''(-1)=4\cdot (-1)-4=-8\prec 0$, tenemos un máximo relativo en $x_{1}^{*}=-1$, y su ordenada es $y_{1}^*=f(-1)=\dfrac{19}{3}$. Y por otra parte, $f''(3)=4\cdot 3-4=8\succ 0$, tenemos un mínimo relativo en $x_{2}^{*}=3$, y su ordenada es $y_{2}^*=f(3)=-15$
Al objeto de determinar los intervalos de concavidad y convexidad, calculemos los puntos de inflexión, que son las abscisas en las que $f''(x)=0$, esto es $4x-4=0\Leftrightarrow x=1$.
Para valores de $x$ menores que $1$ el signo de la segunda derivada es negativo, y es positivo para valores de $x$ mayores que $1$; en efecto, comprobémoslo: $f''(0\prec 1)=4\cdot 0-4 \prec 0$ y $f''(2\succ 1)=4\cdot 2-4 \succ 0$. Así pues tenemos la función es cóncava en $(-\infty,1)$ y convexa en $(1,+\infty)$ [M. Spivak: Calculus]
$\square$
a) Obténgase la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0,3)$
b) Determínense los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y determínense los intervalos de concavidad y convexidad de esta función
SOLUCIÓN.
a) $f(x)=\displaystyle \,\int\,f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}\,x^3-2\,x^2-6\,x+C$ y como $f(0)=3$, $3=\dfrac{2}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0^2-6\cdot 0+C \Rightarrow C=3$, por consiguiente: $$f(x)=\dfrac{2}{3}\,x^3-2\,x^2-6\,x+3$$
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, encontramos $2\,x^2-4\,x-6=0$, esto es $$x^2-2\,x-3=0 \Leftrightarrow x^{*}=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ -1\end{matrix}\right.$$
Para ver si se trata de máximos o mínimos, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada. La segunda derivada de $f(x)$ es $f''(x)=4x-4$.
Entonces, como $f''(-1)=4\cdot (-1)-4=-8\prec 0$, tenemos un máximo relativo en $x_{1}^{*}=-1$, y su ordenada es $y_{1}^*=f(-1)=\dfrac{19}{3}$. Y por otra parte, $f''(3)=4\cdot 3-4=8\succ 0$, tenemos un mínimo relativo en $x_{2}^{*}=3$, y su ordenada es $y_{2}^*=f(3)=-15$
Al objeto de determinar los intervalos de concavidad y convexidad, calculemos los puntos de inflexión, que son las abscisas en las que $f''(x)=0$, esto es $4x-4=0\Leftrightarrow x=1$.
Para valores de $x$ menores que $1$ el signo de la segunda derivada es negativo, y es positivo para valores de $x$ mayores que $1$; en efecto, comprobémoslo: $f''(0\prec 1)=4\cdot 0-4 \prec 0$ y $f''(2\succ 1)=4\cdot 2-4 \succ 0$. Así pues tenemos la función es cóncava en $(-\infty,1)$ y convexa en $(1,+\infty)$ [M. Spivak: Calculus]
$\square$
Un ejercicio de programación lineal
ENUNCIADO. Una voluntaria quiere preparar un helado artesano y horchata de auténtica chufa para un rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva $1$ hora de trabajo y la elaboración de $1$ litro de horchata $2$ horas. Como para preparar la horchata no se necesita leche, sabe que puede preparar hasta $15$ litros de helado con la leche de que dispone.
Para que haya suficiente para todos los asistentes, tiene que preparar al menos $10$ litros de helado y horchata, en un máximo de $20$ horas. Se pide:
a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores
b) Si el beneficio por litro de de $25$ euros para el helado y de $12$ euros para la horchata, obténgase la cantidad de producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $h$ y $r$ la cantidad ( en litros ) de horchata y de helado, respectivamente. Según las restricciones que se indican en el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de desigualdades, que determinan la región factible, $\mathcal{R}$ en la que habrá que encontrar la solución que se pide en el siguiente apartado.
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}h+2r\prec 20 & (1) \\ h\le 15 & (2) \\ h+r\ge 10 & (3) \\ h\ge 0 & (4)\\ r\ge 0& (5) \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}h\prec -2r+20 & (1)\\ h\le 15 & (2) \\ h\ge -r+10 & (3)\\ h\ge 0 & (4)\\ r\ge 0 & (5)\end{matrix}\right.$$ Las rectas sobre las que se encuentran los lados de esta región convexa del plano son: $$\left\{ \begin{matrix} r_1 \equiv & h &= & -2r+20 \\ r_2 \equiv & h &=& 15 \\ r_3 \equiv & h&=& -r+10 \\ r_4 \equiv& h& =& 0 \\ r_5 \equiv& r& =& 0 \end{matrix} \right.$$
La región que se obtiene se muetra en la siguiente figura ( tomamos $h$ como variable dependiente y $r$ como variable independiente ):
b)
La función objetivo es $f(h,r)=25h+12r$, luego haciendo $f(h,k():=k$, y despejando $h$, podemos escribir la ecuación de una recta arbitraria del haz de rectas paralelas que barren la región factible: $$h=-\dfrac{12}{25}\,r+\dfrac{k}{25}$$ por lo que, cuando la ordenada en el origen $\dfrac{k}{25}$ es màxima, se alcanza el valor máximo del beneficio para el correspondiente valor de $k_[E]$. Ésto ocurre cuando seleccionamos la recta del haz que pasa por el punto $E(2.5\,,\,15)$ tal como se aprecia en la siguiente figura:
El valor máximo pedido para los beneficios se obtendrá fabricando pues $h=12$ litros de helado y $r=2,5$ litros de orchata, su valor sera $f(h=15,r=2,5)=25\cdot 15+12\cdot 2,5=405$ euros.
$\square$
Para que haya suficiente para todos los asistentes, tiene que preparar al menos $10$ litros de helado y horchata, en un máximo de $20$ horas. Se pide:
a) Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores
b) Si el beneficio por litro de de $25$ euros para el helado y de $12$ euros para la horchata, obténgase la cantidad de producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $h$ y $r$ la cantidad ( en litros ) de horchata y de helado, respectivamente. Según las restricciones que se indican en el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de desigualdades, que determinan la región factible, $\mathcal{R}$ en la que habrá que encontrar la solución que se pide en el siguiente apartado.
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}h+2r\prec 20 & (1) \\ h\le 15 & (2) \\ h+r\ge 10 & (3) \\ h\ge 0 & (4)\\ r\ge 0& (5) \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}h\prec -2r+20 & (1)\\ h\le 15 & (2) \\ h\ge -r+10 & (3)\\ h\ge 0 & (4)\\ r\ge 0 & (5)\end{matrix}\right.$$ Las rectas sobre las que se encuentran los lados de esta región convexa del plano son: $$\left\{ \begin{matrix} r_1 \equiv & h &= & -2r+20 \\ r_2 \equiv & h &=& 15 \\ r_3 \equiv & h&=& -r+10 \\ r_4 \equiv& h& =& 0 \\ r_5 \equiv& r& =& 0 \end{matrix} \right.$$
La región que se obtiene se muetra en la siguiente figura ( tomamos $h$ como variable dependiente y $r$ como variable independiente ):
b)
La función objetivo es $f(h,r)=25h+12r$, luego haciendo $f(h,k():=k$, y despejando $h$, podemos escribir la ecuación de una recta arbitraria del haz de rectas paralelas que barren la región factible: $$h=-\dfrac{12}{25}\,r+\dfrac{k}{25}$$ por lo que, cuando la ordenada en el origen $\dfrac{k}{25}$ es màxima, se alcanza el valor máximo del beneficio para el correspondiente valor de $k_[E]$. Ésto ocurre cuando seleccionamos la recta del haz que pasa por el punto $E(2.5\,,\,15)$ tal como se aprecia en la siguiente figura:
El valor máximo pedido para los beneficios se obtendrá fabricando pues $h=12$ litros de helado y $r=2,5$ litros de orchata, su valor sera $f(h=15,r=2,5)=25\cdot 15+12\cdot 2,5=405$ euros.
$\square$
Álgebra lineal. Cálculo con matrices
ENUNCIADO. Se consideran las siguientes matrices:
$A=\begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0& 1& 0 \\ 4&0&3\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix}$ Se pide:
a) Obténgase el valor de $k\in \mathbb{R}$ para que la matiz $A-2\,B$ sea regular
b) Determínese si las matrices $C$ y $C^{t}C$ son inversibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas
SOLUCIÓN.
a) $$A-2\,B = \begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0&2 \\ 0& 2& 0 \\ 8&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2& 4 \\ -8&0&1\end{pmatrix}$$ luego la matriz $A-2B$ no es regular ( no es inversible ) en el caso de que $$\text{det}\,(A-2\,B)=\begin{vmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2&4 \\ -8&0&1\end{vmatrix}=2k-37=0\Leftrightarrow k=\dfrac{37}{2}$$ Por consiguiente, la matriz $A-2B$ es regular ( inversible ) si $k$ toma cualquier valor distinto de $\dfrac{37}{2}$.
b)
$C$ es una matriz $3\times 2$ y por tanto no es cuadrada, en consecuencia no es inversible.
$(C^t)_{2\times 3}\,C_{3\times 2} \rightarrow \text{matrix}\, 2\times 2$; procedamos realizar el producto: $$C^t\,C=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 1&-1&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&2\end{pmatrix}$$
Para que esta matriz sea inversible su determinante ha de ser distinto de cero. Veamos que, en efecto, lo es: $$\begin{vmatrix}2&1 \\ 1&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1=3\neq 0$$
Calculemos pues la matriz inversa asociada a $C^t\,C$. Emplearemos el método de reducción Gauss-Jordan.
$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right) \overset{-2f_1+f_1\,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right) \overset{3f_1+f_2\,\rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 6 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right)$
$ \overset{(1/6)\,f_1 \,\rightarrow f_1\,,\,(-1/3)\,f_2 \,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 4/6 & -2/6 \\ 0 & 1 & -1/3 & 2/3\end{array}\right)$
luego $$(C^t\,C)^{-1}=\begin{pmatrix}2/3&-1/3\\-1/3&2/3\end{pmatrix}$$
$\square$
$A=\begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0& 1& 0 \\ 4&0&3\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix}$ Se pide:
a) Obténgase el valor de $k\in \mathbb{R}$ para que la matiz $A-2\,B$ sea regular
b) Determínese si las matrices $C$ y $C^{t}C$ son inversibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas
SOLUCIÓN.
a) $$A-2\,B = \begin{pmatrix}k&1&2 \\ 1& 4& 4 \\ 0&0&7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0&2 \\ 0& 2& 0 \\ 8&0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2& 4 \\ -8&0&1\end{pmatrix}$$ luego la matriz $A-2B$ no es regular ( no es inversible ) en el caso de que $$\text{det}\,(A-2\,B)=\begin{vmatrix}k-2&1&0 \\ 1& 2&4 \\ -8&0&1\end{vmatrix}=2k-37=0\Leftrightarrow k=\dfrac{37}{2}$$ Por consiguiente, la matriz $A-2B$ es regular ( inversible ) si $k$ toma cualquier valor distinto de $\dfrac{37}{2}$.
b)
$C$ es una matriz $3\times 2$ y por tanto no es cuadrada, en consecuencia no es inversible.
$(C^t)_{2\times 3}\,C_{3\times 2} \rightarrow \text{matrix}\, 2\times 2$; procedamos realizar el producto: $$C^t\,C=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 1&-1&0\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1 \\ 0& -1 \\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1 \\ 1&2\end{pmatrix}$$
Para que esta matriz sea inversible su determinante ha de ser distinto de cero. Veamos que, en efecto, lo es: $$\begin{vmatrix}2&1 \\ 1&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-1\cdot 1=3\neq 0$$
Calculemos pues la matriz inversa asociada a $C^t\,C$. Emplearemos el método de reducción Gauss-Jordan.
$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right) \overset{-2f_1+f_1\,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right) \overset{3f_1+f_2\,\rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 6 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & -2\end{array}\right)$
$ \overset{(1/6)\,f_1 \,\rightarrow f_1\,,\,(-1/3)\,f_2 \,\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 4/6 & -2/6 \\ 0 & 1 & -1/3 & 2/3\end{array}\right)$
luego $$(C^t\,C)^{-1}=\begin{pmatrix}2/3&-1/3\\-1/3&2/3\end{pmatrix}$$
$\square$
sábado, 9 de junio de 2018
Probabilidad y estadística. Intervalos de confianza
ENUNCIADO. El número de descargas por hora de cierta aplicación para móviles, se puede aproximar por una variable
aleatoria de distribución normal de media $\mu$ descargas y desviación típica $\sigma = 20$ descargas.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de $40$ horas, obteniéndose una media muestral de $99,5$ descargas.
Determínese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$.
b) Supóngase que $\mu = 100$ descargas. Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple (m.a.s.)
de $10$ horas, la media muestral, $\bar{X}$, esté entre $100$ y $110$ descargas.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de descargas por hora". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=20$ descargas. La media de la muestral es $\bar{x}=99,5$ descargas, siendo el tamaño de la muestra $n=40$. El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) y sabemos que se calcula de la forma $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$ . Así pues $E=1,96\cdot \dfrac{20}{\sqrt{40}} \approx 6,2$ ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $I=(99'5-6,2\,,\,99'5+6'2)$, esto es $\mu$ está en el intervalo $I=(93'3\,,\,105'7)$
b)
Supongamos ahora que $\mu:=100$ descargas y que $n:=10$ ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(100\,,\,20/\sqrt{10})$. Entonces, $P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\} \quad \quad (1)$ puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $100 \rightarrow \dfrac{100-100}{20/\sqrt{10}}=0$ y $100 \rightarrow \dfrac{110-100}{20/\sqrt{10}} \approx 1,58$. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\}=P\{ Z \le 1,58\}-P\{ Z \le 0\}=$
$=F(1,58)-F(0)\overset{\text{tablas}\; N(0,1)}{=} 0,9429-0,5 = 0,4429$
$\square$
aleatoria de distribución normal de media $\mu$ descargas y desviación típica $\sigma = 20$ descargas.
a) Se toma una muestra aleatoria simple de $40$ horas, obteniéndose una media muestral de $99,5$ descargas.
Determínese un intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$.
b) Supóngase que $\mu = 100$ descargas. Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple (m.a.s.)
de $10$ horas, la media muestral, $\bar{X}$, esté entre $100$ y $110$ descargas.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de descargas por hora". Sabemos que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\sigma=20$ descargas. La media de la muestral es $\bar{x}=99,5$ descargas, siendo el tamaño de la muestra $n=40$. El intervalo de confianza en la estimación de la media de la población $\mu$ viene dado por $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ) y sabemos que se calcula de la forma $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0,95$, $\alpha=0,05$ y por tanto $\alpha/2=0,025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0,025=0,975$, por lo que, consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$, encontramos el siguiente valor para la abscisa crítica: $z_{\alpha/2}=1,96$ . Así pues $E=1,96\cdot \dfrac{20}{\sqrt{40}} \approx 6,2$ ( aproximando por exceso ), luego el intervalo de confianza pedido es $I=(99'5-6,2\,,\,99'5+6'2)$, esto es $\mu$ está en el intervalo $I=(93'3\,,\,105'7)$
b)
Supongamos ahora que $\mu:=100$ descargas y que $n:=10$ ( tamaño de la m.a.s.). Por el Teorema del Límite Central, sabemos que $\bar{X} \sim N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, esto es $N(100\,,\,20/\sqrt{10})$. Entonces, $P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\} \quad \quad (1)$ puesto que, al tipificar la variable aleatoria $\bar{X}$ mediante la transformación $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$, se obtiene: $100 \rightarrow \dfrac{100-100}{20/\sqrt{10}}=0$ y $100 \rightarrow \dfrac{110-100}{20/\sqrt{10}} \approx 1,58$. Por tanto, prosiguiendo en (1), encontramos:
$P\{100 \le \bar{X} \le 110\}=P\{ 0 \le Z \le 1,58\}=P\{ Z \le 1,58\}-P\{ Z \le 0\}=$
$=F(1,58)-F(0)\overset{\text{tablas}\; N(0,1)}{=} 0,9429-0,5 = 0,4429$
$\square$
Cálculo de probabilidades. Teorema de Bayes
ENUNCIADO. En una comunidad de vecinos en el $70\,\%$ de los buzones aparece en primer lugar un nombre masculino y en el $30\,\%$ restante un nombre femenino. En dicha comunidad, la probabilidad de que un hombre trabaje es de $0,8$ y la probabilidad de que lo haga una mujer es $0,7$. Se elige un buzón al azar, calcúlese la probabilidad de que el primer nombre en el buzón corresponda a:
a) Una persona que trabaja.
b) Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.
SOLUCIÓN. Denotemos por $H$ al suceso "elegir unbuzón en el que figure el nombre de una persona de género masculino en primer lugar",y por $M$, "elegir un buzón en el que aparezca una persona de género femenino en primer lugar", y por $T$ al suceso "elegir una persona que trabaje"
Del enunciado, sabemos que $P(H)=0,7$, $P(M)=0,3$; $P(T|H)=0'8$, y $P(T|M)=0'7$ . Entonces:
a) $P(T)=P((T \cap H) \cup ( (T \cap M))$
$=P(T\cap H) +P(T \cap M)$ ( $T \cap H$ y $T \cap M$ son sucesos incompatibles )
$=P(T|H)P(H)+P(T|M)P(M)$ ( por la fórmula de la probabilidad condicionada )
$=0,8\cdot 0,7+0,7\cdot 0,3$
$=0,77$
b) Por el teorema de Bayes, podemos escribir:
$P(H|T)=\dfrac{P(T|H)P(H)}{P(T)}$
$=\dfrac{0,8\cdot 0,7}{0,77}\approx 0,7273$
$\square$
a) Una persona que trabaja.
b) Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.
SOLUCIÓN. Denotemos por $H$ al suceso "elegir unbuzón en el que figure el nombre de una persona de género masculino en primer lugar",y por $M$, "elegir un buzón en el que aparezca una persona de género femenino en primer lugar", y por $T$ al suceso "elegir una persona que trabaje"
Del enunciado, sabemos que $P(H)=0,7$, $P(M)=0,3$; $P(T|H)=0'8$, y $P(T|M)=0'7$ . Entonces:
a) $P(T)=P((T \cap H) \cup ( (T \cap M))$
$=P(T\cap H) +P(T \cap M)$ ( $T \cap H$ y $T \cap M$ son sucesos incompatibles )
$=P(T|H)P(H)+P(T|M)P(M)$ ( por la fórmula de la probabilidad condicionada )
$=0,8\cdot 0,7+0,7\cdot 0,3$
$=0,77$
b) Por el teorema de Bayes, podemos escribir:
$P(H|T)=\dfrac{P(T|H)P(H)}{P(T)}$
$=\dfrac{0,8\cdot 0,7}{0,77}\approx 0,7273$
$\square$
Análisis de funciones. Cálculo integral. Recta tangente.
ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$$
a) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $Ox$
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
SOLUCIÓN. a) Las abscisas de los puntos de corte del eje $Ox\equiv y=0$ y la gráfica de la función $f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$, esto es, son las raíces de la función $f(x)$. Procedemos a encontrarlas: De $2\,x^3-5\,x^2+3\,x=0$, sacando factor común de $x$, podemos escribir $$x\,(2\,x^2-5\,x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 2\,x^2-5\,x+3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 \\ x=3/2\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$ El área pedida se calcula de la forma $$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx\right|$$
La familia de primitivas de $f(x)$ es $\displaystyle \int\,f(x)=\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2+C$ luego una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)\overset{C:=0}{=}\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$. Entonces, $\displaystyle \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right||F(1)-F(0)|=|\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}|=\dfrac{1}{3}$
y
$\displaystyle \left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx=\right|F(3/2)-F(1)|=$
$=|\dfrac{1}{2}\cdot (3/2)^4-\dfrac{5}{3}\cdot (3/2)^3+\dfrac{3}{2}\cdot (3/2)^2-1/3|=\dfrac{5}{96}$
Así pues, de (1), llegamos al resultado pedido: $$\text{Área}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{96}=\dfrac{37}{96}\,\text{unidades arbitrarias de área}$$
b)
La recta tangente tiene por ecuación $\text{r.t.}\equiv y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente en el punto de abscisa $x=0$ y $k$ es la ordenada en el origen. Procedemos a calcular el valor de $m$; $m\overset{\text{def}}{=}f'(0)$ y como la función derivada es $f'(x)=6x^2-10x+3$ tenemos que $m=3$. Por otra parte, la ordenada en el origen, $k$, se obtiene teniendo en cuenta que $$f(0)=y|_{x=0}^{\text{recta tangente}}$$ luego $$0=m\cdot 0+k \Rightarrow k=0$$ con lo cual ya podemos escribir la ecuación de la recta tangente en el punto dado ( de abscisa $x=0$ ) $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x+0$$ esto es $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x$$
$\square$
a) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $Ox$
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
SOLUCIÓN. a) Las abscisas de los puntos de corte del eje $Ox\equiv y=0$ y la gráfica de la función $f(x)=2\,x^3-5\,x^2+3\,x$, esto es, son las raíces de la función $f(x)$. Procedemos a encontrarlas: De $2\,x^3-5\,x^2+3\,x=0$, sacando factor común de $x$, podemos escribir $$x\,(2\,x^2-5\,x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 2\,x^2-5\,x+3=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 \\ x=3/2\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$ El área pedida se calcula de la forma $$\displaystyle \text{Área}=\left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx\right|$$
La familia de primitivas de $f(x)$ es $\displaystyle \int\,f(x)=\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2+C$ luego una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)\overset{C:=0}{=}\dfrac{1}{2},x^4-\dfrac{5}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$. Entonces, $\displaystyle \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right||F(1)-F(0)|=|\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}|=\dfrac{1}{3}$
y
$\displaystyle \left|\int_{1}^{3/2}\,f(x)\,dx=\right|F(3/2)-F(1)|=$
$=|\dfrac{1}{2}\cdot (3/2)^4-\dfrac{5}{3}\cdot (3/2)^3+\dfrac{3}{2}\cdot (3/2)^2-1/3|=\dfrac{5}{96}$
Así pues, de (1), llegamos al resultado pedido: $$\text{Área}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{96}=\dfrac{37}{96}\,\text{unidades arbitrarias de área}$$
b)
La recta tangente tiene por ecuación $\text{r.t.}\equiv y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente en el punto de abscisa $x=0$ y $k$ es la ordenada en el origen. Procedemos a calcular el valor de $m$; $m\overset{\text{def}}{=}f'(0)$ y como la función derivada es $f'(x)=6x^2-10x+3$ tenemos que $m=3$. Por otra parte, la ordenada en el origen, $k$, se obtiene teniendo en cuenta que $$f(0)=y|_{x=0}^{\text{recta tangente}}$$ luego $$0=m\cdot 0+k \Rightarrow k=0$$ con lo cual ya podemos escribir la ecuación de la recta tangente en el punto dado ( de abscisa $x=0$ ) $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x+0$$ esto es $$\text{r.t.}\equiv y=3\,x$$
$\square$
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