Calcular la integral indefinida ...

ENUNCIADO:
A partir del Primer Teorema Fundamental del Cálculo, calcular la familia de primitivas de la función $f(x)=(x+1)^2$

SOLUCIÓN:
Se nos pide que calculemos la integral indefinida $\int \, f(x)dx$; para ello, debemos encontrar una función $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$; y, por tanto, $(F(x)+C)'=f(x)$, por ser $C$ una constante arbitraria. Daremos, pues, como respuesta: $F(x)+C$. Vamos a calcularlo:

Haciendo el cambio de variable $u=x+1$ y derivando respecto de $x$: $u'=(x+1)'=1$, luego $\dfrac{du}{dx}=1$; esto es, $du=dx$. Así, $\int \, f(x)dx=\int\,u^2\,du=\dfrac{1}{3}\,u^3+C$; y, deshaciendo el cambio de variable, encontramos que la integral pedida es $\dfrac{1}{3}\,(x+1)^3+C$, donde $C$ es una constante arbitraria.

Comprobación:
$\left( \dfrac{1}{3}\,(x+1)^3+C\right)'=\dfrac{1}{3}\cdot 3 (x+1)^2+0=(x+1)^2$

$\square$

[nota del autor]

Encontrar los máximos y mínimos locales

ENUNCIADO:
Encontrar los máximos y mínimos locales de la función $$f(x)=x^3+2x^2-1$$

SOLUCIÓN:
De existir extremos relativos, la derivada primera debe anularse en dichos puntos. Derivando la función e imponiendo esta condición, $f'(x)=0$,obtenemos $$3x^2+4x=0$$ que resolvemos factorizando el primer miembro $$x(3x+4)=0$$
obteniendo como solución: $0$ y $-\dfrac{4}{3}$

A continuación, analicemos la naturaleza de dichos extremos relativos; para ello, empleamos, en este ejercicio, el criterio de la segunda derivada ( por tratarse $f(x)$ de un polinomio y no presentar dificultad alguna en el cálculo de derivadas ): $$f''(x)=6x+4$$
Así, $f''(0)=6 \cdot 0 +4 = 4 \succ 0$; hay, pues, de un mínimo local ( o mínimo relativo ) en el punto de abscisa $x=0$; su ordenada es $f(0)=-1$. Por otra parte, $f''(-4/3)=-4 \prec 0$, de lo cual deducimos que hay un máximo local ( o máximo relativo ) en el punto de abscisa $x=-4/3$, y su ordenada es $f(-4/3)=5/27$. $\square$

[nota del autor]

Determinar las asíntotas de la función ...

ENUNCIADO:
Determinar las rectas asíntotas de la función $$f(x)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{x}$$

SOLUCIÓN:
Las rectas asíntotas perpendiculares al eje de abscisas, de ecuación $x=k$, cumplen la siguiente condición $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow k}\,f(x)= \pm \infty$$ Observemos que $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)= -\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)= +\infty$$ encontrando, pues, una recta asíntota ( vertical ) de ecuación $x=0$. Nota: observemos que en $x=0$, la función presenta problemas de definición al anularse ( para dicho valor ) el denominador ( y no el numerador ).

Las recta asíntotas oblícuas ( entre las cuales incluimos las horizontales ) tienen por ecuación $y=mx+k$. La pendiente $m$ se determina mediante el límite $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$ ( la recta asíntota es tangente a la gráfica de la función en el infinito ), que lo mismo que $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$; y, una vez conocido dicho valor, podemos calcular la ordenada en el origen $k$ despejándola de la ecuación ( de la recta asíntota ) a la vez que pasamos al límite ( por operar en el infinito): $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\left( f(x)-mx \right)$. Observemos que el límite que nos da el valor de $m$ diverge; en efecto, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,(2x+1-\dfrac{1}{x^2})=\infty$, por lo cual concluimos que no existen asíntotas oblícuas. $\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

ENUNCIADO:
Calcular el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^x-1}{x}$$

SOLUCIÓN:
Al pasar al límite nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$. Para resolverla, aplicamos la regla de L'Hôpital,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^x-1}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(e^x-1)'}{(x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^x}{1}=e^0=1$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ...

ENUNCIADO:
Calcular la integral indefinida $$\int\,\dfrac{1+\ln{x}}{x}\,dx$$

SOLUCIÓN:
Mediante el cambio de variable $$t=1+\ln{x}$$
obtenemos ( diferenciando en cada miembro ),
$$dt=\dfrac{1}{x}\,dx$$
por lo que la integral pedida puede escribirse de la forma
$$\int\,t\,dt$$
que es de fácil integración, obteniendo
$$\dfrac{1}{2}\,t^2+C$$
y, deshaciendo el cambio de variable, encontramos la familia de primitivas de la función $\dfrac{1+\ln{x}}{x}$,
$$\dfrac{1}{2}\,(1+\ln{x})^2+C$$
donde $C$ es la constante de integración
$\square$

[nota del autor]

Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss Jordan. Ejemplo.

Ejercicio de resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan: [aquí] $\diamond$

Calcular el límite de la sucesión numérica cuyo término general es ...

Enunciado:
Calcular el límite de la sucesión de números reales, de término general¡
    $a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$

Solución:
Al pasar al límite
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty - \infty$
que resolveremos multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada del argumento del límite
    $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$
entonces,
    $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\,\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$
      $\displaystyle=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{\big(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\big)\big(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\big)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
        $\displaystyle=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{n-(n+1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
        $\displaystyle=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
        $=\dfrac{-1}{\infty}$
        $=0$
$\blacksquare$

[nota del autor]