Tarea de progresión número 4 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre

Ejercicio número 37, página 25 del libro base

Tarea de progresión número 3 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre

Ejercicio número 21, apartados (a) y (b), de la página 24 del libro base

ENUNCIADO.
No se pide que se encutre la solución ( caso de existir ), sino simplemente que se analicen estos dos sitemas, después de realizar la reducción por Gauss.

a)
$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ 2x&-&y&+&3z&=&2\\ 5x&-&y&+&z&=&6\end{matrix}\right.\quad \begin{matrix}\\ (-2)\cdot e_1+e_2 \rightarrow e_2 \\ (-5)\cdot e_1+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \quad \sim$

$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&-3y&-&z&=&-2\\ &&-6y&-&9z&=&-4\end{matrix}\right. \quad \sim \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&3y&+&z&=&2\\ &&6y&+&9z&=&4\end{matrix}\right.$

$\begin{matrix}\\ \\ (-2)\cdot e_2+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \sim \quad \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&3y&+&z&=&2\\ &&&&7z&=&0\end{matrix}\right.$

Como el número de ecuaciones no identicamente nulas del sistema equivalente (reducido por Gauss) es $3$, luego el rango del sistema es $r=3$, que coincide con el número de incógnitas ( $n=3$ ), de lo cual se desprende que el sistema es compatible determinado.


b)
$\left\{ \begin{matrix}x&+&2y&+&z&=&9 \\ 2x&-&y&+&2z&=&-2\\ x&+&y&+&2z&=&8\end{matrix}\right.\quad \begin{matrix}\\ (-2)\cdot e_1+e_2 \rightarrow e_2 \\ (-1)\cdot e_1+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \quad \sim$

$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&-5y&&&=&-20\\ &&-y&+&z&=&-1\end{matrix}\right. \quad \sim \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&y&&&=&4\\ &&y&-&z&=&1\end{matrix}\right.$

$\begin{matrix}\\ \\ (-1)\cdot e_2+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \sim \quad \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&y&&&=&4\\ &&&&-z&=&-3\end{matrix}\right. \quad \sim$

$$\quad \sim \quad \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&y&&&=&4\\ &&&&z&=&3\end{matrix}\right.$$

Como en el caso precedente, tenemos que el número de ecuaciones no identicamente nulas del sistema equivalente (reducido por Gauss) es $3$, luego el rango del sistema es $r=3$, que coincide con el número de incógnitas ( $n=3$ ), y por tanto el sistema es compatible determinado.

$\square$

Tarea de progresión número 2 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre

Ejercicio número 20, apartado (a), de la página 24 del libro base

ENUNCIADO. Clasifica y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss
$$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&z&=&2 \\ x&-&y&+&2z&=&1\\ 2x&+&y&+&2z&=&0\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&z&=&2 \\ x&-&y&+&2z&=&1\\ 2x&+&y&+&2z&=&0\end{matrix}\right.\quad \begin{matrix}\\ (-1)\cdot e_1+e_2 \rightarrow e_2 \\ (-1)\cdot e_1+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \quad \sim$

$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&z&=&2 \\ &&-2y&+&z&=&-11\\ &&3y&-&2z&=&-2\end{matrix}\right.\quad \begin{matrix}\\ \\ 3\, e_1+2\,e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \quad \sim$

$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&z&=&2 \\ &&-2y&+&z&=&-11\\ &&&&-z&=&-7\end{matrix}\right.$

Ya reducido el sistema por Gauss, vemos que el rango del sistema es $3$, pues las tres ecuaciones son independientes; y como el número de incógnitas coincide con el rango del sistema, éste es compatible y determinado. Veamos ahora cuál es la solución. De la tercera ecuación, deducimos que $z=7$. Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación y despejando la segunda incógnita vemos que $-2y+7=-1 \Rightarrow y=4$. Finalmente, sustituyendo estos dos resultados en la primera ecuación, $x+7+4=2 \Rightarrow x=-9$
$\square$

Tarea de progresión número 1 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre

Ejercicio número 19, apartado (b), de la página 24 del libro base

ENUNCIADO. Clasifica y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss
$$\left\{ \begin{matrix}x&&&+&z&=&3 \\ x&+&y&&&=&3\\ x&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
$\left\{ \begin{matrix}x&&&+&z&=&3 \\ x&+&y&&&=&3\\ x&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right. \overset{e_1 \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0\\ x&+&y&&&=&3\\ x&&&+&z&=&3 \end{matrix}\right.$

$\begin{matrix} \\ (-1)\cdot e_1+e_2 \rightarrow e_2 \\ (-1)\cdot e_1+e_3 \rightarrow e_3\end{matrix} \quad \left\{ \begin{matrix}x&&&+&z&=&3 \\ &&&&-z&=&3\\ &&-y&&&=&-3\end{matrix}\right.$

Llegados a este punto es claro que las tres ecuaciones del sistema equivalente son independientes ( el rango del sistema es $3$ ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

Procedemos a encontrar la solución. De la tercera ecuación se obtiene fácilmente $z=-3$; y, de la segund, $y=-3$. Y sustituyendo estos dos resultados en la primera se llega a $x-3-3=0$ y por tanto $z=6$
$\square$

Ejercicio B.4 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. En un instituto se decide que los alumnos y alumnas sólo pueden utilizar un único color (azul o negro) al realizar los exámenes. Dos de cada tres exámenes están escritos en azul. La probabilidad de que un examen escrito en azul sea de una alumna es de $0,7$. La probabilidad de que un examen esté escrito en negro y sea de un alumno es $0,2$. Supóngase que se elige un examen al azar. Calcúlese la probabilidad de que:
a) Sea el examen de un alumno
b) Sabiendo que está escrito en negro, sea de un alumno

SOLUCIÓN.
Denotemos por $V$ al suceso "el examen está escrito por un alumno"; por $F$, al suceso "el examen está escrito por una alumna"; por $N$ al suceso "el examen está escrito en negro", y por $A$ al suceso "el examen está escrito en azul".

Según los datos del enunciado: $P(A)=\dfrac{2}{3}$; $P(F|A)=0,7$ y $P(V\cap N)=0,2$
a)
Podemos escribir que
$P(V)=P\left(( V \cap A) \cup ( V \cap N)\right)$ y como los dos sucesos de la unión son incompatible, tenemos que
  $P(V)=P(V \cap A)+P(V \cap N)$
    $P(V)=P(V|A)\cdot P(A)+P(V \cap N)$
      $P(V)=P(\bar{F}|A)\cdot P(A)+P(V \cap N)$ ( teorema de la probabilidad total )
        $P(V)=\left(1-P(F|A)\right)\cdot P(A)+P(V \cap N)$
          $P(V)=(1-0,7)\cdot \dfrac{2}{3}+0,2$
            $P(V)=0,3\cdot \dfrac{2}{3}+0,2$
              $P(V)=\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{10}$
                $P(V)=2\cdot\dfrac{2}{10}$
                  $P(V)=\dfrac{2}{5}$

b)
$P(V|N)=\dfrac{P(V\cap N)}{P(N)}$ ( por definición de la probabilidad condicionada; en este caso, del suceso $V$ por el suceso $N$ )
    $P(V|N)=\dfrac{P(V\cap N)}{P(\bar{A})}$
      $P(V|N)=\dfrac{P(V\cap N)}{1-P(A)}$ ( propiedad de la probabilidad del suceso contrario, el del denominador )
        $P(V|N)=\dfrac{0,2}{1-0,7}$
          $P(V|N)=\dfrac{2/10}{3/10}$
            $P(V|N)=\dfrac{2}{3}$

$\square$

Ejercicio A.4 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A|B)=\dfrac{1}{4}$, $P(B)=\dfrac{1}{6}$ y $P(A)=\dfrac{2}{3}$, Calcúlese:
a) $P(A \cup \bar{B})$
b) $P\left( (\bar{A} \cap B) \cup ( \bar{B} \cap A)\right)$
SOLUCIÓN.
a)
$P(A \cup \bar{B})=P(A)+P(\bar{B})-P(A\cap\bar{B})=$
  $=P(A)+(1-P(B))-(P(A)-P(A\cap{B}))$
    $=1-P(B)+P(A\cap B)$
      $=1-P(B)+P(A|B) \cdot P(B)$
        $=1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{6}$
          $=\dfrac{7}{8}$

b)
$P\left( (\bar{A} \cap B) \cup ( \bar{B} \cap A)\right)=$
  $=P(A\cup B) - P(A\cap B)$
    $=\left( P(A)+P(B)-P(A\cap B)\right) - P(A\cap B)$
      $=P(A)+P(B)-2\,P(A\cap B)$
        $=P(A)+P(B)-2\,P(A|B)\cdot P(B)$
          $=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}-2\cdot \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{6}$
            $=\dfrac{3}{4}$

$\square$

Ejercicio B.1 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependendite del parámetro $a\in \mathbb{R}$:
$$\left\{\begin{matrix}x&-&a\,y&&&=&1 \\ ax&-&4y&-&z&=&2 \\ 2x&+&ay&-&z&=&a-4 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$
b) Resuélvase el sistema para $a:=3$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz de los coeficientes, ampliada con los términos independientes es $$(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&-a&0&1 \\ a&-4&-1&2 \\ 2&a&-1&a-4\end{array}\right)$$ Procedemos al estudio de su rango. Observemos que el determinante de la submatriz formada por las elementos de las dos primeras filas y de la tercera y cuarta columna es distinto de cero $$\begin{vmatrix}0&1\\-1&2\end{vmatrix}=1\neq 0 \Rightarrow \text{rango}(A|b) \ge 2$$
Orlando dicha submatriz se obtienen dos submatrices de orden $3$:
$$\begin{vmatrix}1&0&1\\a&-1&2\\2&-1&a-4\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a=4$$
$$\begin{vmatrix}-a&0&1\\-4&-1&2\\a&-1&a-4\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a=\left\{\begin{matrix}1\\ \\ 4\end{matrix}\right.$$ De lo cual se desprende que si $a:=4$, entonces $\text{rango}(A|b)=2$, y si $a\neq4$, $\text{rango}(A|b)=3$

-oOo- Estudiemos ahora el rango de la matriz de los coeficientes $A=\left(\begin{array}{ccc}1&-a&0 \\ a&-4&-1 \\ 2&a&-1\end{array}\right)$
Observemos que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1&-a&0 \\ a&-4&-1 \\ 2&a&-1\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow a=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\ 4\end{matrix}\right.$
Por consiguiente, si $a:=4$, $\text{rango}(A)\prec 3$, y como uno de los menores complementarios de orden $2$, $\begin{vmatrix}1&-4\\4&-4\end{vmatrix}=12$, es distinto de $0$, se desprende de ello que, para dicho valor de $a$, $\text{rango}(A)=2$

-oOo-
Así, estamos ya en condiciones de concluir el análisis, teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Fröbenius. Distinguiremos entre los siguientes casos:

I) Si $a:=-1$, $\text{rango}(A)=2\neq\text{rango}(A|b)=3$, por consiguiente el sistema es incompatible

II) Si $a:=4$, $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=2\prec n=3$ ( $n$ representa el número de incógnitas ), luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales

III) Si $a \notin \{-1,4\}, r\overset{.}{=} \text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=3=n$, con lo cual el sistema es compatible determinado


b)
Para $a:=3$, nos encontramos en el caso (III), el sistema es compatible determinado ( existe un único valor para cada incógnita ). Procedamos a resolver el sistema en estas condiciones:
$\left\{\begin{matrix}x&-&3\,y&&&=&1 \\ 3x&-&4y&-&z&=&2 \\ 2x&+&3y&-&z&=&-1 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}-z&+&3\,y&+&2x&=&-1 \\ -z&-&4y&+&3x&=&2 \\ &&-3y&+&x&=&1\end{matrix}\right.$
Restando la segunda ecuación de la primera y substituyendo la segunda ecuación original por la ecuación resultante, obtenemos el sistema equivalente:
$\left\{\begin{matrix}-z&+&3\,y&+&2x&=&-1 \\ &&-7y&-&x&=&-3 \\ &&-3y&+&x&=&1\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}-z&+&2x&+&3y&=&-1 \\ &&-x&+&7y&=&-3 \\ &&x&-&3y&=&1\end{matrix}\right.$
Sumando la segunda ecuación a la tercera y substituyendo la tercera ecuación de partida por la ecuación resultante, obtenemos el sistema equivalente escalonado:
$$\left\{\begin{matrix}-z&+&2x&+&3y&=&-1 \\ &&-x&+&7y&=&-3 \\ &&&&4y&=&-2\end{matrix}\right.$$ De la última ecuación se obtiene el valor de la tercera incógnita: $y=-\dfrac{1}{2}$; susbstituyendo ése resultado en la segunda ecuación, se llega a $x=-\dfrac{1}{2}$; y, poniendo estos dos resultados en el lugar de las respectivas variables en la primera ecuación obtenemos $z=-\dfrac{3}{2}$
$\square$

Ejercicio A.1 de la prueba EvAU de la CAM propuesto en la convocatoria de Septiembre de 2020

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$, se pide:
a) Los valores del parámetro $a$ para que se verifique la igualdad $A^2-5A=-I$, siendo $I$ la matriz identidad
b) La matriz inversa $A^{-1}$ para $a:=-1$

SOLUCIÓN.
a) Según el enunciado, deberá cumplirse que

$\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}-5\,\begin{pmatrix}2 & 5\,a \\ a & 3\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
luego

$\begin{pmatrix}5a^2+4 & 25\,a \\ 5\,a & 5\,a^2+9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-10 & -25\,a \\ -5\,a & -15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$
esto es

$\begin{pmatrix}5a^2-6 & 0 \\ 0 & 5\,a^2-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \Leftrightarrow 5\,a^2-6=-1 \Leftrightarrow 5\,a^2=5 \Leftrightarrow a=\pm1$
b) Para $a:=-1$ se tiene que $A=\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 & \end{pmatrix}$ y $\text{det}(A)=3\cdot 2- (-5)\cdot (-1)=1 \neq 0$, luego hay una matriz inversa $A^{-1}$ asociada a $A$ ( que, como se sabe, es única)
Procedamos a calcular $A^{-1}$ por el método de Gauss-Jordan:
$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & -5 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad \overset{f_1+2\cdot f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \quad \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \overset{f_1+5\cdot f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow} \quad$

$\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 0 & 6 & 10 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \overset{\dfrac{1}{2}\cdot f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow} \quad \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \Rightarrow \quad A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$

Nota: Puede comprobarse que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$, como debe ser.

$\square$