Probabilidad condicionada

ENUNCIADO. Se nos informa de que, en una empresa, el $45\,\%$ de las personas empleadas son hombres, y el $55\,\%$ son mujeres. Se sabe, también, que, entre las personas empleadas que tienen menos de treinta años, el $60\,\%$ son hombres, y el $70\,\%$ son mujeres. Hemos elegido, al azar, una persona que está empleada en dicha empresa. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida ( al azar ) tenga menos de treinta años
b) En el supuesto de que la persona elegida ( al azar ) haya resultado tener menos de treinta años, ¿ cuál es la probabilidad de que sea una mujer ? ¿ Y de que sea un hombre ?.

SOLUCIÓN.
Llamemos $T$ al suceso "ser un trabajador menor de $30$ años"; $H$, al suceso "ser un trabajador de genero masculino"; y, $M$, al suceso "ser un trabajador de genero femenino".

a)
Como $\{M\,,\,H\}$ constituye una partición de $\Omega$, tenemos que $T=(T \cap M ) \cup (T \cap H)$, luego por el Teorema de la Probabilidad Total, $$P(T)=P(T|M)\cdot P(M) + P(T|H)\cdot P(H)$$ y teniendo en cuenta que $P(H)=0{,}55$; $P(M)=0{,}45$; $P(T|M)=0{,}7$, y $P(T|H)=0{,}6$, obtenemos: $$P(T)=0{,7}\cdot 0{,}45 + 0{,}6\cdot 0{,}55 = 0{,}645$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(M|T)=\dfrac{P(T|M)\cdot P(M)}{P(T)}$$ y poniendo los datos, obtenemos $P(M|T)=\dfrac{0{,}7 \cdot 0{,}45}{0{,}645}\approx 0{,}488$
y, de forma similar, $$P(H|T)=\dfrac{P(T|H)\cdot P(H)}{P(T)}$$ y, con los datos, $P(H|T)=\dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}55}{0{,}645}\approx 0{,}512$
$\square$